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第十章 静电场中的能量
电场的基本性质和电场中的功能关系
(1). 场强不变的地方电势也不变吗?
(2). 场强为0的地方电势也为0吗？
(3). 电势为0的地方场强也为0吗？
一、电势与电场强度的比较
反映电场能的性质
反映电场力的性质
由电场本身性质决定，
与试探电荷无关，某点电势
的大小与参考点的选取有关
由电场本身性质决定，
与试探电荷无关
标量
矢量
（1）沿着电场强度的方向，电势降低得最快
（2）二者大小之间无直接关系：
φ 为零的点，E 不一定为零；φ 高的点，E 不一定大；
E 为零的点，φ 不一定为零；E 大的点，φ 不一定高。
????=????????????
?
E=????????
?
如图，将带负电的试探电荷沿着等量异种点电荷连线的中垂线从????点移动到????点，再沿连线从????点移动到????点。在此全过程中，试探电荷所受的静电力如何变化？所经过各点处的电势如何变化？试探电荷的电势能如何变化？
?
电场力一直变大；
电势先不变后升高；
电势能先不变后减小
根据图解答以下题目：如何根据匀强电场的电场线来判断两点电势的高低？
(1)????、????是匀强电场中同一条电场线上的两点，哪点电势高？
(2)????、????是匀强电场中不在同一条电场线上的两点，????????是过????点与电场线垂直的直线，则????、????两点哪点电势高？
?
1.若匀强电场中的两点在同一电场线上，则沿电场线电势降低，从而判断两点电势高低；
2.若两点不在同一电场线上，则可先做过其中一点的等势线，找到与另一点在同一电场线上的位置，然后判断电势高低。
(1)M点；(2) M点；
例、如图所示，真空中的M，N为两个等大的均匀带电圆环，其圆心分别为A，C，带电量分别为＋Q、－Q，将它们平行放置，A，C连线垂直于圆环平面，B为AC的中点，现有质量为m带电量为＋q的微粒(重力不计)从左方沿A，C连线方向射入，到A点时速度vA＝1 m/s，到B点时速度vB＝ 2m/s，取无穷远处为电势零点，点电荷的电势公式为φ＝kQ/r，式中k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量，r为到点电荷的距离.下列判断可能正确的是(　　)
A.微粒从B至C做加速运动，且vC＝4 m/s
B.微粒越过C点后先做加速运动，后做减速运动
C.微粒将以B为中心做往返运动
D.微粒在整个运动过程中的最终速度为0

例、(多选)如图，圆心为O的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，ab和cd为该圆直径.将电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，电场力做功为2W(W>0)；若将该粒子从c点移动到d点，电场力做功为W.下列说法正确的是(　　)
A.该匀强电场的场强方向与ab平行
B.将该粒子从d点移动到b点，电场力做功为0.5W
C.a点电势低于c点电势
D.若只受电场力，从d点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动

“等分法”处理电场强度、电场线间的关系
(1)等分法
在匀强电场中，沿任意一个方向(垂直于电场线方向除外)，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等.如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的1/n，像这样采用等分间距求电势问题的方法，叫作等分法.
(2)等分法常用的四个重要结论
①在匀强电场中，沿任意方向相互
平行且相等的线段两端点的电势差相等.

