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第8章 整式乘法与因式分解 复习课
复习目标
1.掌握与幂相关的运算,整式的乘法运算.
2.掌握乘法公式,能应用乘法公式简化整式的乘法运算.
3.能运用提公因式法与乘法公式,将一个多项式因式分解.
◎重点:整式的乘法与因式分解.
预习导学
核心梳理
1.幂的运算性质
(1)同底数幂相乘,底数　 　,指数　 　.am·an=　 　(m、n都是正整数).
(2)幂的乘方,底数　 　,指数　 　.(am)n=　 　(m、n都是正整数).
(3)积的乘方等于　 　.(ab)n=　 　,(n是正整数).
(4)同底数幂相除,底数　 　,指数　 　.am÷an=　 　.(a≠0,m、n都是正整数)
(5)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1,即a0=　 　(a≠0).
(6)a-p=　 　.(a≠0,p为正整数)
(7)绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,n等于　 　(包括小数点前面的一个零),这种记数的方法叫科学记数法.
2.整式的乘法
(1)单项式相乘,把系数、同底数幂分别　 　,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为　 　.
(2)单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的　 　,再把所得的积　 　.符号表示:m(a+b+c)=　 　(m、a、b、c都是单项式).
(3)多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的　 　,再把所得的积　 　.符号表示:(a+b)(m+n)=　 　.
3.整式的除法
(1)单项式相除,把系数、同底数幂分别　 　,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为　.
(2)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商　 　.符号表示:(a+b+c)÷m=　 　.
4.乘法公式
(1)完全平方公式:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)　 　.(a+b)2=　 　;(a-b)2=　 　.
(2)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的　 　.(a+b)(a-b)=　 　.
5.因式分解
(1)把一个多项式化成几个整式的　 　的形式的变形叫做把这个多项式因式分解.
(2)如果一个多项式的各项含有公因式,把该公因式提取出来进行因式分解的方法叫做　 　.确定公因式的一般步骤:①系数:取各项系数的　 　;②字母:取各项都含有的相同字母;③指数:取相同字母的　 　.
(3)运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用.①完全平方公式:a2+2ab+b2=　 　,a2-2ab+b2=　 　;②平方差公式:a2-b2=　 　.
(4)如果一个多项式的项多于三项,那么这个多项式分解因式就要采用　 　.四项式的分组分解有两种形式:　 　分法,　 　分法.
【答案】1.(1)不变　相加　am+n　(2)不变　相乘　amn
(3)各因式乘方的积　anbn　(4)不变　相减　am-n　(5)1　(6)
(7)原数中从左边数第一个不等于零的数字前面的零的个数
2.(1)相乘　积的一个因式
(2)每一项　相加　ma+mb+mc
(3)每一项　相加　am+an+bm+bn
3.(1)相除　商的一个因式
(2)相加　a÷m+b÷m+c÷m
4.(1)这两个数乘积的2倍　a2+2ab+b2　a2-2ab+b2　(2)平方差　a2-b2
5.(1)积　(2)提公因式法　最大公约数　最低次幂
(3)(a+b)2　(a-b)2　(a+b)(a-b)
(4)分组分解法　二二　三一
合作探究
专题一 幂的运算
1.下列运算正确的是 ( )
A.a3·a4=a12 B.(-y3)3=y9
C.(m3n)2=m5n2 D.(m2)3÷(m3)2=1
2.已知2m=3,2n=4,则23m+2n的值是　 　.
3.计算:(1)[(a3b)3·(-a4)3]÷(a2)3÷(a3)2;
(2)-1+(-2)0+|-2|-(-3).
4.已知10x=2,10y=3,求103x+2y的值.
5.现在,计算机技术发展迅速,硬盘的存储量也越来越大,计算机的硬盘的存储量是以“GB”来计算的,比“GB”小的计量单位是“MB”,两者的关系是1 GB=1024 MB,那么32 MB的U盘的存储量是多少GB (用科学记数法表示)
【答案】1.D　2.432
3.解:(1)原式=[a9b3·(-a12)]÷a6÷a6=-a21b3÷a6÷a6=-a21-6-6b3=-a9b3.
(2)原式=2+1+2+3=8.
4.因为103x=(10x)3=23=8,102y=(10y)2=32=9,
所以103x+2y=103x·102y=8×9=72.
5.解:32 MB=32× GB=0.031 25 GB=3.125×10-2 GB.
专题二 整式乘除
6.现规定一种运算:a*b=ab+a-b,其中a,b为实数,则a*b+(b-a)*b等于 ( )
A.a2-b B.b2-b C.b2 D.b2-a
7.设M=(x-2)(x-3),N=(x+3)(x-8),则M与N的关系为(方法指导:作差法进行判断) ( )
A.M>N B.M=N
C.M8.设(1+x)2(1-x)=a+bx+cx2+dx3,则a+b+c+d=　 　.(方法指导:令x=1)
9.计算:[3(a+b)3-2(a+b)2-4a-4b]÷(a+b).(方法指导:将a+b当作一个整体看)
10.新知识一般有两类:第一类是不依赖于其他知识的新知识,如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识;第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓展等方式产生的知识,大多数知识是这样的知识.
