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第四章 三角形与四边形
第七节 多边形与平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 多边形的内角和与外角和 ☆ 多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等(相似)、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
考点2 平行四边形的性质 ☆☆
考点3平行四边形的判定及简单综合 ☆☆☆
1．n边形以及四边形的性质：
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成
了 个三角形，n边形的对角线条数为
多边形内角和定理：
(1)n边形的内角和为 ，外角和为 .
(2)四边形的内角和为 ，外角和为 ，对角线条数为 ．
(3)正多边形的定义：各边 、各内角也 的多边形叫做正多边形．
2．平行四边形的性质及判定：
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的表示：用符号“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
(1)性质：
①平行四边形的两组对边分别 ．
②平行四边形的对角 ，邻角 ．
③平行四边形的对角线 ．
④平行四边形是 对称图形．
(2)判定：
①定义：两组对边 的四边形是平行四边形．
②一组对边 的四边形是平行四边形．
③两组对边 的四边形是平行四边形．
④两组对角 的四边形是平行四边形．
⑤对角线 的四边形是平行四边形．
3．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的 ．
4．在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做 ．夹在两条平行线间的平行线段 ．
■考点一　多边形的内角和与外角和
◇典例1：（2023 桐庐县一模）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
◆变式训练
1．（2021 湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 　 　度．
2．（2021 衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 　　．
■考点二 平行四边形的性质
◇典例2：（2021 长兴县模拟）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AC＝4，EF＝2，则AE的长是 　 　．
◆变式训练
1．（2023 滨江区一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，∠ABC＝110°，点E在BC上，∠BDE＝16°，则∠DEC的度数是（　　）
A．54° B．56° C．76° D．124°
2．（2023 柯城区校级一模）如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．（2023 温州一模）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AF＝CE．
（2）若DF＝2，，∠DAE＝30°，求AC的长．
■考点三 平行四边形的判定及简单综合
◇典例3：（2023 临安区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的长．
◆变式训练
1．（2022 滨江区二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，若 　 　（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．
2．（2021 温州）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．
1．（2023 杭州二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（　　）
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
2．（2023 义乌市模拟）下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
3．（2022 文成县一模）如图 ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（　　）
A．10 B．2 C．5 D．2
4．（2022 舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
5．（2023 天台县一模）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交边AB于点E．若EB＝2，CD＝6，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022 路桥区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P是AB的中点．若OP＝4，AP＝3，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．12 B．14 C．22 D．28
7．（2023 定海区模拟）如图，在 ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，且满足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，则EF的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2022 嘉兴一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，则△EFC的周长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2023 乐清市模拟）如图，在 ABCD中，E为AB的中点，EF∥AD，交CD于点F，连接BF，在BF上取点G，过点G作HI∥AD，分别交DC，AB于点H，I，过点G作JK∥AB，分别交AD，EF，BC于点J，K，L．记四边形DJKF面积为S1，四边形KEIG面积为S2，四边形FKGH面积为S3，四边形GIBL面积为S4，欧几里得在《几何原本》中利用该图得出：S1＝S2+S3．若S1+S2＝S4，AB＝4，则KG的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021 丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 　 　．
11．（2023 萧山区模拟）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　 　．
12．（2022 富阳区一模）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　 　°．
13．（2021 宁波模拟）如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，则△OCD的周长为 　 　．
14．（2023 缙云县一模）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连接CE，分别延长CE，DA交于点F，若CE＝EF＝4，则CD的长为 　　．
15．（2021 浙江）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　　．