1 V　250 V/m
例、 一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、
c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V.则坐
标原点处的电势为多少？电场强度的大小为多少？
3.5
ucb=9v
例．一带电油滴在匀强电场E中的运动轨迹如图中虚线所示，电场方向竖直向下．若不计空气阻力，则此带电油滴从a运动到b的过程中，下列说法正确的是( )
A．油滴带正电
B．电势能增加
C．动能增加
D．重力势能和电势能之和增加
C
二、电场中的功能关系
(1)静电力做功与电势能变化的关系：WAB＝EpA－EpB
(2)若只有静电力做功，系统电势能与总动能之代数和保持不变
(3)若只有静电力和重力或内弹力做功，系统电势能与机械能之代数和保持不变
(4)除重力、内弹力外，其他各外力和内力（包括静电力）对系统所做的功的代数和等于系统机械能的变化量．
(5)所有外力和内力对系统所做功的代数和，等于系统总动能的变化量．
例． (多选)带电粒子以速度v0沿竖直方向垂直进入匀强电场E中，如图所示，经过一段时间后，其速度变为水平方向，大小仍为v0，则一定有( )
A．静电力大于重力
B．静电力所做的功大于重力所做的功
C．粒子运动的水平位移大小等于竖直位移大小
D．电势能的减小量一定等于重力势能的增大量
CD
求电场力做功的四种方法
(1)定义式:WAB=Flcos α=qElcos α(适用于匀强电场).
(3)动能定理:W电+W其他=ΔEk.
(2)电势的变化:WAB=qUAB=q(φA-φB).
(4)电势能的变化:WAB= -ΔEp=EpA-EpB.
例．(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条电场线上的三点，其中c为a、b的中点．若一个运动的正电荷只在静电力作用下先后经过a、b两点，a、b两点的电势分别为
φa＝－3 V，φb＝7 V，则( )
A．a点的场强一定小于b点的场强
B．a点的场强有可能等于b点的场强
C．正电荷在a点的动能小于在b点的动能
D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能
BD
例．如图所示，把电荷量为－5×10－9 C的电荷，从电场中的A点移到B点，其电势能 (填“增大”或“减小”)．若A点电势φA＝15 V，B点电势φB＝10 V，则电荷在A点和B点具有的电势能分别为EpA＝ J，EpB＝ J，此过程静电力所做的功WAB＝ J.
增大　－7.5×10－8　
－5×10－8　－2.5×10－8
例.如图，一绝缘细杆的两端各固定着一个小球，两小球带有等量异号的电荷，处于匀强电场中，电场方向如图中箭头所示。开始时，细杆与电场方向垂直，即在图中I所示的位置；接着使细杆绕其中心转过90°，到达图中II所示的位置；最后，使细杆移到图中III所示的位置。以W1表示细杆由位置I到位置II过程
中电场力对两小球所做的功，W2表示细杆由位置II到位置III过
程中电场力对两小球所做的功，则有( )
A．W1=0，W2≠0 B.W1=0，W2=0
C．W1≠0，W2=0 D.W1≠0，W2≠0
C
例．（多选）如图所示，ABCD为匀强电场中相邻的四个等势面，相邻等势面间距离为5cm．一个电子仅受电场力垂直经过电势为零的等势面D时，动能为15eV(电子伏)，到达等势面A时速度恰好为零．则下列说法正确的是( )
A．场强方向从A指向D
B．匀强电场的场强为100 V/m
C．电子经过等势面C时，电势能大小为5 eV
D．电子在上述等势面间运动的时间之比为1:2:3
BC
例．如图，一带负电的油滴，从坐标原点O以速率V0射入水平的匀强电场，V0方向与电场方向成θ角，已知油滴质量m，测得他在电场中运动到最高点P时的速率恰好为V0.设P点的坐标为（XP、 YP）,则应有（ ）
A、XP<0 B、XP>0 C、XP=0 D、条件不足，无法判断
A
x
V。
E
y
θ
BD
例．在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B。A球的带电量为+2q，B球的带电量为-3q，组成一带电系统，如图所示，虚线MP为AB两球连线的垂直平分线，虚线NQ与MP平行且相距5L。最初A和B分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚线NQ的距离为4L。若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP，NQ间加上水平向右的匀强电场E后，试求：
（1）B球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
（2）带电系统向右运动的最大距离；
（3）带电系统从开始运动到速度第一次为零时，
B球电势能的变化量。
E
5L
B
A
-3q
+2q
M
N
Q
P
例：有三根长度皆为L=1.00 m 的不可伸长的绝缘轻线,其中两根的一端固定在天花板上的O点,另一端分别拴有质量皆为m=1.00×10-2 kg的带电小球A和B,它们的电荷量分别为
-q和+q,q=1.00×10-7 C.A、B之间用第三根线连接起来.空间中存在大小为E=1.00×106 N/C的匀强电场,场强方向沿水平向右,平衡时A、B球的位置如图所示.现将O、B之间的线烧断,由于有空气阻力,A、B球最后会达到新的平衡位置.求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少？(不计两带电小球间相互作用的静电力)
