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19.1《多边形内角和》(2)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.会利用邻补角互补的关系探究多边形的外角和；
2.掌握正多边形的概念，并会求正多边的每个外角的度数；
3.掌握除三角形以外的多边形的不稳定性.
学习重难点
重点：理解并会运用多边形的外角和定理；
难点：综合运用多边形的内角和定理和外角和定理解决有关问题.
学法指导
要通过猜想、探索、推理、归纳等过程，培养自己的综合运用知识的能力.
学习过程
一、课前自习，温故知新
问题1：请回顾一下什么叫多边形？
________________________________________________________________________________________________________.
【答案】在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
问题2：什么叫做多边形的对角线？
__________________________________________________________________________.
【答案】多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
问题3：你会计算多边形的对角线吗？
（1）从一个顶点处作n边形的对角线共有多少条？这些对角线把n边形分成多少个三角形？
【答案】（n-3)条；（n-2)个三角形
（2）作n边形的所有对角线共有多少条？
【答案】n条
问题4：你能说出n边形的内角和计算公式吗？
【答案】n边形的内角和等于（n-2)`180 （n为不小于3的整数）
问题5：什么叫做多边形的外角？
【答案】多边形中，在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
二、课内探究，交流学习
1.探究1：
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和，多边形外角和又有怎样的规律？
如右图，∠1+∠2+∠3+∠4＝______.
【答案】360°
思考：你能得出n边形的外角和是多少度吗？写出求解过程.
【答案】n边形的外角和等于360°（n为不小于3的整数）
结论：多边形的外角和定理：__________________________________________________.
【答案】n边形的外角和等于360°（n为不小于3的整数）
2.探究2：
什么叫做正多边形？
【答案】多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形。
说出下列四个图形的名称（在每个图形下面的括号内填写）.
（ ） （ ） （ ） （ ）
【答案】正三角形，正方形，正五边形，正六边形
3.自主学习，合作交流
例：求正六边形每个内角的度数.
解：∵正六边形的内角和为：
（6－2）×180°＝720°，
∴每个内角的度数为：720°÷6＝120°.
4.探究3：
以前我们学习过三角形具有稳定性：各边长确定后，三角形的形状就确定了.
你能举出几个实例来说明吗？
【答案】例如日常生活中的三角尺，三角底座的衣架等
四边形、五边形是否也具稳定性呢？你能从日常生活中举几个例子来说明吗？
【答案】四边形、五边形不具稳定性，例如铁栅栏门等。
5.随堂练习
1．内角和为的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：设该多边形的边数为n，由题意得：
，
∴，
∴该多边形为五边形；
故选：B．
2．如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线定理．
根据，可得，然后根据为角平分线，可求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵为角平分线，
∴
∴
即：．
故答案为：C．
3．下列多边形的内角和为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角与外角．根据多边形的内角和公式：列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设多边形的边数为n，
，
解得：．
观察四个选项，B选项符合题意；
故选：B．
4.一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：12．
5．正十二边形的内角和等于 度．
【答案】/1800度
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟悉相关性质是解题的关键．根据多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】解：，
∴正十二边形的内角和等于．
故答案为：．
6.求下列图形中的x值
【答案】
【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，平角的定义，根据四边形内角和为360度求出的度数，再根据平角的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意得，，
∴．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.若正多边形的一个内角是，则该正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是，
∴它的一个外角是：，
．
∴该正多边形的边数为9．
故选：C．
2．十边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握“多边形的外角和为”．
【详解】解：十边形的外角和为，
故选：A．
3．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之景如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键．
【详解】解：正八边形的外角和为，
每一个外角为，
故选：A．
4.一个多边形每个外角都是，这个多边形是 边形，它的内角和是 度，外角和是 度．
【答案】 六 720 360
【分析】本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法，多边形的内角和公式，根据正多边形的性质，边数等于除以每一个外角的度数；利用多边形的内角和公式计算，多边形外角和都是，即可解答．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都是，
∴，
这个多边形内角和为，
多边形外角和都是，
这个多边形外角和，
故答案为：六，720，360．
5．已知一个正多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的2倍则内角和是．边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
6．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识．
（1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数．
（2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可．
【详解】（1）解：由题意可得，解得．
正x边形的周长为；
（2）正边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
7．一个正多边形的每个内角与相邻外角的度数比为5：1，求这个正多边形的边数．
【答案】12
【分析】设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为求得外角度数，除以这个外角度数即得所求的多边形的边数．
本题主要考查了正多边形的内角与外角．熟练掌握正多边形的每个内角与相邻外角组成平角，每个内角都相等，是解决问题的关键．
【详解】设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，
由题意，得，，
解得，
，
故这个正多边形的边数为12．
8．已知一个n边形的每一个内角都等于150°，求n的值．
【答案】12
【分析】本题考查正多边形的外角问题．根据题意，得到n边形的每一个外角都等于30°，再根据外角和为360度，求解即可．掌握正多边形的每一个外角都相等，是解题的关键．
【详解】解：∵一个n边形的每一个内角都等于150°，
∴n边形的每一个外角都等于30°，
∴．
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19.1《多边形内角和》(2)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.会利用邻补角互补的关系探究多边形的外角和；
2.掌握正多边形的概念，并会求正多边的每个外角的度数；
3.掌握除三角形以外的多边形的不稳定性.
学习重难点
重点：理解并会运用多边形的外角和定理；
难点：综合运用多边形的内角和定理和外角和定理解决有关问题.
学法指导
要通过猜想、探索、推理、归纳等过程，培养自己的综合运用知识的能力.
学习过程
一、课前自习，温故知新
问题1：请回顾一下什么叫多边形？
________________________________________________________________________________________________________.
问题2：什么叫做多边形的对角线？
__________________________________________________________________________.
问题3：你会计算多边形的对角线吗？
（1）从一个顶点处作n边形的对角线共有多少条？这些对角线把n边形分成多少个三角形？
（2）作n边形的所有对角线共有多少条？
问题4：你能说出n边形的内角和计算公式吗？
问题5：什么叫做多边形的外角？
二、课内探究，交流学习
1.探究1：
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和，多边形外角和又有怎样的规律？
如右图，∠1+∠2+∠3+∠4＝______.
思考：你能得出n边形的外角和是多少度吗？写出求解过程.
结论：多边形的外角和定理：__________________________________________________.
2.探究2：
什么叫做正多边形？
说出下列四个图形的名称（在每个图形下面的括号内填写）.
（ ） （ ） （ ） （ ）
3.自主学习，合作交流
例：求正六边形每个内角的度数.
4.探究3：
以前我们学习过三角形具有稳定性：各边长确定后，三角形的形状就确定了.
你能举出几个实例来说明吗？
四边形、五边形是否也具稳定性呢？你能从日常生活中举几个例子来说明吗？
5.随堂练习
1．内角和为的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
3．下列多边形的内角和为的是（ ）
A． B．
C． D．
4.一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ．
5．正十二边形的内角和等于 度．
6.求下列图形中的x值
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.若正多边形的一个内角是，则该正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．十边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之景如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
4.一个多边形每个外角都是，这个多边形是 边形，它的内角和是 度，外角和是 度．
5．已知一个正多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数是 ．
6．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
7．一个正多边形的每个内角与相邻外角的度数比为5：1，求这个正多边形的边数．
8．已知一个n边形的每一个内角都等于150°，求n的值．
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