16．（2022 钱塘区二模）如图，在 ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF＝8，EF＝5，则 ABCD的周长为 　　．
17．（2022 拱墅区一模）问题：如图，在 ABCD中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF．若____，求证：BE＝DF．
在①AE＝CF，②∠ABE＝∠CDF，③∠BEC＝∠DFA这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答．
18．（2023 杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
19．（2022 平阳县一模）如图，在 ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：△DEA≌△CEF；
（2）若BF＝CD，∠D＝52°，求∠ABE的度数．
20．（2021 绍兴）问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
1．（2023 庆元县一模）已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是（　　）
A．10 B．16 C．20 D．40
2．（2021 宜宾）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
3．（2023 成都）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
4．（2023 邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
5．（2022 益阳）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023 泸州）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023 舟山一模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
8．（2022 赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　）
A．四边形ABCD周长不变 B．AD＝CD C．四边形ABCD面积不变 D．AD＝BC
9．（2023 海南）如图，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（　　）
A．6 B．4 C． D．
10．（2023 诸暨市模拟）如图， ABCD中AB＞AD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上异于端点的四点，满足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分别为AH，BF上异于端点的两点，连接MN，点O为线段MN上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接EH，OE，OH，OF，OG，当图中存在△OEH与四边形OFCG时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（　　）
A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对
11．（2021 宁波模拟）如图， ABCD的一个外角∠CDE是140°，则∠B的大小是　　°．
12．（2022 江北区模拟）如图： ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为　　cm．
13．（2023 佳木斯一模）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB＝CD，请添加一个条件　 　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
14．（2021 永嘉县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长CB至点E，点D在AC边上，以CE，CD为边作 DCEF，若∠F＝70°，则∠A的度数为 　　度．
15．（2023 四平模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，连接BD，作BD的垂直平分线交CD于点E，交BD于点F，连接BE，则△BCE的周长是 　 　cm．
16．（2023 浠水县二模）在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，﹣1），C（4，4），若以点A、B、C、D为顶点四边形是平行四边形，则点D的坐标为　 　．
17．（2022 永嘉县三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，点E从点D出发沿DC方向匀速向终点C运动，同时点F从点C出发沿CB方向匀速向终点B运动，它们同时到达终点，记ED＝x，则△CEF的面积为 　 　（用含x的代数式表示）．
18．（2023 历城区模拟）如图，在 ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是　　．
19．（2020 衢州模拟）如图，在 ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
20．（2022 余杭区一模）在①AO＝CO，②BO＝OD，③∠BAD＝∠BCD这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，若 　　．（选择①，②，③中的一项）
求证：四边形ABCD是平行四边形．
21．（2022 义乌市模拟）浙教版教材八年级下册第5章“4.2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的长．请你完成求解过程．
小明的解题过程如下：在平行四边形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴第①步∵AC⊥BC∴第②步∴第③步∴第④步
你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长．
22．（2023 温州二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至F，使EF＝2DE，连结BE，CF，BF，其中BF与AC相交于G．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形．
（2）已知BE＝3，EG＝DE，求BF的长．
23．（2022 温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．
备考指南
知识导图
知识清单
考点梳理
真题在线
专项练习
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第四章 三角形与四边形
第七节 多边形与平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 多边形的内角和与外角和 ☆ 多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等(相似)、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
考点2 平行四边形的性质 ☆☆
考点3平行四边形的判定及简单综合 ☆☆☆
1．n边形以及四边形的性质：
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n 2) 180°（n≥3）.
(1)n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)，外角和为360°.
