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北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元复习题
一、单选题
1．将抛物线y=x2-2x+3向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（　　）
A．y=(x-1)2+5 B．y=(x-3)2+5 C．y=(x+2)3+6 D．y=(x-4)2+6
2．抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣3） B．（1，3）
C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．由抛物线平移得到抛物线则下列平移方式可行的是（　　）
A．向左平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度
C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度
4． 抛物线的顶点坐标是（　　）
A．(－2，2) B．(2，－2) C．(2，2) D．(－2，－2)
5．抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．若二次函数 的图象与 轴交于两点，与 轴的正半轴交于一点，且对称轴为直线 =1，则下列说法正确的是（　　）
A．二次函数的图象与 轴的交点位于 轴的两侧
B．二次函数的图象与 轴的交点位于 轴的右侧
C．其中二次函数中的c>1
D．二次函数的图象与 轴的一个交点位于 =2的右侧
7．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿 向点以 以 的速度移动，动点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动.若 ， 两点分别从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停止，则 的面积 随出发时间 的函数关系图象大致是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0.其中正确的有（　　）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．二次函数，其对称轴为，若，，是拋物线上三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝-x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是（　　）
A． B．或
C．-1≤a≤1 D．-1≤a＜0或0＜a≤1
二、填空题
11．已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x　 　时，y随x的增大而减小．
12．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式　 　
13．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则关于x的方程 的解为　 　.
14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的有　 　.
三、解答题
15．已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
16．若函数y=-（m+1）xm +1是关于X的二次函数，求m的值．
17．某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．
（I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
原价 每件降价1元 每件降价2元 … 每件降价x元
每件售价（元） 35 34 33 …
每天售量（件） 50 52 54 …
（Ⅱ） （由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
18．已知函数y=（9k2﹣1）x2+2kx+3是关于x的二次函数，求不等式 的解集．
四、综合题
19．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且.
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值.
20．我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围．
第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0
第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：
取x= ，因为当x= 对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3
（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得 ．
21．在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx-a（a，b是常数，a≠0）.
（1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1），求函数y1的表达式.
（2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a.
（3）若b＝a+3，当x＞-1时，函数y1随x的增大而增大，求a的取值范围.
22．已知抛物线y=x2﹣4x+m﹣1．
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值；
（2）若抛物线与直线y=2x﹣m只有一个交点，求m的值．
23．在平面直角坐标系 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是 ，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是 ，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2-2x+3化为顶点式，得y=（x-1）2+2，
∵将抛物线y=x2-2x+3向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，
∴得到的抛物线解析式为 y=(x-3)2+5.
故答案为：B.
【分析】先将函数化为顶点式，再根据二次函数顶点式的图像变化规律（上加下减、左加右减）即可求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线y＝2（x＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故答案为：C．
【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线向左平移4个单位长度可得： 故A符合题意；
抛物线向右平移4个单位长度可得：故B不符合题意；
抛物线向下平移4个单位长度可得： 故C不符合题意；
抛物线向上平移4个单位长度可得： 故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”并结合已知可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标是（2，2）
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴对称轴是直线．
故答案为：B．
【分析】根据函数解析式直接求出函数对称轴即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于两点，
∴b2-4ac＞0即b2-4c＞0
∵对称轴为直线x=1，
∴，
∴
解之：b=-2；
∴4-4c＞0
解之：c＜1，故C错误；
抛物线与y轴的正半轴交于一点，
∴c＞0
∴0＜c＜1
∵a=1＞0
∴抛物线的开口向上，
∴二次函数与x轴的交点位于y轴的右侧，一个交点在0和1之间，另一个交点在1和2之间，
故A，D错误，B选项正确.
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=1可求出b的值，再利用抛物线与x轴有两个交点可得到b2-4ac＞0，由此建立关于c的不等式，解不等式求出c取值范围，再根据抛物线与y轴的正半轴相交就可得到c的取值范围，可对C作出判断；再根据抛物线的开口方向及c的取值范围，就可得到抛物线与x轴的交点情况，即可对A，B，D作出判断。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ的面积S= PB BQ= （3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故答案为：C．
【分析】由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：①由抛物线的对称轴可知： ＞0，
∴ab＜0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由图象可知：△＞0，
∴b2 4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；
③∵（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），
而x＝0时，y＝c＞0，
∴x＝2时，y＝c＞0，
∴y＝4a＋2b＋c＞0，故③正确；
④∵ ，
∴b＝ 2a，
∴2a＋b＝0，故④正确.
