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重难点1-1 基本不等式求最值
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中．题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等．
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点．在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用．
【题型1 直接法求最值】
满分技巧 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
【例1】（2023·河南信阳·高三宋基信阳实验中学校考阶段练习）
1．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【变式1-1】（2023·山东聊城·高三统考期中）
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·上海青浦·高三校考期中）
3．若且满足，则的最小值为 .
【变式1-3】（2023·河北保定·高三易县中学校考阶段练习）
4．若都是正数，且，则的最小值为 ．
【变式1-4】（2023·河南·模拟预测）
5．已知，则的最大值为 ．
【题型2 配凑法求最值】
满分技巧 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值． 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）
6．已知，则的最小值是 .
【变式2-1】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）
7．已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2-2】（2023·山西晋中·高三校考开学考试）
8．已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式2-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）
9．已知实数，满足，则的最小值为 .
【变式2-4】（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）
10．已知正实数x，y满足：，则的最大值为 .
【变式2-5】（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）
11．已知，，则的最大值为 .
【题型3 消元法求最值】
满分技巧 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围．
【例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）
12．实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2023·江苏镇江·高三统考期中）
13．已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）
14．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【变式3-3】（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）
15．已知，，且，则的最小值为 .
【变式3-4】（2023·河南洛阳·高三校联考模拟预测）
16．已知，则的最小值为 ．
【题型4 “1”的代换求最值】
满分技巧 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数． 模型1：已知正数满足，求的最小值． 模型2：已知正数满足求的最小值． 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．
【例4】（2023·辽宁铁岭·高三校联考期中）
17．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．25 B．36 C．42 D．56
【变式4-1】（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）
18．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）
19．若正实数，满足，则的最小值是 .
【变式4-3】（2023·青海海南·高三校联考期中）
20．已知实数，，且，则的最小值为 ．
【变式4-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）
21．若正数满足，则的最小值是 .
【变式4-5】（2023·河南周口·高三校考阶段练习）
22．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【题型5 双换元法求最值】
满分技巧 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得：
【例5】（2023·四川巴中·高三统考开学考试）
23．已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）
24．已知，，，则的最大值为 ．
【变式5-2】（2023·山东·高三省实验中学校考期中）
25．已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 .
【变式5-3】（2023·福建龙岩·高三校联考期中）
26．已知且，则的最小值为 ．
【题型6 齐次化法求最值】
【例6】（2023·四川·高三校联考阶段练习）
27．已知实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）
28．若且，则的最小值为 .
【变式6-2】（2022秋·福建南平·高三校考期中）
29．已知实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）
30．已知，则的最大值为 ．
【题型7 构造不等式求最值】
满分技巧 当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值．
【例7】（2023·广东江门·高三统考阶段练习）
31．已知，且，则的取值范围为 .
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）
32．若，则的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
【变式7-2】（2023秋·江西吉安·高三统考期末）
33．已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）
34．设，，且，则的取值范围为 .
【变式7-4】（2022秋·山西晋中·高三校考阶段练习）
35．已知正数满足，则的最大值是 .
【题型8 多次使用不等式求最值】
满分技巧 通过多次使用基本不等式求得代数式最值的过程中，需要注意每次使用基本不等式时等式成立的条件不同．
【例8】（2023·新疆喀什·统考一模）
36．已知，则的最小值为 .
【变式8-1】（2023·上海徐汇·高一上海中学校考期中）
37．若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
【变式8-2】（2023·辽宁丹东·高三凤城市第一中学校考阶段练习）
38．若，则的最小值为 .
【变式8-3】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）
39．已知，则的最小值是 ．
（建议用时：60分钟）
（2023·广东·高三统考学业考试）
40．若，则的最小值（　　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023·河北·高三统考阶段练习）
41．已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．12 D．4
（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江第三高级中学校考期中）
42．已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
（2023·四川·高三校联考阶段练习）
43．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
44．已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）
45．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）
46．若都是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
（2023·河南·高三校联考期中）
47．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B． C．8 D．4
（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）
48．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
（2022·重庆·高三统考阶段练习）
49．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C． D．
（2023·湖北·高三校联考期中）（多选）
50．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）（多选）
51．已知，，，则（ ）
A．的最小值为9 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
（2023·山东·高三济南一中校联考期中）（多选）
52．若实数满足，则（ ）
A．当时，有最大值 B．当时，有最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最小值
（2023·全国·高三模拟预测）（多选）
53．实数，满足，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
（2023·山东烟台·高三统考期中）
54．若，，，则 的最小值为 .