W＝6.8×10－2 J
例．（多选）如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O点处有一正点电荷，带负电的小物体以初速度V1从M点沿斜面上滑，到达N点时速度为零，然后下滑回到M点，此时速度为V2（V2＜V1）。若小物体电荷量保持不变，OM＝ON，则 （ ）
A．小物体上升的最大高度为
B．从N到M的过程中，小物体的电势能逐渐减小
C．从M到N的过程中，电场力对小物体先做负功
后做正功
D．从N到M的过程中，小物体受到的摩擦力和电
场力均是先增大后减小
AD
电场中的图像问题
例　(多选)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是(　　)
A．a、c两点的电场强度相同
B．q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍
C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零
D．将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
φ－x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，由题图可知，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；由题图可知，题图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝kq/r2)可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误．
例　x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于xA＝0，xB＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示．选取x轴正方向为电场强度的正方向，无限远处电势为零．以下说法正确的是(　　)
A．点电荷A、B分别带正电和负电
B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1∶3
C．x＝d处电势最高且为零
D．将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小
D
若点电荷A、B带异种电荷，则在x轴上0～4d区间的电场方向应唯一不变化且不可能出现场强为零的点，即水平向右或水平向左，故A错误；由题图可知在x＝d处电场强度为零，即
故B错误；0～d区间，电场方向沿x轴负方向，d～4d区间电场方向沿x轴正方向，可知0～4d区间，从x＝d处沿两侧电势降低，无限远处电势为零，故x＝d处电势大于零；x≥4d的区域内，电场方向指向x轴负方向，所以沿x轴负方向电势逐渐降低，无限远处电势为零，故x≥4d的区域内的电势都小于零．所以x＝d处电势最高且大于零，故C错误；x≥5d的区域内电场方向沿x轴负方向，所以电子释放后受水平向右的力，静电力一直做正功，电势能一直减小，故D正确．
例一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是(　　)
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
C．若x1、x3处电势为φ1、φ3，则φ1<φ3
D．x2～x3段的电场强度大小、方向均不变
Ep－x图像的斜率表示粒子所受静电力F，根据F＝qE可知x1处电场强度最小且为零，选项A错误；粒子在0～x2段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，做变速运动，x2～x3段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从x1到x3的过程中电势能增加，说明电势降低，即φ1>φ3，选项C错误；x2～x3段斜率不变，所以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确．
(多选)空间中有水平方向上的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的微粒在某平面内运动，其电势能和重力势能随时间的变化如图所示，则该微粒(　　)
A．一定带正电
B．0～3 s内静电力做的功为－9 J
C．运动过程中动能不变
D．0～3 s内除静电力和重力外所受其他力对微粒
做的功为12 J
BCD
由于不清楚电场强度的方向，故无法确定微粒的电性，故A错误；
由图可知0～3 s内电势能增加9 J，则0～3 s静电力做的功为－9 J，故B正确；
由图可知，电势能均匀增加，即静电力做的功与时间成正比，说明微粒沿静电力方向做匀速直线运动，同理，沿重力方向也做匀速直线运动，则微粒的合运动为匀速直线运动，所以运动过程中速度不变，动能不变，故C正确；
由功能关系可知，0～3 s内重力势能与电势能共增加12 J，又微粒的动能不变，故0～3 s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12 J，故D正确．

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