故答案为：C.
【分析】抛物线的开口向下故a＜0，对称轴在y轴的右侧，故a、b异号，故b＞0，抛物线交y轴的正半轴，故c＞0，所以abc＜0，故①错误；由于抛物线与x轴有两个不同的交点所以△＞0，即b2 4ac＞0，所以b2＞4ac，故②正确；根据抛物线的对称性可知：（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），而x＝0时，y＝c＞0，故x＝2时，y＝c＞0，即y＝4a＋2b＋c＞0，故③正确；根据抛物线的对称轴直线公式列出方程 ，从而得出2a＋b＝0，故④正确，综上所述即可得出答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】对称轴为直线x=-1，
a>0，
抛物线开口向上，
是离对称轴最近， 离对称轴最远，
，
故答案为：D.
【分析】先根据对称轴为直线x=-1判断抛物线开口方向，再利用二次函数的增减性即可求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）和点B（-1，1），
即a与b互为相反数，b=-1，
抛物线的表达式为y＝ax2-x-a（a≠0），
对称轴为
当a<0时，抛物线开口向下，且
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）和点B（-1，1），
作图如下可知，当时符合题意，此时
当时，图象不符合要求，舍去，
同理，当a>0时，抛物线开口向上，且
作图如下可知，当时符合题意，此时
当时，图象不符合要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是 或 ，
故答案为：B.
【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，可求得b=-1，代入抛物线表达式为y＝ax2-x-a（a≠0），进一步得出对称轴为再进行判断即可得出结论.
11．【答案】＞1
【解析】【解答】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1，
∵-2＜0，∴当x＞1时，y随x增大而减小，
故答案为：＞1
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.
12．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1
【解析】【解答】解：图象顶点坐标为（2，1）
可以设函数解析式是y=a（x﹣2）2+1
又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同
则|a|=2
因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1，
故这个函数解析式y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1．
【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
13．【答案】 ，
【解析】【解答】解：由二次函数图象可得，
抛物线 与x轴的一个交点为 ，对称轴是直线 ，
则抛物线与x轴的另一个交点为 ，
当 时，关于x的方程 的两个解为： ， .
故答案为： ， .
【分析】观察函数图象可直接写出方程的一个解 ，二次函数对称轴为直线 ，根据函数图象与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值.
14．【答案】①②④
【解析】【解答】①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①符合题意；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴- =2，c=0，
∴b=-4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②符合题意；
③∵当x=-1和x=5时，y值相同，且均为正，
∴a-b+c＞0，结论③不符合题意；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④符合题意；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤不符合题意．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案为①②④．
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①符合题意；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=-4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②符合题意；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a-b+c＞0，结论③不符合题意；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④符合题意；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤不符合题意．综上即可得出结论．
15．【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
16．【答案】解：m= 1
【解析】【解答】解：∵函数关于x的二次函数，
∴，
∴m=1.
【分析】根据二次函数的含义，x的指数为2，x的系数不为0，求出m的值即可。
17．【答案】解：（Ⅰ）35﹣x，50+2x；
（Ⅱ）根据题意，每天的销售额y=（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35）
配方得y=﹣2（x﹣5）2+1800，
∵a＜0，
∴当x=5时，y取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
【解析】【分析】（I）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35﹣x）元；多买2x件，即每天售量为（50+2x）件；
（Ⅱ） 每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35﹣x）（50+2x），配方后得到y=﹣2（x﹣5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800．
18．【答案】解：∵函数y=（9k2﹣1）x2+2kx+3是关于x的二次函数，
∴9k2﹣1≠0，
解得：k≠ ，
3（k﹣1）≥2（4k+1）﹣6，
解得：k≤ ，
故不等式 的解集为：k≤ 且k≠﹣
【解析】【分析】根据二次函数的定义二次项的系数不能为0列出不等式，再与题干中的不等式组成不等式组，求解得出k的取值范围。
19．【答案】（1）解：在中，令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
把代入中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴当时，函数有最大值：；
∵当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，
∴，
∵，
∴，
当时，，
解得：，
∵，
∴.
