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重难点2-2 抽象函数及其应用8大题型
抽象函数指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题.抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一.
【题型1 抽象函数的定义域问题】
满分技巧求抽象函数的定义域 ①已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则中，解得的取值范围即为的定义域； ②已知的定义域，求的定义域： 若的定义域为，则由确定的范围，即为的定义域； ③已知的定义域，求的定义域: 可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域； ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是的取值范围，同一个下括号内的范围是一样的.
【例1】
（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）
1．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】
（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）
2．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】
（2023·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）
3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【变式1-3】
（2023·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【变式1-4】
（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第三十二中学校校考阶段练习）
5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
【题型2 抽象函数的求值问题】
满分技巧以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值.常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值.
【例2】
（2024·山西晋城·统考一模）
6．已知定义在上的函数满足，，，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2-1】
（2023·陕西·高三校联考阶段练习）
7．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
【变式2-2】
（2023·贵州遵义·高三校考阶段练习）
8．已知函数满足，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2-3】
（2023·全国·高三专题练习）
9．设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【变式2-4】
（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）
10．对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ．
【题型3 抽象函数的解析式问题】
满分技巧①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f（x）； ②凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求； ③待定系数法：已知函数类型， 设定函数关系式， 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数； ④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式； ⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式； ⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数（如），将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求的解析式.
【例3】
（2023·江苏扬州·高三统考开学考试）
11．写出满足的函数的解析式 ．
【变式3-1】
（2024·海南海口·高一海南中学校考期末）
12．已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【变式3-2】
（2023·全国·高三专题练习）
13．定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.
【变式3-3】
（2023·江苏·高一课时练习）
14．设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.
【题型4 抽象函数的值域问题】
【例4】
（2024·全国·高三专题练习）
15．若函数的值域是，则函数的值域为 ．
【变式4-1】
（2022·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）
16．已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是 .
【变式4-2】
（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）
17．已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】
（2023·湖南·高三祁东县第一中学校联考阶段练习）
18．已知函数的定义域和值域均为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【变式4-4】
（2022·全国·高三课时练习）
19．已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 抽象函数的单调性问题】
满分技巧判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或.
【例5】
（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）
20．已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ．
【变式5-1】
（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）
21．已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ）
A．
B．函数在区间为增函数
C．函数在区间为增函数
D．
【变式5-2】
（2023·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考期中）
22．已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③.
(1)求，判断并证明的单调性；
(2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式5-3】
（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）
23．函数的定义域为，对于，，，且当时，．
(1)证明：为减函数；
(2)若，求不等式的解集．
【变式5-4】
（2023·河南·校联考模拟预测）
24．已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.
(1)求的值;
(2)判断的单调性，并证明;
(3)解关于的不等式:.
【题型6 抽象函数的奇偶性问题】
满分技巧奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断和的关系.
【例6】
（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）
25．已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
【变式6-1】
（2023·云南·校联考模拟预测）
26．已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
【变式6-2】
（2023·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）
27．已知 ，且，则是（　　）
A．偶函数 B．奇函数
C．非奇非偶函数 D．不能确定
【变式6-3】
（2023·重庆·高三统考阶段练习）
28．已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（ ）
A．不是奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．是奇函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【变式6-4】
（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）
29．已知定义在上的函数满足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明．
【题型7 抽象函数的周期性问题】
满分技巧函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）；
【例7】
（2023·河南·高三校联考阶段练习）
30．已知函数的定义域为R，对任意实数，都满足且，，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】
（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）
31．已知函数的定义域为，且对任意实数，满足，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式7-2】
（2024·福建厦门·统考一模）
32．已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-3】
（2024·浙江宁波·高三统考期末）
33．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
【变式7-4】
（2023·陕西咸阳·高三统考期中）
34．已知函数的定义域为，且，，则 .
【题型8 抽象函数的对称性问题】
满分技巧1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称. 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称.
