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第6章 实数 学案
【学习目标】
1.理解平方根、立方根、无理数、实数的概念及性质.
2.掌握平方根、立方根及实数的简单运算.
3.通过本章内容的复习与总结，形成本章的知识体系，提高分析、解决问题的能力.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，培养应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.在本章的学习过程中，用到了哪些重要的数学思想方法，请举例说明.
【合作学习，课内探究】
对点练习1
的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
对点练习2
下列说法不正确的是（ ）
A．的算术平方根是 B．是的一个平方根
C．是的立方根 D．的立方根是
对点练习3
1.在，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①②③④⑤⑥⑦⑧（两个“3”之间依次多一个“0”）
非负整数集合：{______}；
负分数集合：{______}；
无理数集合：{______}；
易错题辨析
1. 的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
2.的立方根为（ ）
A． B．4 C．8 D．
典例讲解
例 (1)计算： ．
(2) 计算：
解题方法总结：
综合小测试
1.下列各等式中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
2．的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
3.一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（ ）
A． B． C． D．
4.下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5.如图，已知正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为．现以A为圆心，为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6.实数，，，，，，.中，无理数的个数为（ ）
A． B． C． D．
7.已知 ，则 ．
8.的立方根是 ，的平方根是 ．
9.用“”定义新运算：对于任意实数，都有，如果，那么等于 ．
10.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．
(1)根据上述平方根的意义，试求方程的解．
(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
11.（1）计算：；
（2）已知．求x的值．
能力拓展
1.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求的值.
【答案】或
2.已知a的平方根是，b的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求的平方根；
(2)若x是的小数部分，求的值．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
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第6章 实数 学案
【学习目标】
1.理解平方根、立方根、无理数、实数的概念及性质.
2.掌握平方根、立方根及实数的简单运算.
3.通过本章内容的复习与总结，形成本章的知识体系，提高分析、解决问题的能力.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，培养应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.在本章的学习过程中，用到了哪些重要的数学思想方法，请举例说明.
【答案】（1）逆向思维方法，例如在证明是无理数时，利用假设是有理数的反证法
类比思维方法，如循环小数转化成分数的方法探究
形象思维方法，例如用数轴表示无理数并比较大小
（4）系统思维方法，例如在探究实数分类过程中。
【合作学习，课内探究】
对点练习1
的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，一般地，如果一个正数的平方等于，那么这个正数叫做的算术平方根，根据算术平方根的定义即可解决问题．
【详解】解：，
的算术平方根是．
故选：A．
对点练习2
下列说法不正确的是（ ）
A．的算术平方根是 B．是的一个平方根
C．是的立方根 D．的立方根是
【答案】C
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．
根据平方根，算术平方根，立方根的定义，分析每一个选项，只有选项符合题意，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
、的算术平方根是，说法正确，故本选项不符合题意；
、是的一个平方根，说法正确，故本选项不符合题意；
、是的立方根，选项说法不正确，故本选项符合题意；
、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意，
故选：．
对点练习3
1.在，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．由题意直接根据无理数的定义，进行分析即可得出答案．
【详解】解：实数，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有、、…（每两个之间依次多一个），共计个，
故选：C．
2.把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①②③④⑤⑥⑦⑧（两个“3”之间依次多一个“0”）
非负整数集合：{______}；
负分数集合：{______}；
无理数集合：{______}；
【答案】①④；②⑥⑦；③⑤⑧
【分析】本题考查实数的分类．根据非负整数：0和正整数；负分数：小于0的分数；无理数：无限不循环小数，作答即可．
【详解】解：；
非负整数集合：{①④}；
负分数集合：{②⑥⑦}；
无理数集合：{③⑤⑧}；
故答案为：①④；②⑥⑦；③⑤⑧．
易错题辨析
1. 的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据平方根的定义进行求解即可，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B
2.的立方根为（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，由可得答案，熟记立方根的含义是解本题的关键．
【详解】解：的立方根为；
故选A
典例讲解
例 (1)计算： ．
(2) 计算：
【答案】（1），（2）
【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可；
（2）本题考查实数的混合运算．先化简各数，再进行加减运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式．
解题方法总结：
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
综合小测试
1.下列各等式中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的定义进行逐一判断即可．
【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
2．的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．直接根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：
故选：A．
3.一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了立方根的计算，先计算每个立方体的体积，再求立方根计算即可．
【详解】解：一个正方体木块的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，
则每个小正方体木块的体积为，
所以每个小正方体木块的棱长是，
故选：A．
4.下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．根据算术平方根的定义可判断A，B，C，根据立方根的定义可判断D．
【详解】解：A．，故错误；
B．，故错误；
C．，故错误；
D．，故正确．
故选：D．
5.如图，已知正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为．现以A为圆心，为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是，且点E在点A的左侧，
∴点E表示的数为．
故选：C．
6.实数，，，，，，.中，无理数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【详解】解：，
实数，，，，，，．中，无理数有，，共个．
故选：B．
7.已知 ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．根据非负数的性质求出a、b的值，代入所求的式子计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：4．
8.的立方根是 ，的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的定义、立方根的定义，根据平方根的定义、立方根的定义进行求解即可得．熟练掌握各相关定义以及求解方法是解题的关键．
【详解】的立方根是，
的平方根是．
故答案为：，．
9.用“”定义新运算：对于任意实数，都有，如果，那么等于 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据定义新运算，进行解答，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
10.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．
(1)根据上述平方根的意义，试求方程的解．
(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
【答案】(1)或
(2)秒
【分析】本题考查平方根及应用，
（1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解；
（2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可；
熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
∴或；
（2）根据题意，得：，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
答：这个物体到达地面所需的时间为秒．
11.（1）计算：；
（2）已知．求x的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据幂的运算、去绝对值符号、立方根、算术平方根的运算法则计算即可；
（2）先利用立方根计算，最后计算结果即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查幂的运算、去绝对值符号、立方根、算术平方根、运用立方根解方程；掌握相应的运算法则是解决本题的关键；计算幂的时候要注意底数的符号；计算立方根及算术平方根时要准确识别被开方数．
能力拓展
1.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求的值.
【答案】或
【分析】本题考查了实数的混合运算、相反数的定义、绝对值的性质等：先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，得，再代入，即可作答．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，
∴，
那么；
或；
综上：的值为或．
2.已知a的平方根是，b的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求的平方根；
(2)若x是的小数部分，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念求出，再估算出得到，据此求出，再由平方根的概念即可得到答案；
（2）由得到，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵a的平方根是，b的立方根是2，
∴，
∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴，
∴，
∴的平方根为；
（2）解；∵，
∴的小数部分为，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根和立方根求一个数，无理数整数部分和小数部分有关的计算，实数的运算等等，熟知平方根，立方根，以及无理数的估算方法和实数的运算法则是解题的关键．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
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