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3.4 待定系数法
【复习目标】
1.能根据已知条件用待定系数法求出函数的解析式.
2.掌握其它求函数解析式的方法.
【知识回顾】
【例题精解】
【分析】　设正比例函数解析式y=kx,将已知条件代入求出k即得函数解析式.
【解】　设所求正比例函数为y=kx　
∵正比例函数的图象经过点(-2,8)
∴8=k·(-2)　求得k=-4　
∴所求函数为y=-4x
【例1】　已知正比例函数的图象经过点(-2,8),求这个正比例函数.
【例2】　已知一次函数y=f(x),满足f(1)=3,f(3)=5,求这个一次函数.
【例3】　已知y=f(x)是二次函数,且图象经过点(-2,20)、(1,2)、(3,0),试求函数的解析式.
【例4】　已知二次函数的顶点为(-1,-2),且图象经过点(2,5),试求函数的表达式.
【例5】　已知二次函数与x轴交点为(-2,0)、(3,0),且函数图象还经过点(-1,8),试求函数的表达式.
【解】　∵二次函数与x轴交点为(-2,0)、(3,0)
∴设所求二次函数为y=a(x+2)(x-3)
∵函数图象还经过点(-1,8)　∴8=a(-1+2)(-1-3)　求得a=-2
∴所求函数为y=-2(x+2)(x-3)
【点评】　二次函数的常见的表达式有三种:一般式、顶点式、两根式.能选择合适的表达式常会令我们解题有事半功倍的效果.
(1)一般来说,若是题目已知函数图象经过三点,常设函数的一般式,如例3;
(2)若题目中出现函数的顶点坐标、最大值、对称轴等信息时,我们可考虑设成函数的顶点式.如例4;
(3)若题目中给出函数与x轴交点或二次方程ax2+bx+c=0的根,我们可考虑设成函数的两根式.如例5.
【例6】　已知f(x+1)=x2-2x-5,试求f(x)的解析式.
【解法一】　观察法
∵f(x+1)=x2-2x-5=x2+2x+1-4x-4-2=(x+1)2-4(x+1)-2
∴f(x)=x2-4x-2
【解法二】　换元法　令t=x+1,则x=t-1,　
∵f(x+1)=x2-2x-5
将x代入原式得f(t)=(t-1)2-2(t-1)-5=t2-4t-2
∴f(x)=x2-4x-2
【同步训练】
【答案】B
一、选择题
1.已知二次函数的图象顶点是(2,3),且经过点(3,1),它的表达式为 (　　)
A.y=2(x-2)2+3 B.y=-2(x-2)2+3
C.y=2(x+2)2+3 D.y=-2(x+2)2+3
【答案】A
2.已知f(x)=3x2-x-2=(x-1)(ax+b),则a,b的值是 (　　)
A.a=3,b=2 B.a=3,b=-2
C.a=2,b=3 D.a=2,b=-3
【答案】D
3.设f(x)=ax+b,且f(0)=-2,f(3)=4,则f(1)= (　　)
A.4 B.-4 C.2 D.0
【答案】B
4.y=ax+b与y=bx+a在同一坐标系的图象可能是 (　　)
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】C
6.如果指数函数y=-ax的图象经过点(2,-16),则a= (　　)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
【答案】A
7.“ac<0”是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点”的 (　　)
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】A
8.如果f(x+1)=x2-5x+4,则f(x)的表达式是 (　　)
A.f(x)=x2-7x+10 B.f(x)=x2-7x-10
C.f(x)=x2+7x-10 D.f(x)=x2-4x+6
【答案】C
9.如果函数y=ax2+bx+c(a>0),对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么下列选项中正确的是 (　　)
A.f(2)C.f(2)【答案】B
10.若二次函数y=ax2-4x+1有最小值,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,+∞) D.[0,+∞)
2
-4
1
-3
12
-9
-4
4
24
y=x2-4x+3
三、解答题
16.已知一元二次函数的图象经过点A(1,6),B(2,5),C(-1,0)三点,求这个二次函数式.
17.已知y=ax2+bx+c,在什么条件下,
(1)y是x的正比例函数;
(2)y是x的一次函数;
(3)y是x的二次函数;
(4)y=ax2+bx+c的图象是顶点在原点并且开口向上的抛物线.
【解】　(1)由正比例函数知,当a=0,c=0且b≠0时,为正比例函数;
(2)由一次函数知,当a=0,且b≠0时,为一次函数;
(3)当a≠0时,为二次函数;
(4)当a>0且b=0,c=0时,y=ax2+bx+c的图像是顶点在原点并且开口向上的抛物线.
18.已知一元二次函数的图象的顶点是(6,-12),与x轴的一个交点为(8,0),求这个函数.
【解】　∵二次函数图象的顶点是(6,-12)
∴设所求函数为y=a(x-6)2-12
又∵与x轴交点为(8,0)
有0=a(8-6)2-12　求得a=3
∴所求函数为y=3(x-6)2-12
或y=3x2-36x+96.
19.已知函数f(x-2)=x2-7x+13,试求函数f(x)的表达式.
【解】　设x-2=t,则x=t+2
∵f(x-2)=x2-7x+13
∴f(t)=(t+2)2-7(t+2)+13=t2-3t+3
∴f(x)=x2-3x+3

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