【例8】
（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）
35．已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（ ）
A．有对称中心 B．有对称轴
C．是增函数 D．是减函数
【变式8-1】
（2023·四川南充·高三南充高级中学校考阶段练习）
36．已知定义在上的函数满足，且与曲线交于点，，…，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】
（2024·湖南邵阳·统考一模）
37．已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．是周期函数 D．
【变式8-3】
（2024·河南漯河·高三统考期末）
38．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-4】
（2024·湖南邵阳·统考一模）
39．已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C． D．
（建议用时：60分钟）
（2022·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）
40．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）
41．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南·高三校联考阶段练习）
42．下列函数中，满足的为（ ）
A． B． C． D．
（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）
43．已知函数满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
44．已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A． B．
C． D．若，则周期为
（2023·福建·校联考模拟预测）
45．已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）
46．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在单调递减，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）
47．若函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．
（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）
48．已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为偶函数
（2024·广东汕头·高三统考期末）
49．已知定义在上的函数满足：，，且当时，，若，则（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．
（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）
50．写出一个满足：的函数解析式为 .
（2023·四川泸州·统考一模）
51．若函数对一切实数，都满足且，则 ．
（2023·全国·模拟预测）
52．若函数的定义域为，且，，则 ．
（2023·辽宁·高三校联考开学考试）
53．定义在R上的函数对任意，都有，当时，.
(1)求的值；
(2)试判断在R上的单调性，并说明理由；
(3)解不等式.
（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）
54．已知函数对任意，，总有，且当时，，．
(1)求证：是上的奇函数；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
2．C
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，
所以，函数的定义域为，
对于函数，则有，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
3．
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，函数的定义域是，
所以对于函数来说，有，
所以函数的定义域是.
故答案为：
4．
【分析】利用给定的函数有意义，列不等式求解作答.
【详解】函数的定义域为，则由有意义，
得，解得，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：
5．
【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法即得.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，则，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
6．B
【分析】对于抽象函数的关系式，可考虑对进行赋值，借助于建立方程组，求解即得.
【详解】令，得，即①
因②，联立①②解得：或，又，所以．
故选：B.
7．C
【分析】根据解析式赋值代入，解得;
【详解】令，解得，
然后逐项带入，解得：
，
故选：C.
8．A
【分析】分别令，，得出与的关系后可得结论．
【详解】令，得；
令，，得；
令，得.
将以上三式相加得，即.
故选：A．
9．－1
【分析】赋值得到，然后代入求解即可.
【详解】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案为：.
10．
【分析】先令，可得恒成立，再用赋值法即可得答案.
【详解】依题意，取，有，则恒成立，
取，则.
故答案为：.
11．
【分析】利用赋值法可得函数解析式.
【详解】中，令，得；
令得，故，
则．
故答案为：．
12．1,（答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.
【详解】令，则，
又，
所以，即，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数，则，
也可取，则，满足题意.
故答案为：,（答案不唯一）
13．
【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式.
【详解】对任意实数，，，
令，得，即，
又，所以.
14．
【分析】利用赋值法可求的解析式.
【详解】由已知条件得，又，
设，则，
所以即
∴.
此时,
而,
符合题设要求，故.
15．
【分析】根据的值域是，分步求出的值域.
【详解】因为函数的值域是，
所以函数的值域为，
则的值域为，
所以函数的值域为．
故答案为：．
16．
【分析】根据函数关系式可得，分别求，， ，，上的值域，进而可得结果.
【详解】因为是上周期为1的函数，
，
故对任意的整数，
当时，，
而，
即，
故当，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
当.
则在的值域是
故答案为：.
17．C
【分析】根据已知可推得的定义域与值域，然后即可得出，根据交集的运算得出答案.
【详解】由已知的定义域为，值域为，
可得的定义域为，值域为，
所以，
所以，所以，.
所以，.
故选:C.
18．ABC
【分析】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD.
