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19.2《平行四边形的性质》(1)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.联系生活实例，通过观察了解平行四边形的定义及基本构成要素；
2.利用已学过的三角形的知识来探索平行四边形中的边角性质；
3.理解“两平行线之间的距离”的概念及性质；
4.会应用平行四边形的边角性质、平行线之间的距离解决有关空间图形问题，进一步发展对“空间与图形”的学习兴趣．
学习重难点
重点：掌握平行四边形中的边角性质，会运用平行四边形的性质解题；
难点：探究平行四边形的边角性质，理解“平行线之间的距离”.
学法指导
联系身边生活实例，通过观察、操作、比较来认识平行四边形，掌握其图形特征，把握平行四边形中的边角关系及性质.
学习过程
一、导学探究
知识点1：平行四边形的定义
1.定义：_________________________________________叫做平行四边形.
平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行.这两条缺一不可.
2.表示方法：平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD，记作_____________，读作“平行四边形ABCD”.
知识2：平行四边形的边角性质
3.平行四边形的对边__________，对角__________.
知识点3：平行线之间的距离
4.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_______，叫做这两条平行线之间的距离.
5.两条平行线之间的距离________________.
二、课前体验
如图，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A.7个 B.8个
C.9个 D.11个
三、课内探究，交流学习
1.观察·思考
观察下列图案，想一想它们都是什么形状？有何特点？
观察图形，说出各四边形中的边的位置有何特征？
两组对边 一组对边平行，另 两组对边
都不平行 一组对边不平行 分别平行
平行四边形的定义：
______________________________________________________，叫做平行四边形.
认识平行四边形
（1）平行四边形的表示法：____________，读作：___________________；
（2）平行四边形的四个顶点分别为____________________________；平行四边形的四条边分别为_______________________，其中，___与____是对边，_____与____是对边；
（3）平行边形的四个内角分别为_________________________，其中，_____与______是对角，________与_______是对角.
2.探究1：
平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角，除此以外，平行四边形中，边、角还有什么性质呢？
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
求证：（1）AB＝DC，AD＝BC；
（2）∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D，
平行四边形的性质：
性质1：平行四边形的对边相等；
性质2：平行四边形的对角相等.
3.自主学习，合作交流
例1 已知：如图，ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，
（1）如果AE＝2，求CD的长；
（2）如果∠AEB＝40°，求∠C的度数.
.
4.探究2：
如图，直线l1∥直线l2，AB，CD是夹在直线l1 ，l2之间的两条平行线，
AB与CD相等吗？为什么？
结论：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
若AE⊥l2，CF⊥l2，则AE与CF相等吗？
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
什么叫做两条平行线之间的距离？
你能举一些日常生活中例子说明“两条平行线之间的距离处处相等”吗？
5.自主学习，合作交流
例2 已知：如图，ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
例3 已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△.
求证：△ABC的顶点分别是△三边的中点.
6.随堂练习
如图，在中，，，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，平行四边形的对角线与交于点，若，，．
(1)猜想的度数，并证明你的猜想；
(2)求平行四边形的周长．
4.如图，平行四边形中，连接．

