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8.4　第1课时　因式分解的意义
素养目标
1.类比因数分解,理解因式分解的意义.
2.知道因式分解与整式乘法的区别与联系.
3.了解因式分解的作用,体会数与式的转化.
◎重点:因式分解与整式乘法的互逆关系.
预习导学
知识点 因式分解
阅读教材P73的所有内容,解决下列问题:
1.旧知回顾:寻找50与75这两个数的最大公因数,可以将50与75因数分解成几个数相乘的形式,它们的最大公因数是　 　.
2.思考:如何寻找两个多项式的公因式
3.揭示概念:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
4.思考:(1)教材“观察”中的(1)(2)(3)中的第一个等式是什么运算
(2)教材“观察”中的(1)(2)(3)中的第二个等式是什么运算
【答案】1.25　2.将两个多项式因式分解.
4.(1)整式乘法运算.
(2)因式分解.
【归纳总结】因式分解的实质是多项式的恒等变形,与整式乘法的过程恰好　 　.
【答案】相反
【学法指导】整式乘法是“积化和差”,而因式分解是“和差化积”,利用这种互逆关系可以检验因式分解结果是否正确.
5.讨论:因式分解应注意哪些细节 具体需要掌握哪些内容
【答案】5.(1)分解因式的对象必须是多项式;(2)分解因式的结果是积的形式;(3)分解因式的结果中每个因式都必须是整式且不能再分解;(4)分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是1,如4(2a+2b)应将系数2提出来.
对点自测
1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是 ( )
A.a(x-y)=ax-ay
B.x+2=x1+
C.x2+3x+2=x(x+3)+2
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
2.将多项式x2+mx+6因式分解,得到(x-2)(x-3),则m=　 　.
3.下列对多项式的变形,哪些是因式分解 是因式分解的,指出它的各因式.
(1)x2-x=x(x-1);
(2)10x+5y=5(2x+y);
(3)a2-1=(a+1)(a-1);
(4)x2-2x+1=(x-1)2.
【答案】1.D　2.-5
3.解:(1)(2)(3)(4)都是因式分解,各因式分别是(1)x,x-1;(2)5,2x+y;(3)a+1,a-1;(4)x-1,x-1.
合作探究
任务驱动一 因式分解的意义
1.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解,哪些不是,为什么
(1)5a2bc=5a·abc;
(2)-1=+1-1;
(3)x2+x-1=x(x+1)-1;
(4)4x2-6x=x(4x-6);
(5)2mn-2my=2m(n-y);
(6)a2+4ab+b2=(a+2b)2.
【答案】1.解:(1)不是,因为5a2bc不是多项式.
(2)不是,因为-1不是整式.
(3)不是,因为结果x(x+1)-1不是积的形式.
(4)不是,因为分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数应是1.
(5)是.
(6)不是,分解因式是恒等变形,左右两边必须相等.
[变式训练]下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是 ( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.x2-2x+1=x(x-2)+1
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.mx+my+nx+ny=m(x+y)+n(x+y)
【答案】C
任务驱动二 因式分解与整式乘法的关系
2.说出下列等式从左到右变形哪些是整式乘法,哪些是因式分解
(1)-xy(x-1)=-x2y-xy;
(2)x2-25=(x+5)(x-5);
(3)(a+b)2=a2+2ab+b2;
(4)a2+2ab+b2=(a+b)2.
3.若分解因式得x2+mx-15=(x+3)(x+n),则m+n的值是多少
【答案】2.解:(1)和(3)是整式乘法,(2)(4)是因式分解.
3.解:因为(x+3)(x+n)=x2+(n+3)x+3n,
所以解得
所以m+n=-7.
[变式训练]x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)(x+2),则c的值为 ( )
A.2　　　 B.3　　　 C.-2　　　 D.-3
【答案】A
素养小测
1.下列各式从左到右的变形中,是整式乘法的是　 　,是因式分解的是　 　,两者都不是的是　 　.
①ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m;
②mx2-2mx+m=m(x-1)2;
③4a-2a(b+c)=4a-2ab-2ac;
④(x-3)(x+3)=(x+3)(x-3);
⑤x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;
⑥(x-2)(x+2)=x2-4.
2.检验下列因式分解是否正确(填“正确”或“错误”):
(1)x2+2x=x(x-2);【　 　】
(2)a2x+b2x=x(a2+b2);【　 　】
(3)3x+3y+3=3(x+y);【　 　】
(4)x2-4y2=(x-4y)(x+4y).【　 　】
3.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9).那么当x=1时,x2+ax+b的值为　 　.
【答案】1.③⑥　②　①④⑤
2.(1)错误　(2)正确　(3)错误　(4)错误
3.16

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