【详解】函数中的x需满足，解得，
故函数的定义域为，故A正确；
函数中的x需满足解得，
故函数的定义域为，故B正确；
函数和的值域都为，故C正确，D错误．
故选：ABC．
19．B
【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.
【详解】对于①，因为，则，①不满足条件；
对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；
对于③，因为，则，③满足条件；
对于④，因为，，则，④满足条件.
故选：B.
20．
【分析】利用赋值法判定函数的奇偶性与单调性，再根据条件求出，根据单调性解不等式即可.
【详解】令得，
令，得，则为奇函数，
设，则，
因为当时，，所以，则，
所以在R上单调递增．
由，得，
所以．
可化为，所以，
解得．
故答案为：
21．ABD
【分析】利用构造函数结合函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，当时，恒有，
令，则，
所以A选项正确.
不妨设，
设，，
由于，所以，
所以，，
所以在为增函数，所以B选项正确.
设的符号无法判断，
所以的单调性无法判断，所以C选项错误.
由上述分析可知，函数在为增函数，
所以，
所以，
同理，
所以，
所以
，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
22．(1)；在上的单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用赋值法求解函数值，利用函数的单调性证明即可；
（2）把恒成立问题转化为，再利用函数单调性转化为，分类讨论，判别式法求解即可.
【详解】（1）令，得，
解得；在上的单调递增.
证明如下：任取，即，
则，
因为时，，所以时，，
所以在上的单调递增.
（2）令，得，
因为，所以，
不等式等价于，
即；
因为在上单调递增，所以恒成立，
①时，，解得，不等式并非在上恒成立；
②时，只有满足条件，解得.
综上可得.
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明；
（2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解.
【详解】（1）设，且，
则，，
因为，
所以，
即为减函数.
（2）因为，
所以，
令，则，即，
所以，
又因为在上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
24．(1)
(2)是上的减函数，证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意，令，即可求得；
（2）令，得到，所以为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）化简不等式为，结合函数的单调性，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数对任意实数恒有成立，
令，则，所以.
（2）解：函数为上的减函数.
证明:令，则，所以，故为奇函数.
任取，且，则，
因为当时，，所以，
所以
，即，所以是上的减函数.
（3）解：根据题意，可得，
由（2）知在上单调递减，所以，
即，可得，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
25．BCD
【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断.
【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；
由，得，所以为奇函数，B项正确；
因为，所以为偶函数，C项正确；
因为，所以为偶函数，D项正确.
故选：BCD.
26．AD
【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.
【详解】选项A：
设，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，
，所以为偶函数，故A正确；
选项B：
，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故B错误；
选项C：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以为偶函数，故C错误；
选项D：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，，
因为是不恒为0的函数，
所以不恒成立，所以不是奇函数，，
因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，
所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，
故选：AD.
27．A
【分析】由赋值法得出，再由，结合定义判断即可.
【详解】取，则，因为，所以.
取，则，即.
即函数是偶函数.
故选：A
28．BC
【分析】根据，对取特殊值，分别根据奇函数与偶函数的定义可判断的奇偶性，根据可得，进而可得奇偶性.
【详解】令，得，令，得，则，
所以既是奇函数又是偶函数．
由，得，
因为，所以是奇函数．
故选：BC
29．(1)，，
(2)偶函数，证明见解析
【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得，
（2）令，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论.
【详解】（1）令，得，
因为，所以．
令，得，
因为，所以．
令，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）为偶函数．
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数．
30．C
【分析】由题得出函数的周期性和奇偶性，即可求解.
【详解】由，有，可得，所以的周期为2．
令，代入，可得，所以，
故函数为奇函数，
所以
因为，所以，所以．
故选：C
31．B
【分析】利用赋值法，结合周期性求得正确答案.
【详解】因为且，
令，，
则，故，即，
所以：，，
所以函数是周期为6的周期函数.