（2023·重庆·高三统考期中）
55．已知x，，且，则的最大值为 ．
（2023·上海宝山·高三校考期中）
56．当时，的最小值是 .
（2023·浙江·高三校联考阶段练习）
57．已知，，，则的最小值为 ．
（2023·江苏南通·高一统考期中）
58．已知，，，则的最小值为 .
（2023·山西·校考模拟预测）
59．已知，且，则的最小值是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为，，
则由基本不等式可得，
所以有，
当且仅当时等号成立.
故选：B.
2．A
【分析】根据题意，由指数的运算，结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】因为，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：A
3．
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
当，即或时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．
【分析】直接利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：.
5．1
【分析】根据基本不等式即可求出的最大值.
【详解】由题意，
在中，
，
当且仅当时取等号，
即，
故答案为：.
6．
【分析】将表达式等价变形，利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
7．A
【分析】根据已知条件，应用基本不等式求的最大值，注意取值条件.
【详解】，当且仅当时取等号.
即的最大值为.
故选：A
8．B
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，因为，解得，
故选：B
9．4
【分析】通过变形构造基本不等式形式，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】
，当且仅当时，取得最小值，
故答案为：4
10．
【分析】利用不等式，直接计算即可.
【详解】，
当且仅当，即时取得等号；
故的最大值为；
故答案为：.
11．##
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，，所以
，
当且仅当即等号成立.
故答案为：.
12．D
【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可.
【详解】因为，
所以
所以，当且仅当取等号
故选：D．
13．B
【分析】由已知等式变形可得，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，则，可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，
故的最小值为.
故选：B.
14．D
【分析】由已知可得且、，再由，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件.
【详解】由，，即，易知，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
所以的最小值为.
故选：D
15．##
【分析】利用等式条件，变形，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由，可得，因为，可得，
，
当时，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
16．##
【分析】先求得的取值范围，再把整体代换构造均值不等式即可.
【详解】由已知得，所以，
则
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，
故答案为：
17．B
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出最值.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为36.
故选：B.
18．B
【分析】根据“1”的灵活应用，结合基本不等式求解.
【详解】正数，满足，即，
则，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：B.
19．.
【分析】应用基本不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】由正实数，满足，即，
则，
当且仅当且，即，时等号成立.
故答案为：.
20．##
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
当且仅当，且，即，时等号成立．
所以，的最小值为.
故答案为：.
21．
【分析】根据题意可得，再根据函数的单调性质，求出，然后利用基本不等式“”的应用，即可求解.
【详解】根据条件，得：，
又函数在上单调递增，所以，即，
又因为都是正数，
所以，
当且仅当时取等，所以最小值为.
故答案为：.
22．
【分析】变形得到，结合，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，
由，得，故，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
故答案为：
23．B
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
24．##
【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令，，
则，，，，，所以，
所以，
当且仅当，，即，时等号成立．
故答案为：
25．
【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果.
【详解】因为，即，
设，则，且，
原式
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4
26．8
【分析】由已知变形为，令所以，使用基本不等式求最小值即可.
【详解】由得，
即，所以，
令得
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：8
27．C
【分析】由已知可得出，可得出，再利用基本不等式可求出所求代数式的最小值.
【详解】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
28．
【分析】由对数运算和换底公式,求得的关系为，逆用作常数替换，为齐次式,再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为,,,
所以,所以.
故，
当且仅当,即时取等号，结合,即时取等号，
所以最小值为.
故答案为：
29．D
【分析】原式变形为，利用均值不等式可得，进一步根据分式性质讨论最值即可.
【详解】由题意得，，当且仅当等号成立，
又，此时，.
故选：D
30．
【分析】通分化简整理，再利用基本不等式求得最大值.
【详解】因为，则，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
31．
【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可.
【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，
令，则上式为：，即，
解得或（舍），所以的取值范围为.
故答案为：.
32．C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
33．B
【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解.
【详解】解：由，变形为，设，
∵，当且仅当时，取等号，即，
∴，∴，
即，，
∴，∴，
此时，，即，时，的最大值为8.
故选：B.
34．
【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
【详解】因为，，则，
由基本不等式可得，所以，，
即，因为，解得，即，
当且仅当时，等号成立，
故的取值范围是.