(2)四边形的内角和为360°，外角和为360°，对角线条数为 2 ．
(3)正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．
2．平行四边形的性质及判定：
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的表示：用符号“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
(1)性质：
①平行四边形的两组对边分别平行且相等．
②平行四边形的对角相等，邻角互补．
③平行四边形的对角线互相平分．
④平行四边形是中心对称图形．
(2)判定：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
4．在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离．夹在两条平行线间的平行线段相等．
■考点一　多边形的内角和与外角和
◇典例1：（2023 桐庐县一模）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【答案】D
【点拨】设这个多边形的边数为x，根据多边形的边数与内角和的关系以及任意多边形的外角和等于360度，得180°（x﹣2）＝360°×3，从而解决此题．
【解析】解：设这个多边形的边数为x．
由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．
∴x＝8．
∴这个多边形的边数为8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和等于360度是解决本题的关键．
◆变式训练
1．（2021 湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 　36　度．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】36．
【点拨】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
【解析】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，
∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形FGHMN是正五边形是解题关键．
2．（2021 衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 　72°　．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】72°．
【点拨】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质求出∠BCA和∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查的是正多边形的内角，熟练掌握正多边形的内角的计算公式和等腰三角形的性质是解题的关键．
■考点二 平行四边形的性质
◇典例2：（2021 长兴县模拟）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AC＝4，EF＝2，则AE的长是 　　．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】．
【点拨】由作图可知：MN是AC的垂直平分线，即可得AE＝CE，AF＝CF，通过证明△AOE≌△AOF（ASA），可证明四边形ABCD为菱形，进而可求解AO，EO的长，再利用勾股定理可求解AE的长．
【解析】解：由作图可知：MN是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AF＝CF，∠AOE＝∠AOF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△AOE和△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
∴四边形ABCD为菱形，
∵AC＝4，EF＝2，
∴AO＝AC＝2，EO＝EF＝1，
∴AE＝．
故答案为．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，尺规作图﹣作线段的垂直平分线，证明四边形ABCD为菱形时解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 滨江区一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，∠ABC＝110°，点E在BC上，∠BDE＝16°，则∠DEC的度数是（　　）
A．54° B．56° C．76° D．124°
【考点】平行四边形的性质．
【答案】B
【点拨】根据平行四边形的性质求出∠C＝70°，再根据等腰三角形的性质求出∠BDC，进而求出∠CDE，最后根据三角形内角和定理得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°．
∵∠ABC＝110°，
∴∠C＝70°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝70°．
∵∠BDE＝16°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝70°﹣16°＝54°．
在△CDE中，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C＝180°﹣54°﹣70°＝56°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
2．（2023 柯城区校级一模）如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】平行四边形的性质．
【答案】C
【点拨】根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．
【解析】解：根据平行四边形的性质得：OB＝OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD＝×16＝8cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出BE＝DE，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．
3．（2023 温州一模）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AF＝CE．
（2）若DF＝2，，∠DAE＝30°，求AC的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【点拨】（1）根据AAS证明△ADF≌△CBE即可；
（2）利用三角函数求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCE，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）在Rt△ADF中，
∵∠DAF＝30°，DF＝2，
∴．
在Rt△DFC中，
∵，DF＝2，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
■考点三 平行四边形的判定及简单综合
◇典例3：（2023 临安区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理．
【答案】（1）见解析；
（2）BC的长为3．
【点拨】（1）根据平行线的判定定理得到AC∥DE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ACB＝∠DEB，根据平行四边形的性质得到DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，求得BE＝5，于是得到结论．
【解析】（1）证明：∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB，
∴cos∠ACB＝cos∠DEB＝＝，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，
∴BE＝5，
∴BC＝BE﹣CE＝3，
故BC的长为3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022 滨江区二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，若 　②　（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定．
【答案】②．