在中，
令，，得，则；
令，，得，则；
由得：，，，，所以
故由函数的周期性知中，
任意连续6个数之和为，而，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于抽象函数求值的问题，解题方法主要有两个，一个是赋值法，根据已知条件进行赋值，可求得相关的函数值，由此来对问题进行求解；第二个是利用周期性进行求值，函数周期性的表现形式有很多，但最重要的是.
32．A
【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得与已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函数的周期为4.
.
故选：A.
33．D
【分析】根据表达式得出规律，即可求出的值.
【详解】由题意，
在中， 定义域为，，
当时，，解得：，
当时，，
即
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
……函数值周期性变化，周期为3，
∵，
可得：
，
故选：D.
34．
【分析】利用赋值法，结合周期性求得正确答案.
【详解】依题意，，，
令得，
所以，则，
，
所以，
所以是周期为的周期函数.
令，则，
，
，
，所以，
因为，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是采用赋值法结合已知条件得到函数的周期性，利用函数的周期性求值.
35．B
【分析】依题意取特值即可求解.
【详解】令，得，∴；
令，得，∴；
令，得，
∴的图象关于直线关于对称，
故选：B.
36．B
【分析】根据函数的对称性即可求解.
【详解】由可得，
所以关于对称，
又关于对称，
因此，
故选：B
37．ACD
【分析】对于A,根据为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用的图象可以由向左平移1个单位即可判断；对于C,根据是奇函数及关于对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得的值，进一步计算即可.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以的图象关于直线对称.故A正确；
因为为奇函数，则其图象关于对称，
向左平移一个单位后得到的图象，
则的图象关于对称，故B错误；
因为为奇函数，则，
则有，
所以①,
又，
则②,
由①②，
则，
则，，
则，
所以8是函数的一个周期.，
是周期函数，故C正确；
因为，，
所以，
，
所以，
故D正确，
故选：ACD.
38．BC
【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项正确；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误.
故选：BC.
39．BC
【分析】根据已知得出关于对称.假设关于对称，求导即可得出矛盾；根据偶函数的性质，得出，两边同时除以，即可判断B；根据已知，结合导函数得出关于对称，也关于对称，即可得出，，进而推得，即可得出C项；根据已知，无法确定.
【详解】对于A项，因为为偶函数，
所以关于对称.
若关于对称，则导函数关于点对称，
这与关于对称矛盾，所以A错误；
对于B项，因为为偶函数，
所以，即，
所以，所以B正确；
对于C项，因为为偶函数，
所以为奇函数，
所以关于对称，关于对称，所以.
又关于对称，所以.
所以，，
所以，故C正确；
对于D项，由A知，关于点对称，.
但无法确定.故D错误.
故选：BC.
40．C
【分析】先由函数的定义域为求出的定义域，再由可得答案.
【详解】函数的定义域是
满足，即，
又分母不为0，则，
所以函数的定义域为：
故选：C.
41．D
【分析】由函数的定义域，求出的定义域，即可得出答案.
【详解】由题意可知，所以，所以的定义域为，
从而的定义域为.
故选：D.
42．B
【分析】方法1：令，证明，找到满足此条件的函数；
方法2：令，得，找到满足条件的选项．
【详解】（方法1）令，则，．
由于，即，
所以．
而满足的函数有对数函数（，），
所以，只有B选项符合题意，其它选项均不符合．
（方法2）令，则，得．在四个选项中，只有B选项满足，其它选项均不符合．
故选：B
43．A
【分析】赋值法得到，进而得到，即是以6为周期的函数，且得到，从而利用函数周期性求解出.
【详解】，
令得：，
因为，所以，
令，得：，
即，
则，
上面两式子联立得：，
所以，
故，
故是以6为周期的函数，
且
，
所以
故选：A
44．A
【分析】利用赋值法求判断A；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得，化简得，即可判断D.
【详解】由，
令，，有，
可得或，A错；
当时，令，
则，，
函数既是奇函数又是偶函数，，
当时，令，
则，则，
函数是偶函数，，
综上，B正确；
令，则，
故，
由于，令，即，
即有，C正确；
若，令，
则，
所以，
则，
，
所以，
则周期为，D正确.