故答案为：.
35．
【分析】设，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.
【详解】设，则，
所以，当且仅当时取等号.
所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
36．
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
37．
【分析】将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】
，
所以，
当且仅当时取到等号，
故答案为：
38．4
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由完全平方公式可知：，当且仅当时取等号，
所以有，当且仅当时取等号.
故答案为：4.
39．
【分析】先利用基本不等式求得范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案.
【详解】，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
40．C
【分析】由基本不等式，当且仅当时等号成立
【详解】，当且仅当时取等号.
故选：C
41．A
【分析】换元令，可得，，根据“1”的灵活应用结合结合基本不等式运算求解.
【详解】令，则，
可得，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：A.
42．D
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】已知，则，，
当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16.
故选：D．
43．C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，，，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C．
44．C
【分析】根据点在直线上得a，b关系，然后由基本不等式可得.
【详解】因为点在直线上，则，即，
所以，
当且仅当，即，时，其取得最小值4.
故选：C．
45．B
【分析】由，两边取对数得到，再设，两边取对数，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
设，
则，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故选：B
46．A
【分析】根据条件，变形，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】，
即，
，
当，即时等号成立.
即，则，
则，解得：，，
或，解得：，，
所以的最小值为.
故选：A
47．D
【分析】根据题意，得到，求得，结合基本不等式求得，再由指数幂的运算公式，即可求解.
【详解】由正数满足，可得，即，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以
又由，
所以的最小值为.
故选：D.
48．C
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可
【详解】由条件知，
，
当且仅当时取等号.
故选：C
49．C
【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.
【详解】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因为，，
所以
.
当且仅当时，即时等号成立.
的最小值为.
故选：C.
50．ABC
【分析】利用基本不等式及对数的运算性质判断A，利用基本不等式及对数函数的性质判断B，利用乘“1”法及基本不等式判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】因为，，且，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
易知，即，所以，
所以，故，当且仅当时取等号，故B正确；
因为，又，所以，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
因为，，且，所以，
当且仅当时取等号，又，
所以，故D错误.
故选：ABC
51．CD
【分析】A应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取等条件；B由，应用二次函数性质求最值；C、D利用基本不等式及指数运算性质求最值，注意取等条件.
【详解】A：因为，，，
所以，
当且仅当时取等号，取得最小值，错；
B：，二次函数的性质知，当，时取得最小值，错；
C：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，对；
D：，当且仅当，即，时取等号，对.
故选：CD
52．ACD
【分析】根据基本不等式求最值后判断．
【详解】当时，，当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确；
当时，，设，则化为，因为，，所以方程有两不等实根，，只要，则，即方程有两个不等正根，相应的关于的方程都有实数解，所以取任意大的正实数，都存在使之成立，从而即没有最大值，选项B错误；
当时，，
当且仅当时时有最小值，最小值为－6，选项C正确；
当时，，
当且仅当时等号成立，有最小值，最小值为，选项D正确．
故选：ACD．
53．ACD
【分析】对于A选项，利用基本不等式即可判断；对于B选项，利用参数方程即可求解；对于C选项，利用B选项即可求解；对于D选项，令即可求解,
【详解】对于A选项，由，得，
所以，当且仅当时取“=”，故A正确；
对于B选项，令且，则，
其中，，
又，所以的最大值为1，
所以的最大值，故B错误；
对于C选项，由B中的分析知，，
其中，，
又，所以，故C正确；
对于D选项，令，
则，
且，所以当时，取最大，
故D正确.
故选：ACD.
54．
【分析】由已知条件得，利用基本不等式求最小值.
【详解】，，，
则 ，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8
55．##
【分析】设，代入，由判别式不小于0可得.
【详解】设，
由得，
，解得，
时，，
故答案为：.
56．
【分析】根据题意，由原式可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，
其中
，当且仅当时，即时，等号成立，此时
即的最小值是.
故答案为：
57．
【分析】依题意得， ，则，由基本不等式求解即可.
【详解】解：依题意得，，则，
故，
当且仅当时等号成立，又，
解得，
所以的最小值为.
故答案为：.
58．##
【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，，
所以，当且仅当时取等号，即时，有最小值，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用等式把代数式变形为.
59．8
【分析】通过对变形可得和，然后利用基本不等式可解.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
又，所以，即，
即，所以，
则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：8
答案第1页，共2页
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