【点拨】根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可．
【解析】解：添加AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：②．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答．
2．（2021 温州）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【点拨】（1）证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再证∠ECF＝∠CBE，则tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，进而得出答案．
【解析】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，
设AE＝3a，则BE＝4a，
由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，
解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴AE＝3，BE＝4，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠ECF，
∴＝，
∴CF2＝EF×BF，
设EF＝x，则BF＝x+4，
∴32＝x（x+4），
解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），
即EF＝﹣2，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
1．（2023 杭州二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（　　）
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
【考点】多边形．
【答案】A
【点拨】根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可．
【解析】解：A、∵2+2+2＝6＞5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；
B、∵1+1+5＝7＜8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
C、∵1+2+2＝5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
D、∵1+1+1＝3＜5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
2．（2023 义乌市模拟）下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．三角形
【考点】多边形；三角形的稳定性．
【答案】D
【点拨】根据三角形具有稳定性解答．
【解析】解：长方形，正方形，三角形，平行四边形中只有三角形具有稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握在所有的图形里，只有三角形具有稳定性，也是三角形的特性．
3．（2022 文成县一模）如图 ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（　　）
A．10 B．2 C．5 D．2
【考点】平行四边形的性质．
【答案】A
【点拨】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO的长，进而可求出AC的长．
【解析】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵BD＝6，
∴BO＝3，
∵AB⊥BD，AB＝4，
∴AO＝＝5，
∴AC＝2OA＝10，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
4．（2022 舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【答案】C
【点拨】根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
【解析】解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四边形AEFG的周长是AB+AC＝8+8＝16，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．
5．（2023 天台县一模）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交边AB于点E．若EB＝2，CD＝6，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行四边形的性质．
【答案】B
【点拨】根据平行四边形的性质得出AB∥DC，进而利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∵∠ADC的平分线DE交边AB于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴BC＝AD＝AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB∥DC解答．
6．（2022 路桥区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P是AB的中点．若OP＝4，AP＝3，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．12 B．14 C．22 D．28
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
【答案】D
【点拨】由平行四边形的性质可得AO＝OC，由三角形的中位线的性质可求AB，BC的长，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
又∵P是AB的中点，
∴AB＝2AP＝6，BC＝2OP＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（6+8）＝28，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
7．（2023 定海区模拟）如图，在 ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，且满足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，则EF的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】平行四边形的性质．
【答案】B
【点拨】由平行四边形的性质可得AB＝CD＝4，AB∥CD，通过证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB＝DE＝4，由等腰三角形的判定可证CE＝EF＝8．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC，
又∵∠ABC＝∠F，
∴∠F＝∠ECF，
∴EF＝CE，
∵AE∥BD，AB∥CD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝4，
∴CE＝8＝EF，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．（2022 嘉兴一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，则△EFC的周长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【答案】A
【点拨】由题意可证△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利用勾股定理求得AG的长度，继而可得出AE的长度，根据相似三角形的性质求出EF的长度，最后即可求出△EFC的周长．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE＝∠AFD，∠DAF＝∠AEB，
∵AF为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠AFD＝∠EAD，∠BAE＝∠AEB，∠CEF＝∠CFE，
∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，
又∵AB＝6，AD＝9，
∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，
