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2.5简单复合函数的求导法则
温故知新：1. 基本初等函数的导数公式:
2. 导数的运算法则:
推论:
探究1 复合函数
问题 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S（单位:m2）与油膜的半径r（单位:m）的函数关系为 ，S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s）的增加而扩大，假设r关于t的函数解析式为r=φ(t)=2t+1.油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？
分析 由题意知，时间t决定油膜的半径r，进而决定油膜的面积S所以可得S关于t的函数解析式为S=f(φ(t))=π(2t+1)2.
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数S=f(φ(t))的导数.
因为f(φ(t))=π（2t+1）2 =π（4t2+4t+1）,根据导数公式表和导数的四则运算法则，可得[f(φ(t))]＇=π(8t+4)=4π(2t+1).
所以油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率为4π(2t+1).
复合函数的概念:
对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数.
记作y=f(g(x))
函 数
内函数
外函数
复合函数
定义域
值 域
u=g(x)
y=f(u)
y=f(g(x))
x∈A
U∈D
U∈D
y∈B
x∈A
y∈B
巩固提升
探究2:复合函数的求导法则
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
复合函数的导数
复合函数y=f(φ(x)）对x的导数为




由复合函数求导法则有:
=2u
×2
=4u
(2)函数y=e－0.05x＋1可以看作函数y=eu
和u=－0.05x＋1的复合函数.
由复合函数求导法则有:
由复合函数求导法则有:
(3)函数
和 的复合函数.
可以看作函数
例3求函数 y =（2x-1)30的导数.




若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.
练习1.　设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解
练习2.求函数 的导数
　　解　
；
练习3.
求 y .
解
　　解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.
练习4.
,求 y .
练习5. 　设 y = sin(xln x)，
求 y .
解　先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) · (xln x)
= cos(xln x) · (x · (ln x) + x ln x )
= (1 + ln x)cos(x ln x) .
　　练习6.求函数　　　　　　的导数．
，
则
．
　　解　由对数性质，有
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
P(－2,0)
A(a,b)
b=a2＋a＋1
…………(1)
b=2a2＋5a＋2
…………(2)
=a2＋a＋1
2a2＋5a＋2
a2＋4a＋1=0
解出a即可。
（1）运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
（2）求导后必须把引进的中间变量代换成原来自变量的式子，熟练后可不必写出中间变量，直接：“由外向内、逐层求导”。
小结：

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