故选：A
45．B
【分析】由非零实数的任意性，利用等式，赋值或赋式可得偶函数，再利用特殊函数验证排除法可得.
【详解】令，则，所以.
令，则，所以.
令，，则，
所以为偶函数，故排除D选项；
由题意可知，函数满足定义域为，
且对任意非零实数，
都有，
符合题意，但不为奇函数，故排除AC.
故选：B.
46．D
【分析】举反例排除A、B、C，令即可，然后根据已知条件证明在上分别单调递增、单调递减，从而由单调性的定义即可判断D选项正确.
【详解】不妨设，满足题意，
此时在单调递增，故A选项错误；
在单调递增，故B选项错误；
在单调递增，故C选项错误；
对于D选项，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以有，
又在单调递减，且当时，有，
所以由复合函数单调性可知，在上分别单调递增、单调递减，
不失一般性，不妨设，则，，
所以在单调递减，故D选项正确.
故选：D.
47．BCD
【分析】对于A，令,可得；对于B，令，可得，即可判断；对于C，令得，再令即可判断；对于D，根据条件可得,继而，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.
【详解】对于A，令，则，
因为，所以，则，
故A错误；
对于B，令，则，
则，故B正确；
对于C，令得，，
所以，
令得，，
则的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由得，
又，所以，
则，，
所以，则函数的周期为，
又，，
则，
，
则，
所以，
故D正确，
故选：BCD.
48．BD
【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.
【详解】令，则，∴或1．
令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；
令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.
故选：BD．
49．AC
【分析】利用赋值法可判断AC；利用函数单调性的定义，结合题设条件可判断B，利用条件推得，从而利用累加法与等差数列的求和公式可判断D.
【详解】对于A，因为，，
令，得，则，故A正确；
对于C，令，得，则，
所以，故C正确；
对于B，设且，则，
则 ，
因为当时，，所以，即
所以在上单调递增，故B错误；
对于D，令，得，
则，，，，
上述各式相加，得，
又，
所以，故D错误；
故选：AC.
50．
【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.
【详解】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
故答案为：
51．
【分析】直接利用赋值法即可求得结果.
【详解】由题知，，
令，，
则，
所以.
故答案为：
52．
【分析】利用赋值法依次求得，再利用赋值法推得的周期为12，从而利用函数的周期性即可得解.
【详解】因为，
令，有，则或．
若，则令，，
有，得，与已知矛盾，所以．
令，有，
则，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，有，得，
令，有，即，
所以，故，
所以的周期为12．
又因为，
所以．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用赋值法推得的周期性，从而得解.
53．(1)
(2)在R上单调递增，理由见解析
(3)
【分析】（1）赋值法求出；
（2）设，则，从而得到，故，得到在R上单调递增；
（3）变形得到，结合在R上单调性，得到不等式，求出解集.
【详解】（1）令，可得，解得.
（2）在R上单调递增，理由如下：
设，则，
，
因为当时，，所以，
则，即.
故在R上单调递增；
（3），
即，
因为在R上单调递增，所以，解得，
故原不等式的解集为.
54．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用进行赋值，即可得到函数奇偶性.
（2）结合定义法证明在上的增减性.
（3）利用单调性和奇偶性进行不等式的变形，之后借助单调性进行不等式的求解.
【详解】（1）证明：函数对任意，，总有，令，则，解得.
令，得到，则
可证，是上的奇函数.
（2）证明：在上任取、且，则，
由（1）是上的奇函数，
所以，
因为，所以.
由题可知，当时，，
所以.即
所以函数是上的减函数.
（3）因为，
令，则
令，则.
因为，
所以
又因为函数是上的减函数，
所以，则，解得，
则实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：在对抽象函数进行奇偶性求解时，可先进行赋值计算，再令代入即可判断函数的奇偶性.
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