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6.1.1平方根
【学习目标】
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，初步培养辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；正确区分平方根与算术平方根的关系。
【学习过程】
（一）知识衔接
1.说出下列各式的结果：
　　；　　　；　　　；　　　；　　．
2.填空：
； ；　 ；
要剪出一块面积为25cm的正方形纸片，纸片的边长应是多少
（二）基础自清
1、平方根的定义：
如果一个数的 等于a，那么 叫做a的平方根，a的平方根记作 。
2、平方根的性质：
①正数a的平方根有 个，它们互为 ，记作
②0 的平方根有 个，就是 ；
③负数 平方根。
3、算术平方根：
正数的 ，叫做的算术平方根。记作 ，读作“ ”
另一个平方根是 ，即 。
正数的平方根可以记作 ，其中称为 。
4、开平方：求一个非负数的 的运算，叫作开平方。开平方的结果是 ，开平方与平方互为逆运算。
（三）探究 合作 展示
1、试一试
（1）4的平方根是 （2） 0的平方根是
（3）的平方根是 （4）0.36的平方根是
（5） －４有没有平方根 为什么
（6） 3的平方根是 ，11的平方根是 。
2、求100的平方根．
解：因为（ ）2＝100，(-10)2＝（ ），除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是（ ）和（ ），也可以说，100的平方根是±（ ）.
3、交流互动： (1) 正数的平方根是什么？
(2) 0的平方根是什么？
(3)负数有平方根吗？为什么？
请同学们概括并记忆有理数的平方根的性质．
（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根．）
精典例题
判断下列各数是否有平方根，为什么
25；； 0.0169; -64.
求下列各数的平方根和算术平方根:
(1) 1; (2)81; (3) 64; (4) ( -3)2.
利用计算器我们可以求一个正数的算术平方根或它的近似值。
例3 利用计算器求下列各式的值(精确到0. 01):
(1); (2); (3) -; （4）
例4 如图6-3,跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响,弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式:
h=gt2,
其中h的单位是m,t的单位是s, g =9.8m/s2.假设跣板的高度是3 m,运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2 m处开始下落,那么运动员下落到水面约需多长时间
说明：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
合作探究
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
（四）达标测评
1.下列各等式中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
2.的算术平方根（　　）
A．是3 B．是 C．是 D．不存在
3.一个正数的平方根是与，则m的值是 ，这个正数是 ．
4.求下列各数的平方根：
(1)121 (2)
(3)(-13)2 (4)
5.已知的平方根是，的平方根是他本身，求的平方根．
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6.1.1平方根
【学习目标】
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，初步培养辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；正确区分平方根与算术平方根的关系。
【学习过程】
（一）知识衔接
1.说出下列各式的结果：
　　；　　　；　　　；　　　；　　．
【答案】9，9，，，0
2.填空：
； ；　 ；
【答案】+3；+;+0.6;0
要剪出一块面积为25cm的正方形纸片，纸片的边长应是多少
【答案】5cm
（二）基础自清
1、平方根的定义：
如果一个数的 等于a，那么 叫做a的平方根，a的平方根记作 。
【答案】平方，这个数，
2、平方根的性质：
①正数a的平方根有 个，它们互为 ，记作
②0 的平方根有 个，就是 ；
③负数 平方根。
【答案】两个，相反数，+
3、算术平方根：
正数的 ，叫做的算术平方根。记作 ，读作“ ”
另一个平方根是 ，即 。
正数的平方根可以记作 ，其中称为 。
【答案】正的平方根，，根号a,负的平方根，-；
，被开方数
4、开平方：求一个非负数的 的运算，叫作开平方。开平方的结果是 ，开平方与平方互为逆运算。
【答案】平方根，平方根
（三）探究 合作 展示
1、试一试
（1）4的平方根是 （2） 0的平方根是
（3）的平方根是 （4）0.36的平方根是
（5） －４有没有平方根 为什么
（6） 3的平方根是 ，11的平方根是 。
【答案】（1）+2 （2）0 （3） （4）0.6
没有，因为没有一个数的平方是负数
，
2、求100的平方根．
解：因为（ ）2＝100，(-10)2＝（ ），除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是（ ）和（ ），也可以说，100的平方根是±（ ）.
【答案】10，100，10，-10，10
3、交流互动： (1) 正数的平方根是什么？
(2) 0的平方根是什么？
(3)负数有平方根吗？为什么？
【答案】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数
（2）0
（3）没有，因为没有一个数的平方是负数
请同学们概括并记忆有理数的平方根的性质．
（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根．）
精典例题
判断下列各数是否有平方根，为什么
25；； 0.0169; -64.
解：因为正数和零都有平方根,负数没有平方根,所以25, ,0.0169都有平方根; -64没有平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根:
(1) 1; (2)81; (3) 64; (4) ( -3)2.
解(1) 因为(±1)2 =1,所以1的平方根是1,即
±= ±1;1的算术平方根是1.
(2)因为( +9)2=81,所以81 的平方根是土9,即
土=±9;81的算术平方根是9.
(3)因为( ±8)2 =64,所以64的平方根是±8,即
±=±8;64的算术平方根是8.
(4) (-3)2 =9.
因为( ±3)2 =9,所以9的平方根是±3,也就是( -3)2的平方根是±3,即± = ±3;(-3)2的算术平方根是3
利用计算器我们可以求一个正数的算术平方根或它的近似值。
例3 利用计算器求下列各式的值(精确到0. 01):
(1); (2); (3) -; （4）
解：(1)在计算器上依次键入:显示结果是1.414213562,精确到0.01,得 1.41.
(2) 42.78.
(3) - 0.94.
(4)在计算器上依次键入:
即可得0.85
例4 如图6-3,跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响,弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式:
h=gt2,
其中h的单位是m,t的单位是s, g =9.8m/s2.假设跣板的高度是3 m,运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2 m处开始下落,那么运动员下落到水面约需多长时间
解: 设运动员下落到水面约需ts，根据题意,得
3 +1.2 =x9.8r2,
r2=
r=0.93.
因而，运动员下落到水面约需0.93s。
说明：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
合作探究
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
【答案】有意义的是：-，；和无意义。
（四）达标测评
1.下列各等式中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的定义进行逐一判断即可．
【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
2.的算术平方根（　　）
A．是3 B．是 C．是 D．不存在
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
本题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握负数没有平方根，算术平方根的定义．
【详解】∵没有平方根，算术平方根是正数正的平方根，
∴没有算术平方根，即不存在．
故选：D．
3.一个正数的平方根是与，则m的值是 ，这个正数是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，互为相反数，得到，求出的值，进而求出这个数即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴；
故答案为：，．
4.求下列各数的平方根：
(1)121 (2)
(3)(-13)2 (4)
【答案】（1）因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11；
（2），因为， 所以的平方根是；
（3）(-13)2=169，因为(±13)2=169，所以(-13)2的平方根是±13；
（4）-(-4)3=64，因为(±8)2=64，所以-(-4)3的平方根是±8．
5.已知的平方根是，的平方根是他本身，求的平方根．
【答案】平方根
【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．利用平方根求出和的值，确定出的值，即可确定出平方根．
【详解】解：∵的平方根是，的平方根是他本身，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的平方根为．
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