∴CE＝CF＝3．
∵BG⊥AE，BG＝4，
由勾股定理可得：AG＝＝2，
∴AE＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE．
∴，
∴EF＝2，
∴△EFC的周长＝EF+FC+CE＝8．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，比较麻烦，注意掌握性质的运用．
9．（2023 乐清市模拟）如图，在 ABCD中，E为AB的中点，EF∥AD，交CD于点F，连接BF，在BF上取点G，过点G作HI∥AD，分别交DC，AB于点H，I，过点G作JK∥AB，分别交AD，EF，BC于点J，K，L．记四边形DJKF面积为S1，四边形KEIG面积为S2，四边形FKGH面积为S3，四边形GIBL面积为S4，欧几里得在《几何原本》中利用该图得出：S1＝S2+S3．若S1+S2＝S4，AB＝4，则KG的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．
【答案】C
【点拨】利用平行四边形对边相等，和平行四边形的面积等于底×高，根据题意列出方程组，求出KG的长．
【解析】解：过点D作高h1，过点K作高h2，
设KG＝a，
∵AB＝4，E点为AB的中点，
∴AE＝BE＝2，
∴EI＝a，BI＝2﹣a，
∵S1＝S2+S3，
∴2h1＝ah1+ah2，
∴h1＝，
∵S1+S2＝S4，
∴2h1+ah2＝（2﹣a）h2，
∴2×+ah2＝（2﹣a）h2，
解得，a1＝2+，a2＝2﹣，
∵a1不合题意，舍去，
∴a＝2﹣．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，和平行四边形的面积，及一元二次方程的解法，掌握平行四边形的性质和面积公式是解题的关键．
10．（2021 丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 　6或7　．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】见试题解答内容
【点拨】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数．
【解析】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180＝720，
解得：n＝6．
∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7，
故答案为：6或7．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟知一个多边形过顶点截去一个角后它的边数不变或减少1是解题的关键．
11．（2023 萧山区模拟）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　30°　．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】30°．
【点拨】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝∠BEF＝135°，∠DCE＝∠CEG＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC即可．
【解析】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝∠BEF＝，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE＝∠CEG＝，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC
＝360°﹣135°﹣120°﹣75°
＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
12．（2022 富阳区一模）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　30　°．
【考点】平行四边形的性质；平移的性质．
【答案】30
【点拨】根据平行四边形的性质解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
13．（2021 宁波模拟）如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，则△OCD的周长为 　24　．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】24．
【点拨】根据勾股定理得出OA的长，进而利用平行四边形的性质即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝6，
∵AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，
∴OB＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，OA＝OC＝6，OB＝OD＝10，
∴△OCD的周长＝6+8+10＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．
14．（2023 缙云县一模）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连接CE，分别延长CE，DA交于点F，若CE＝EF＝4，则CD的长为 　8　．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】8．
【点拨】四边形ABCD是平行四边形则AD∥BC，AD＝BC，得到∠F＝∠BCE，∠EAF＝∠B，由CE＝EF＝4，则可证明△BCE≌△AFE（AAS），得到BC＝AF，则AD＝AF，再证AC垂直平分DF，则CD＝CF＝CE+EF，即可得到答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠F＝∠BCE，∠EAF＝∠B，
∵CE＝EF＝4，
∴△BCE≌△AFE（AAS），
∴BC＝AF，
∴AD＝AF，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AC垂直平分DF，
∴CD＝CF＝CE+EF＝8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
15．（2021 浙江）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　　．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】．
【点拨】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出AC和OB的长，又AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长．
【解析】解：如图，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，
∴AC＝＝2，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝，
在Rt△OAB中，
OB＝＝，
又AH⊥BD，
∴OB AH＝OA AB，即＝，
解得AH＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，等面积思想等，熟知等面积法是解题关键．
16．（2022 钱塘区二模）如图，在 ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF＝8，EF＝5，则 ABCD的周长为 　　．
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
【答案】．
【点拨】连接AC、过点C作CM∥BF交AB的延长线于点M，证四边形BMCF为矩形，得∠BMC＝90°，BM＝CF，CM＝BF＝8，再由勾股定理求出AM长，得出AB的长，然后由勾股定理求出BC的长，即可求出平行四边形的周长．
【解析】解：如图，连接AC、过点C作CM∥BF交AB的延长线于点M，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形BMCF为平行四边形，
∵BF⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴四边形BMCF为矩形，
∴∠BMC＝90°，BM＝CF，CM＝BF＝8，
∵E、F分别为AD、CD的中点，
∴，
∵EF＝5，
∴AC＝10，
∴，
∵AB＝CD＝2CF＝2BM，
∴，
∴CF＝2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