(1)多项式乘以多项式的法则,是第几类知识
(2)在多项式乘以多项式之前,你已拥有的有关知识是哪些 (写出三条即可)
(3)请你用已拥有的有关知识,通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的 (用(a+b)(c+d)来说明)
【答案】6.B　7.A
8.0
9.解:原式=[3(a+b)3-2(a+b)2-4(a+b)]÷(a+b)=3(a+b)3÷(a+b)-2(a+b)2÷(a+b)-4(a+b)÷(a+b)=3(a+b)2-2(a+b)-4=3a2+3b2+6ab-2a-2b-4.
10.解:(1)二.
(2)单项式乘以多项式(分配律),单项式乘以单项式,字母表示数,数可以表示线段的长或图形的面积等等.
(3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
用形来说明:如右图,边长为a+b和c+d的矩形,分割前后的面积相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd.
【方法归纳交流】整式的乘除中蕴含了转化思想,如多项式乘以多项式是转化为　 　,单项式除以单项式是转化为　 　等.
【答案】单项式乘以单项式　同底数的幂的除法
专题三 乘法公式
11.(a+b-c)(a-b+c)等于 ( )
A.a2-(b-c)2 B.a2+(b+c)2
C.(a-b)2-c2 D.(a+b)2-c2
12.已知x+y=1,则x2+xy+y2=　 　.
【答案】11.A　12.
[变式训练]已知a-b=-2,b-c=5,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.
【答案】解:由a-b=-2,b-c=5,
所以a-c=(a-b)+(b-c)=3.
原式=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=[(-2)2+52+32]=19.
13.已知x2+xy=12,xy+y2=15,求代数式(x+y)2-2y(x+y)的值.
14.已知a2-2a+b2+4b+5=0,试求的算术平方根.(方法指导:逆用完全平方公式)
【答案】13.解:原式=x2+2xy+y2-2xy-2y2=x2-y2.
因为x2+xy=12①,xy+y2=15②,
①-②,得x2-y2=-3.所以原式=-3.
14.解:由已知,得a2-2a+1+b2+4b+4=0,
所以(a-1)2+(b+2)2=0,
所以a-1=b+2=0,所以a=1,b=-2,
所以===2,2的算术平方根为.
【方法归纳交流】完全平方公式和平方差公式除了要会正用外,还要会　 　,将不符合公式特点的多项式变形后再用公式.
【答案】逆用
专题四 因式分解
15.已知4x2+x4+M是一个完全平方式,则M可以有几种结果(方法指导:M可以是公式中的平方项,也可以是乘积项) ( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
16.分解因式:xy2-2xy+2y-4=　 　.
17.给出三个多项式X=2a2+3ab+b2,Y=3a2+3ab,Z=a2+ab,请你任选两个进行加(或减)法运算,再将结果分解因式.
18.老师在黑板上写出三个算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.王华接着又写了两个具有同样规律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22.
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式.
(2)用文字写出反映上述算式的规律.
(3)证明这个规律的正确性.
【答案】15.D
16.(y-2)(xy+2)
17.解:本题答案不唯一,如:
X-Y=(2a2+3ab+b2)-(3a2+3ab)=b2-a2=(a+b)·(b-a);
X-Z=(2a2+3ab+b2)-(a2+ab)=a2+2ab+b2=(a+b)2;
Y+Z=(3a2+3ab)+(a2+ab)=4a2+4ab=4a(a+b);
Y-Z=(3a2+3ab)-(a2+ab)=2a2+2ab=2a(a+b).
18.解:(1)如72-52=8×3,92-52=8×7.
(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数.
(3)设m、n为整数,两个奇数可以表示为2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).当m、n同为奇数或同为偶数时,m-n一定是偶数,所以4(m-n)是8的倍数;当m、n中有一个奇数一个偶数时,m+n+1一定是偶数,所以4(m+n+1)是8的倍数.
素养小测
1.多项式2x3-4x2+2x因式分解为( )
A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2
C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2
2.若4x2+kx+25=(2x+a)2,则k+a的值可以是 ( )
A.-25 B.-15 C.15 D.20
3.若a+=5,则a2+=　 　;若a2-3a+1=0,则a2+=　 　.
4.计算:
(1)(m4)2÷m3;
(2)-t3·(-t)4·(-t)5;
(3)[a3·a5+(3a4)2]÷a2;
(4)(-x)3+(-4x)2x;
(5)x3·x5-(2x4)2+x10÷x2.
5.因式分解:
(1)a2(x-y)+9(y-x);
(2)x4-6x2+8;
(3)(x2+x)(x2+x-8)+16.
【答案】【答案】1.A　2.A
3.23　7
4.解:(1)原式=m8÷m3=m5.
(2)原式=t3·t4·t5=t12.
(3)原式=(a8+9a8)÷a2=10a8÷a2=10a6.
(4)原式=-x3+16x3=15x3.
(5)原式=x8-4x8+x8=-2x8.
5.解:(1)原式=a2(x-y)-9(x-y)=(x-y)(a2-9)=(x-y)(a+3)(a-3).
(2)原式=(x2)2-2·x2·3+32-1=(x2-3)2-12
=(x2-3+1)(x2-3-1)=(x2-2)(x2-4)=(x2-2)(x+2)(x-2).
(3)原式=(x2+x)2-8(x2+x)+16=(x2+x-4)2.

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