【解析】【分析】（1）由题意，抛物线与y轴相交于点C，所以令x=0可得y=3，于是点C的坐标为（0，3），根据OA=OC并结合点A所在的位置可得点A（-3，0），然后把点A、B的坐标代入抛物线的解析式可得关于a、b的方程组，解方程组可求得抛物线的解析式，于是顶点坐标（，）可求解；
（2）由（1）中的顶点坐标可知：当x=-1时，函数y有最大值为4；根据题意可知m=4，n=-5，然后把n的值代入抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程，解方程可求得x的值，结合题意可求得k的值.
20．【答案】（1）解：因为当x=2时，y=﹣2＜0，当x=3时，y=1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；
（2）解：取x= =2.5，因为当x=2.5时，y＜0．
又因为当x=3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3，
取x= =2.75，因为当x=2.75时，y＞0．
又因为当x=2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75，
因为2.75﹣2.5= ．
取x= =2.625，因为当x=2.625时，y＜0．
又因为当x=2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75，
因为2，75﹣2，625= ＜ ，
所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围
【解析】【分析】（1）确定当x=2或 x=3时y的正负由此即可验证；（2）取第三步2和3的平均数x=2.5，计算y的值可得2.5＜x2＜3，再进一步取2.5和3的平均数x=2.75，计算y的值可得2.5＜x2＜2.75，再一次取平均数直到 即可
21．【答案】（1）解：函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1），
∴.
∴a＝1，b＝2.
∴y1＝x2+2x-1
（2）解：y1＝ax2+bx-a＝a.
∴顶点坐标为（-，-）.
∵抛物线的顶点在y2＝2ax的图象上，
∴-＝-2a×，
∴b2+4a2＝4ab.
∴（b-2a）2＝0.
∴b＝2a.
（3）解：∵b＝a+3，
∴-＝-
∵当x＞-1时，函数y随x的增大而增大
∴图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧，
即a＞0，-≤-1
∴a的取值范围是0＜a≤3.
【解析】【分析】（1）将（1，2）、（-2，-1）代入y1＝ax2+bx-a中可求出a、b的值，进而可得函数y1的表达式；
（2）根据函数y1的表达式可得顶点坐标为（-，-）.，代入y2＝2ax中并化简可得b2+4a2＝4ab，即(b-2a)2＝0，据此证明；
（3）根据 b＝a+3可得-＝-，结合题意可得图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧，则当a＞0，-≤-1，求解就可得到a的取值范围.
22．【答案】（1）解：∵函数y=x2﹣4x+m﹣1，抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4ac=16﹣4（m﹣1）=20﹣4m=0，
解得：m=5；
（2）解：联立抛物线与直线解析式消掉y得，
x2﹣4x+m﹣1=2x﹣m，
整理得，x2﹣6x+2m﹣1=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）=0，
解得m=5．
【解析】【分析】（1）利用抛物线与x轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0进而求出即可；（2）联立两函数解析式，消掉y，得到关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式△=0列式计算即可得解．
23．【答案】（1）解： 原抛物线表达式是
原抛物线顶点是 ，
设影子抛物线表达式是 ，
将 代入 ，解得 ，
所以“影子抛物线”的表达式是 ；
（2）解：设原抛物线表达式是 ，
则原抛物线顶点是 ，
将 代入 ，得 ①，
将 代入 ， ②，
由①、②解得 ， ．
所以，原抛物线表达式是 或 ；
（3）解：结论成立．
设影子抛物线表达式是 ．原抛物线于 轴交点坐标为
则两条原抛物线可表示为 与抛物线 （其中 、 、 、 是常数，且 ，
由题意，可知两个抛物线的顶点分别是 、
将 、 分别代入 ，
得
消去 得 ，
，
， ，
、 关于 轴对称．
【解析】【分析】（1）设影子抛物线表达式是 ，先求出原抛物线的顶点坐标，代入 ，可求解；（2）设原抛物线表达式是 ，用待定系数法可求 ， ，即可求解；（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．
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