17．（2022 拱墅区一模）问题：如图，在 ABCD中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF．若____，求证：BE＝DF．
在①AE＝CF，②∠ABE＝∠CDF，③∠BEC＝∠DFA这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】选①，证明见解析．
【点拨】由四边形ABCD是平行四边形得BO＝DO，加上条件OE＝OF，从而得出四边形BEDF为平行四边形，从而有BE＝DF．
【解析】解：选①，如图，连接BF，DE，BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵OA＝OC，AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BE＝DF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．（2023 杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）△CFO的面积为1．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面积＝1．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．（2022 平阳县一模）如图，在 ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：△DEA≌△CEF；
（2）若BF＝CD，∠D＝52°，求∠ABE的度数．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）见解析；
（2）26°．
【点拨】（1）利用中点定义可得DE＝CE，再用平行四边形的性质，证明△ADE≌△FCE，即可得结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝52°，根据全等三角形的性质得到AD＝FC，AE＝EF，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵E是边CD的中点，
∴DE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DCF，
在△DEA和△CEF中，
，
∴△DEA≌△CEF（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝52°，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，AE＝EF，
∵BF＝CD，
∴BF＝AB，
∴∠ABE＝∠FBE＝＝26°．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
20．（2021 绍兴）问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】（1）①10；②5；
（2）或或2．
【点拨】（1）①证∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝5，同理BC＝CF＝5，即可求解；
②由题意得DE＝AD＝5，再由CF＝BC＝5，即可求解；
（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【解析】解：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝5，
∵CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5；
（2）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴＝；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2；
综上所述，的值为或或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
1．（2023 庆元县一模）已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是（　　）
A．10 B．16 C．20 D．40
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【答案】C
【点拨】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．
【解析】解：设这个多边形为n边形，
由题意得，＝1080°，
∴n＝8，
∴这个多边形为八边形，
∴这个多边形可连对角线的条数是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键．
2．（2021 宜宾）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【考点】平行四边形的性质；轴对称图形．
【答案】D
【点拨】根据平行四边形的性质以及平行四边形的对称性对各选项分析判断即可得解．
【解析】解：A、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；
B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；
C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项不符合题意；
D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及轴对称图形的概念，解题的关键是熟悉平行四边形的性质和轴对称图形的概念．
3．（2023 成都）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
【考点】平行四边形的性质．
【答案】B
【点拨】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．
【解析】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；
B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；
D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2023 邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
【考点】平行四边形的判定．
【答案】D
【点拨】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．（2022 益阳）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】平行四边形的判定与性质．
【答案】C
【点拨】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【解析】解：在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．（2023 泸州）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
【答案】A
【点拨】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，从而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EO＝PB，即可求出EO的长．
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO＝PB＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
7．（2023 舟山一模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
【考点】平行四边形的判定与性质．
【答案】B
【点拨】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题．
【解析】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
8．（2022 赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　）
A．四边形ABCD周长不变 B．AD＝CD C．四边形ABCD面积不变 D．AD＝BC
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积．
【答案】D
【点拨】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD＝BC．
