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19.2《平行四边形的判定》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.掌握平行四边形的的判定方法（定理）；
2.利用平行四边形的定义来探索判定四边形是平行四边形的方法；
3.会综合应用平行四边形的定义、性质和判定定理，进一步提高综合运用知识的能力．
学习重难点
重点：理解并掌握平行四边形的判定定理，并会运用；
难点：探究平行四边形的判定方法.
学法指导
理解并记忆平行四边形的判定方法.判定四边形是平行四边形共有四种方法，这四种方法分别从平行四边形的边、角和对角线方面而得出来的.
学习过程
一、导学探究
知识点：平行四边形的判定方法
定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
除了以上定理外，要判断一个四边形是否是平行四边形，还可以根据平行四边形的定义来判定：即两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
二、课前操作
1.在平面内取一点A，过点A画两条线段AB，AD，以点B圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于C，连接BC、DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD.
2.在平面内，作两条直线l1，l2相交于点O，在直线l1上截取OA＝OC，在直线l2上截取OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA，这样画出来的一个对角线互相平分的四边形ABCD.
三、知识回顾，温故知新
1.写出平行四边形的定义.
2.写出平行四边形所有的性质.
四、课内探究，交流学习
我们知道：平行四边形的定义有两层意思：（1） 若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边就分别平行；（2）若一个四边形的两组对边分别平行，则它是平行四边形.
1.操作·思考
将线段AB按图上所给方向和距离平移，得到线段A′B′，
因此，线段A′B′与线段AB即平行又相等.
连接AA′，BB′得到四边形ABB′A′.这样这个四边形的一组对边平行且相等.
四边形ABB′A′是平行四边形吗？为什么？
做一做：
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，且AB＝DC.求证：四边形ABCD为平行四边形.
结论：判定四边形是平行四边形的方法有：
定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
应用：如右图，
∵AB∥DC，且AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.操作·思考
如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于C，连接BC、DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD.
思考：四边形ABB′A′是平行四边形吗？为什么？
3. 操作·思考
在平面内，作两条直线l1，l2相交于点O，在直线l1上截取OA＝OC，在直线l2上截取OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA，这样画出来的一个对角线互相平分的四边形ABCD.
思考：这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？
结论：判定四边形是平行四边形的方法还有：
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
应用：如右图，
∵AB＝DC，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
应用：如右图
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.自主学习，合作交流
例1 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF，求证：四边形BEDF是平行四边形.
例2 已知,直线l1, l2, l3 互相平行,直线AC和直线A1C1分别交直线l1, l2, l3 于点A, B, C和点
A1,B1, C1,且AB = BC.
求证:A1B1 = B1.C1.
已知：如图，点D，E分别为 ABC的边AB,AC的中点。
求证：DE//BC,且DE=BC.
随堂练习
1.如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
2．如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3.在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是 ．
4.如图，中，点D、E分别为、的中点．
(1)过点C作，并交延长线于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2.如图，在中，过点D作交于点E，过点E作交点F，与交于点N．若，，则长为（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
3.如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
4.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ．
5.如图，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是、的中点，连接，分别交、于点M、N，判断的形状．
6．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
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19.2《平行四边形的判定》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.掌握平行四边形的的判定方法（定理）；
2.利用平行四边形的定义来探索判定四边形是平行四边形的方法；
3.会综合应用平行四边形的定义、性质和判定定理，进一步提高综合运用知识的能力．
学习重难点
重点：理解并掌握平行四边形的判定定理，并会运用；
难点：探究平行四边形的判定方法.
学法指导
理解并记忆平行四边形的判定方法.判定四边形是平行四边形共有四种方法，这四种方法分别从平行四边形的边、角和对角线方面而得出来的.
学习过程
一、导学探究
知识点：平行四边形的判定方法
定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
除了以上定理外，要判断一个四边形是否是平行四边形，还可以根据平行四边形的定义来判定：即两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
二、课前操作
1.在平面内取一点A，过点A画两条线段AB，AD，以点B圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于C，连接BC、DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD.
2.在平面内，作两条直线l1，l2相交于点O，在直线l1上截取OA＝OC，在直线l2上截取OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA，这样画出来的一个对角线互相平分的四边形ABCD.
三、知识回顾，温故知新
1.写出平行四边形的定义.
【答案】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.写出平行四边形所有的性质.
【答案】性质1 平行四边形的对边相等
性质2 平行四边形的对角相等
性质3 平行四边形对角线互相平分
四、课内探究，交流学习
我们知道：平行四边形的定义有两层意思：（1） 若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边就分别平行；（2）若一个四边形的两组对边分别平行，则它是平行四边形.
1.操作·思考
将线段AB按图上所给方向和距离平移，得到线段A′B′，
因此，线段A′B′与线段AB即平行又相等.
