资源简介

04-二次根式 备考2024中考数学一轮复习
1．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
2．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
3．若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>b B．a4．把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　 ）
A． B． C． D．
5．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A． B． C． D．
6．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）
A． B． C． D．
7．已知.则xy=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　）
①只存在一组和使得；
②只存在两组和使得；
③不存在和使得；
④若只存在三组和使得，则的值为49或64
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；
②若a是的小数部分，则的值为；
③比较两个二次根式的大小：；
④计算；
⑤若，，且，则整数．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤
11．已知，则的算术平方根是 ．
12．若，则的值为 ．
13．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ．
14．已知为实数，记，
（1）当时，的值为 ．
（2）的最小值为 ．
15．已知，则的值是 ．
16．若的最大值为，最小值为，则的值为 .
17．已知，，求的值．
18．已知满足．
（1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
19．已知m，n满足，求的值.
20．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
21．在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
22．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
23．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了二次根式的性质、化简绝对值、数轴，正确掌握相关的性质内容是解题的关键．
根据数轴判断a、b、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】由数轴知，，且
，，
，
，
，
．
故选：D
2．A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
3．B
【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵
，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
5．C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
6．A
【分析】根据公式解答即可．
【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则
其面积为
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.
【详解】
配方得
将代入得：
计算得：
故选：D.
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.
8．C
【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．
【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，
故该选项①正确；
②，
当，则
当则．
故选项②正确；
③，
当时，
，所以不存在，
故该选项③正确；
④，
，
当时，，
，
，
有无数和满足等式，故该选项④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．
9．B
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；
，它的整数部分为4，小数部分为；
，它的整数部分为5，小数部分为；
，它的整数部分为7，小数部分为；
，它的整数部分为8，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；
∴①，正确；
②的小数部分为，错误；
③，正确；
④
，错误；
⑤
，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
10．D
【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；
②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；
⑤与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值．
【详解】解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①对；
∵a是 的小数部分，
∴，
∴，
故②错误；
∵，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③对；
∵
，
故④错误；
⑤∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵，
∴，
即，
解得.
故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化,解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，算术平方根．熟练掌握二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，算术平方根是解题的关键．
由，可知，，即，则，，求，然后根据的算术平方根是，代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
∴，
解得，，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
12．2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
13．或或
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
14．
【分析】（1）将时，代入进行计算即可得到答案；
（2）将式子化为，设，，，，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案．
【详解】解：（1）当时，
，
故答案为：；
（2）
，
设，，，，
根据题意画出图如图所示：
，
作关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，与轴交于点，即为所求，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，最短路径问题，熟练掌握二次根式的化简方法以及最短路径问题的模型，是解题的关键．
15．9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
16．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可．
【详解】解：∵
∴，
解得：，
将等式两边平方，得，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
17．970
【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．
18．（1）；；（2）2020
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.
（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，
∴；
∴，
∴；
故答案为：；；
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
19．
【分析】由得出（+2）2﹣2（+2）﹣3＝0，将看做整体可得=-1（舍）或=3，代入计算即可．
【详解】解：∵＝3，
∴()2+2+(2）2﹣2（+2）﹣3＝0，
即（+2）2﹣2（+2）﹣3＝0，
则（+2+1）（+2﹣3）＝0，
∴+2＝﹣1（舍）或+2＝3，
∴原式＝＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．
20．(1)c>d
(2)m(3)4或4
【分析】（1）根据题干中“平方法”比较实数大小；
（2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小；
（3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案．
【详解】（1）解：∵c2=32，d2=28，
则c2>d2，
∴c>d；
故答案为：>．
（2）解：猜想：m证明：∵m＝，n＝，
∴m2=()2=26+4， n2＝()2=26+4，
∵<，
∴m2∴m（3）解：∵，，
∴
=2
=2+2
∵≥0
∴p≥1，
分情况讨论：
①若≤0，即1≤p≤2时，
原式=2+2，
=4；
②若>0，即p>2时，
原式=2+2，
=4
综合①②得：
当1≤p≤2时，原式=4；
当p>2时，原式=4；
故答案为：4或4．
【点睛】此题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论．
21．(1)3，
(2)43
(3)或
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）先进行分母有理化，再求和即可；
（3）根据题意可得，求出的取值范围可得，再由是整数，可求的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
故答案为：3，；
（2）
，
，
，
；
（3），
，
，
解得，
，
是整数，
或
解得或
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理数化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．（1），；（2），；（3），
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页