【解析】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
9．（2023 海南）如图，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（　　）
A．6 B．4 C． D．
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【答案】C
【点拨】由平行四边形的性质得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，再证∠ABE＝∠AEB，则AE＝AB＝8，过点E作EF⊥CD于点F，则∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得DF＝ED＝2，则EF＝2，CF＝6，即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝8，
∵AE＝2ED，
∴2ED＝8，
∴ED＝4，
如图，过点E作EF⊥CD于点F，
则∠EFC＝∠EFD＝90°，
∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴DF＝ED＝2，
∴EF＝＝＝2，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6，
∴CE＝＝＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
10．（2023 诸暨市模拟）如图， ABCD中AB＞AD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上异于端点的四点，满足AE＝CG＝1，DH＝BF＝2，M，N分别为AH，BF上异于端点的两点，连接MN，点O为线段MN上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接EH，OE，OH，OF，OG，当图中存在△OEH与四边形OFCG时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（　　）
A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．
【答案】C
【点拨】连接OD，BO，设点O到CD的距离为h1，到BE的距离为h2，到AD的距离h3，到BC的距离为h4，根据CD为定值，h1+h2，h3+h4是平行四边形ABCD的高，均为定值，得S△DOG+S△BOE，S△DHO+S△BFO，均为定值，根据△AEH的边长是定值，得S△AEH也为定值，所以可得△OEH与四边形OFCG的面积之和不变．
【解析】解：如图，连接OD，BO，
设点O到CD的距离为h1，到BE的距离为h2，到AD的距离h3，到BC的距离为h4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
∵CG＝AE＝1，
∴DG＝BE，
∴S△DOG+S△BOE＝DG h1+BE h2＝DG （h1+h2）＝（CD﹣1）（h1+h2），
S△DHO+S△BFO＝DH h3+BF h4＝2h3+2h4＝h3+h4，
∵CD为定值，h1+h2，h3+h4是平行四边形ABCD的高，均为定值，
∴S△DOG+S△BOE，S△DHO+S△BFO，均为定值，
∵△AEH的边长是定值，
∴S△AEH也为定值，
∵△OEH与四边形OFCG的面积之和为：平行四边形ABCD的面积﹣（S△DOG+S△BOE）﹣（S△DHO+S△BFO）﹣S△AEH，平行四边形ABCD的面积为定值，
∴△OEH与四边形OFCG的面积之和保持不变，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，割补法求阴影部分的面积．熟练掌握平行四边形的性质，利用割补法表示出阴影部分的面积是解题关键．
11．（2021 宁波模拟）如图， ABCD的一个外角∠CDE是140°，则∠B的大小是　40　°．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】40．
【点拨】由平行四边形的性质得∠B＝∠ADC，再求出∠ADC＝180°﹣∠CDE＝40°，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠CDE＝140°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝40°，
∴∠B＝40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．
12．（2022 江北区模拟）如图： ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为　8　cm．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）＝28，则AB+BC＝14cm，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝22，所以AC＝22﹣14＝8cm．
【解析】解：∵ ABCD的周长是28 cm
∴AB+AD＝14cm
∵△ABC的周长是22cm
∴AC＝22﹣（AB+AC）＝8cm
故答案为8．
【点睛】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．
13．（2023 佳木斯一模）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB＝CD，请添加一个条件　AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】根据平行四边形的判定方法即可解决问题
【解析】解：∵AB＝CD，
∴当AB∥CD或AD＝BC时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为AB∥CD或AD＝BC．（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
14．（2021 永嘉县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长CB至点E，点D在AC边上，以CE，CD为边作 DCEF，若∠F＝70°，则∠A的度数为 　40　度．
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质．
【答案】40．
【点拨】根据平行四边形的性质得出∠C＝70°，进而利用等腰三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵四边形DCEF是平行四边形，
∴∠C＝∠F＝70°，
∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故答案为：40．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角相等解答．
15．（2023 四平模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，连接BD，作BD的垂直平分线交CD于点E，交BD于点F，连接BE，则△BCE的周长是 　7　cm．
【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】7．
【点拨】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解析】解：∵BD的垂直平分线交CD于点E，交BD于点F，
∴DE＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4（cm），
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝DE+CE+BC＝CD+BC＝4+3＝7（cm），
故答案为：7．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出BE＝DE解答．
16．（2023 浠水县二模）在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，﹣1），C（4，4），若以点A、B、C、D为顶点四边形是平行四边形，则点D的坐标为　（8，0）或（﹣4，﹣2）或（0，8）　．
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质．
【答案】见试题解答内容
【点拨】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．
【解析】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（8，0）
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣4，﹣2），