连接AA′，BB′得到四边形ABB′A′.这样这个四边形的一组对边平行且相等.
四边形ABB′A′是平行四边形吗？为什么？
【答案】这样的四边形是平行四边形，因为符合平行四边形的定义，即两组对边分别平行且相等。
做一做：
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，且AB＝DC.求证：四边形ABCD为平行四边形.
证明：连接 AC.
∵ AB // DC,
∴∠BAC=∠DCA.
又∵ AB=CD,AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA.
∴ ∠ACB=∠CAD.
∴ AD // BC.
因此,四边形ABCD是平行四边形.
结论：判定四边形是平行四边形的方法有：
定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
应用：如右图，
∵AB∥DC，且AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.操作·思考
如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于C，连接BC、DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD.
思考：四边形ABB′A′是平行四边形吗？为什么？
【答案】是平行四边形。
分析：根据题意可得，BC=AD，AB=DC，符合平行四边形定义
3. 操作·思考
在平面内，作两条直线l1，l2相交于点O，在直线l1上截取OA＝OC，在直线l2上截取OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA，这样画出来的一个对角线互相平分的四边形ABCD.
思考：这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？
【答案】是平行四边形。
分析：根据题意可知，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD
所以，AD=BC，AB=CD
所以四边形ABCD是平行四边形。
结论：判定四边形是平行四边形的方法还有：
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
应用：如右图，
∵AB＝DC，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
应用：如右图
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.自主学习，合作交流
例1 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF，求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴OE＝AO－AE＝CO－CF＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
例2 例6已知,直线l1, l2, l3 互相平行,直线AC和直线A1C1分别交直线l1, l2, l3 于点A, B, C和点
A1,B1, C1,且AB = BC.
求证:A1B1 = B1.C1.
证明: 过点B1 作EF//AC,分别交直线l1, l3于点E, F.
∴四边形 ABB1E, BCFB1都是平行四边形.
∴EB1=AB,B1F=BC.
∵AB = BC,
∴EB = BF.
又 ∵∠A1EB1, =∠B1FC1,∠A1B1E =∠C1B1F,
∴△A1B1E≌△C1B1F.
A1B1= B1C1.
由此得到如下结论:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
作为上述结论的特例，应有如下推论:
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
已知：如图，点D，E分别为 ABC的边AB,AC的中点。
求证：DE//BC,且DE=BC.
证明：过点 D作DE' //BC,DE'交AC于点E'.
根据上面得到的结论,点E'应与点E重合.
∴DE // BC.
同理,过点D作DF //AC,DF交BC于点F，则点F为BC的中点.
∴ 四边形DFCE为平行四边形.
∴ DE=FC=BC.
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
由此得到:
三角形中位线定理 三角形两边中点连线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
随堂练习
1.如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵过点作直线、分别平行于、，
∴，
∴四边形均为平行四边形，
∴加上共9个；
故选D．
2．如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B．由，，根据一组对边平行且相等的四边形为平形四边形，故该选项正确，符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3.在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质及判定．通过证明,根据得到,根据已知条件即可判定三角形全等,继而根据全等三角形性质得出结论．
【详解】解:∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,故正确；
∴,故正确；
∴,故错误；
∴四边形是平行四边形,,故正确．
故答案为:．
4.如图，中，点D、E分别为、的中点．
(1)过点C作，并交延长线于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作，根据平行线的判定可得；
（2）求出，，利用可直接证明；
（3）根据是的中位线求出，再利用全等三角形的性质得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：点F，即为所求；
（2）证明：由作图知，，
∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵点D、E分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．
B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
故选：A．
2.如图，在中，过点D作交于点E，过点E作交点F，与交于点N．若，，则长为（ ）
A．10 B．12． C．15 D．18
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形，得到，然后由，求得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴
故选：A．
3.如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的周长的计算，正确的找出规律是解题的关键．根据三角形的中位线定理得到的周长的周长，各的周长，于是得到结论．
【详解】解：以的各边的中点为顶点作，
的周长的周长的周长，
以各边的中点为顶点作，
的周长各的周长的周长，
，
的周长
故选：A．
4.如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解．
【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，，
∴，即，
∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，，
∴，
∴，
故答案为：3．
5.如图，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是、的中点，连接，分别交、于点M、N，判断的形状．
【答案】是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，如图所示，取中点H，连接，则分别是的中位线，据此得到，，再由得到，进而推出，得到，由此即可得到结论．
【详解】解：是等腰三角形，理由如下：
如图所示，取中点H，连接，
∵E、F分别是、的中点，H是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
6．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质；
（1）取的中点，连接即可；
（2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求；
（3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可．
【详解】（1）如图①中，线段即为所求；
（2）如图②中，点即为所求；
（3）如图③中，线段即为所求．
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