(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，，求证：；
(3)若，，求的长．
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.如图，中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
2．如图，点是的对角线交点，为中点，交于点，若，则的值为( )
A．2 B．4 C． D．8
3.如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ．
4.如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为 .
5.如图，中，，，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．
(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长．
6.探究：如图①在的形外分别作等腰直角和等腰直角，，连接、．在图中找一个与全等的三角形，并加以证明．
应用：以的四条边为边，分别向其形外作正方形，如图②，连接、、、．若的面积为，则图中阴影部分的四个三角形的面积和为______．
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19.2《平行四边形的性质》(1)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.联系生活实例，通过观察了解平行四边形的定义及基本构成要素；
2.利用已学过的三角形的知识来探索平行四边形中的边角性质；
3.理解“两平行线之间的距离”的概念及性质；
4.会应用平行四边形的边角性质、平行线之间的距离解决有关空间图形问题，进一步发展对“空间与图形”的学习兴趣．
学习重难点
重点：掌握平行四边形中的边角性质，会运用平行四边形的性质解题；
难点：探究平行四边形的边角性质，理解“平行线之间的距离”.
学法指导
联系身边生活实例，通过观察、操作、比较来认识平行四边形，掌握其图形特征，把握平行四边形中的边角关系及性质.
学习过程
一、导学探究
知识点1：平行四边形的定义
1.定义：_________________________________________叫做平行四边形.
平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行.这两条缺一不可.
2.表示方法：平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD，记作_____________，读作“平行四边形ABCD”.
【答案】1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
ABCD
知识2：平行四边形的边角性质
3.平行四边形的对边__________，对角__________.
【答案】相等，相等
知识点3：平行线之间的距离
4.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_______，叫做这两条平行线之间的距离.
5.两条平行线之间的距离________________.
【答案】4.距离
5.处处相等
二、课前体验
如图，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A.7个 B.8个
C.9个 D.11个
【答案】C
三、课内探究，交流学习
1.观察·思考
观察下列图案，想一想它们都是什么形状？有何特点？
观察图形，说出各四边形中的边的位置有何特征？
两组对边 一组对边平行，另 两组对边
都不平行 一组对边不平行 分别平行
平行四边形的定义：
______________________________________________________，叫做平行四边形.
【答案】两组对边分别平行的四边形
认识平行四边形
（1）平行四边形的表示法：____________，读作：___________________；
（2）平行四边形的四个顶点分别为____________________________；平行四边形的四条边分别为_______________________，其中，___与____是对边，_____与____是对边；
（3）平行边形的四个内角分别为_________________________，其中，_____与______是对角，________与_______是对角.
【答案】(1)ABCD，“平行四边形ABCD”
（2）ABCD；AB,CD,AD,CB；AB,CD,AD,CB
（3）∠DAB,∠ABC,∠DCB,∠ADC;∠DAB,∠DCB;∠ABC，∠ADC
2.探究1：
平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角，除此以外，平行四边形中，边、角还有什么性质呢？
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
求证：（1）AB＝DC，AD＝BC；
（2）∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D，
证明：连接AC.
(1)∵AB//DC,AD//BC,
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
在 ABC和 CDA中,
∴△ABC≌△CDA. (ASA)
∴AB=DC,AD=BC.
(2)由(1)知△ABC≌ △CDA.
∴AB = DC, AD = BC,∠B=∠D.
平行四边形的性质：
性质1：平行四边形的对边相等；
性质2：平行四边形的对角相等.
3.自主学习，合作交流
例1 已知：如图，ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，
（1）如果AE＝2，求CD的长；
（2）如果∠AEB＝40°，求∠C的度数.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝AE＝2，
又∵CD＝AB，
∴CD＝2；
（2）由（1）知： ∴∠1＝∠3＝40°，
∴∠A＝180°－∠1－∠3＝100°，
又∵∠C＝∠A，
∴∠C＝100°.
4.探究2：
如图，直线l1∥直线l2，AB，CD是夹在直线l1 ，l2之间的两条平行线，
AB与CD相等吗？为什么？
【答案】相等
分析：根据平行四边形的定义可知。
结论：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
若AE⊥l2，CF⊥l2，则AE与CF相等吗？
【答案】相等
分析：因为AE⊥l2，CF⊥l2，所以AE//CF
根据平行四边形的定义可知相等。
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
什么叫做两条平行线之间的距离？
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离.
你能举一些日常生活中例子说明“两条平行线之间的距离处处相等”吗？
【答案】如：铁轨中间的枕木，大门上的平行线等
5.自主学习，合作交流
例2 已知：如图，ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，
∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离，
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，
线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离，
∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，AB＝4，
∴∠B＝∠BAE，
∴BE＝AE，
又∵AE2+BE2＝AB2，
∴2AE2＝16，
∴AE＝2，
同理：AF＝，
所以直线AD和直线BC之间的距离为2，直线AB和直线CD之间的距离为.
例3 已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△.
求证：△ABC的顶点分别是△三边的中点.
证明：∵AB∥C，BC∥A，
∴＝BC，
同理：＝BC，
∴＝，
同理：＝，＝，
∴△ABC的顶点分别是△三边的中点.
6.随堂练习
如图，在中，，，于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角求角度，直角三角形两锐角互余的性质；根据等边对等角求出，得到，根据平行四边形的对边平行得到，再根据直角三角形两锐角互余求出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
2.如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行且相等可得，，再根据顶点A，B，D的坐标求出长及点C的纵坐标即可．
【详解】四边形是平行四边形，
，，
A，B，D的坐标分别是，，，
，，
，点C的纵坐标为2，
顶点C的坐标是．
故选B．
3.如图，平行四边形的对角线与交于点，若，，．
(1)猜想的度数，并证明你的猜想；
(2)求平行四边形的周长．
【答案】(1)的度数为，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理：
（1）先根据平行四边形的性质可得，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）先利用勾股定理可得，再根据平行四边形的周长公式即可得解．
【详解】（1）解：的度数为，证明如下：
∵四边形是平行四边形，且，，
，，
，
，
∴是直角三角形，且；
（2）解：，，，
∴，
∴平行四边形的周长为．
4.如图，平行四边形中，连接．

(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，，求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）根据证明即可；
（3）根据，得出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，即为所作；

（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作垂直平分线，勾股定理三角形全等的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.如图，中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．19 C．22 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定；证明，得出，，进而可得四边形的周长为，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
， ，，
，
，．
又，，，，
四边形的周长为：．
故选C．
2．如图，点是的对角线交点，为中点，交于点，若，则的值为( )
A．2 B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】由本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质；利用平行四边形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：点是 的对角线交点，
，
为中点，
∴
，
．
故选：A．
3.如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键；
由中垂线的作法可知，然后由的周长为8，可知，继而可求出平行四边形的周长．
【详解】解：由作法得：垂直平分，
，
的周长为8，
即，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
故答案为：16．
4.如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为 .
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行且相等可得，，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可列出等式，求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
∴，
同理可证：，
∵，
即，
解得：；
故答案为：3．
5.如图，中，，，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．
(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）通过证明和全等即可．
（2）由为等腰直角三角形得出，由得，所以与都是等腰直角三角形，从而求得、的长，然后由（1）中和全等得出，进而求得的长，的长即可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及平行线的性质，熟练掌握各定理是解决本题的关键．
6.探究：如图①在的形外分别作等腰直角和等腰直角，，连接、．在图中找一个与全等的三角形，并加以证明．
应用：以的四条边为边，分别向其形外作正方形，如图②，连接、、、．若的面积为，则图中阴影部分的四个三角形的面积和为______．
【答案】（1），理由见解析；（2）
【分析】考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，首先证明：，则阴影部分四个三角形的面积和是 的面积的倍，据此即可求解．
【详解】．
证明：在平行四边形中，，，
等腰直角和等腰直角中，，，则，
，
，
，
，
，
，
同理，在图形②中，，
四个三角形的面积和为．
故答案为：．
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