③AC为对角线时，点D的坐标为（0，8）
综上所述，点D的坐标可能是（8，0）或（﹣4，﹣2）或（0，8）
故答案为：（8，0）或（﹣4，﹣2）或（0，8）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
17．（2022 永嘉县三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，点E从点D出发沿DC方向匀速向终点C运动，同时点F从点C出发沿CB方向匀速向终点B运动，它们同时到达终点，记ED＝x，则△CEF的面积为 　　（用含x的代数式表示）．
【考点】平行四边形的性质；列代数式．
【答案】．
【点拨】根据点E和点F分别同时从点D和点C出发，同时到达终点，可得出点E和点F的路程关系，联系平行四边形ABCD的两邻边长度、DE＝x，可得出CE、CF的长度，过点E作边CF上的高EH，在△CHE可表示出高EH的长度，最后根据三角形面积公式，即可得出△CEF的面积．
【解析】解：∵平行四边形ABCD，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，
又∵点E和点F分别同时从点D和点C出发，同时到达终点，
∴点E和点F的路程比为6：8＝3：4，
又∵DE＝x，
∴CE＝6﹣x，CF＝x，
如图，△CEF中，过点E作边CF上的高EH，交CF的反向延长线于点H，
∵AB∥CD，∠B＝30°，
∴∠DCH＝∠B＝30°，
∴在△CHE中，EH＝CE＝，
∴
＝×x×
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积公式，正确作辅助线，表示出CF、EH的长度，是解题的关键．
18．（2023 历城区模拟）如图，在 ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是　①②④　．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】①②④
【点拨】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解析】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴2∠BAF＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAF＝2∠C故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△MBF≌△ECF．
19．（2020 衢州模拟）如图，在 ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【答案】见解析
【点拨】本题中，在连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【解析】证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，要求对平行四边形的所有判定都要掌握．
20．（2022 余杭区一模）在①AO＝CO，②BO＝OD，③∠BAD＝∠BCD这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，若 　①或②或③　．（选择①，②，③中的一项）
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
【答案】①或②或③．
【点拨】根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可．
【解析】解：①添加AO＝CO，
∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
②添加BO＝OD，
同理可证明四边形ABCD是平行四边形；
③添加∠BAD＝∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠BCD+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①或②或③．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
21．（2022 义乌市模拟）浙教版教材八年级下册第5章“4.2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题：
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，求BD的长．请你完成求解过程．
小明的解题过程如下：在平行四边形ABCD中∵AC＝4，AB＝5，∴第①步∵AC⊥BC∴第②步∴第③步∴第④步
你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长．
【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理．
【答案】小明的解题过程不正确，从第③步开始错；BD＝2．
【点拨】利用平行四边形的性质求得EA＝EC＝2，EB＝ED，利用勾股定理先后求得BC和BE，据此求解即可．
【解析】解：小明的解题过程不正确，从第③步开始错；
在平行四边形ABCD中，
∵AC＝4，AB＝5，
∴EA＝EC＝AC＝×4＝2，EB＝ED，
∵AC⊥BC，
∴，
∴BE＝，
∴BD＝2EB＝2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是根据平行四边形的对角线相互平分解答．
22．（2023 温州二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至F，使EF＝2DE，连结BE，CF，BF，其中BF与AC相交于G．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形．
（2）已知BE＝3，EG＝DE，求BF的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【点拨】（1）由三角形的中位线定理得到EF与BC平行且相等，根据平行四边形的判定即可得到四边形BCFE是平行四边形；
（2）根据线段垂直平分线的性质证得AE＝BD＝CE，由平行线的性质结合等腰三角形的性质∠BEC＝∠FEC，进而证得平行四边形BCEF为菱形，根据菱形的性质和勾股定理求出BG，即可求出BF．
【解析】（1）证明：∵D，E为AB，AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
即EF∥BC，BC＝2DE，
∵EF＝2DE，
∴EF＝BC，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）解：∵四边形BCEF为平行四边形，
∴DF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∴DF⊥AD，
∵D为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴AE＝BD＝BE＝3，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴∠BEC＝∠FEC，
同理可证∠BCE＝∠FCE，
∴平行四边形BCEF为菱形，
∴BF⊥CE，BG＝FG，EG＝CG＝，
在Rt△BEG中，BG＝＝，
∴BF＝3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（2022 温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【答案】（1）证明见解析；
（2），
【点拨】（1）由三角形中位线定理得EF∥BC，则∠EFO＝∠GDO，再证△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝AC＝CE，则∠C＝∠EDC，再由锐角三角函数定义得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，则DE＝AC＝，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中点，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tanC＝＝tan∠EDC＝，
即＝，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，
由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，
∴FG＝DE＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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