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第六章 图形的变化
第三节 视图与投影、尺规作图、命题
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 图形的投影 ☆☆ 本专题以考查几何体的三视图和正方体的展开图、尺规作图和真假命题为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，视图与投影和命题在选填题出现的可能性较大，一般只考查基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.而尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力。
考点2 几何体的三视图 ☆☆☆
考点3 尺规作图 ☆☆☆
考点4 定义、命题、定理 ☆
■考点一　图形的投影
1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象.影子所在的平面称为投影面。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。
（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影。
■考点二　几何体的三视图
1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。
2）三视图：（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图。
3）三视图的画法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。
4）常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
5）正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。
■考点三　尺规作图
1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。
2）五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3）根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
4）与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。
5）作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹。
6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
■考点四　定义、命题、定理
1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。
2）命题：判断一件事情的语句叫做命题。
3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
5）真命题：正确的命题叫做真命题。反之，则为假命题。
注意：（1）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）；（2）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
6）逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。
注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。
10）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理；任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理。
11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
■考点一　图形的投影
◇典例1：（2023·河南周口·校联考三模）“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】解：根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，只有D选项符合题意，故选：D．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
◆变式训练
1．（2023·安徽淮北·统考三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影的特点进行判断即可．
【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能是一个梯形，故A符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点．
2．（2023·北京海淀·统考二模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
3．（2024·河南平顶山·统考一模）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（　　）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
【答案】C
【分析】根据太阳光下从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
【详解】解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2），
∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）．故选C．
【点睛】本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
◇典例2：（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据中心投影的特点及小亮和小美的身高差判断即可.
【详解】小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况应如图所示： 故选D.
【点睛】本题考查了中心投影的特点．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
◆变式训练
1．（2023·辽宁抚顺·统考三模）下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
2.（2023·河北邯郸·校考一模）如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
【答案】B
【分析】直接利用探照灯的位置得出人在墙上的影子，进而得出答案．
【详解】如图所示：
当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．故选： B .
【点睛】此题主要考查了中心投影，正确得出人的影子在墙上的变化是解题关键．
3.（2023·辽宁抚顺·统考一模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口．
【答案】3
【分析】根据给出的两个物高与影长即可确定光源的位置；
【详解】如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口，故答案是3．
【点睛】本题考查了中心投影，准确分析判断是解题的关键．
◇典例3：（2023·福建厦门·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
2.（2023·河北唐山·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，
故选：A．
【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义．
◇典例4：（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，

∵，∴，则，
∵米，米，则米，∴，设，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，

即，，米，
∴，则，∴米，
∴光源与小明的距离变化为：米，故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．
◆变式训练
1.（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（ ）

A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】延长、分别交轴于、，作轴于，交于，证明，得到，即可求解．
【详解】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，
，，．，，，
，，，即，，故选：D．

【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
2.（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板与投影三角板一定是相似的，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，列式进行计算即可．
【详解】解：三角板的一边长为，则设投影三角板的对应边长为，
三角板与其投影的相似比为，，，
经检验，是原方程的解，投影三角板的对应边长为．故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影与相似三角形的性质，熟练掌握中心投影的概念与相似三角形的性质是解答此题的关键．
◇典例5：（2023·陕西西安·校考模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆的高度，如图，旗杆立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长的标杆的影长为，请你帮他们求出旗杆的高度. （结果保留一位小数，参考数据：）

【答案】
【分析】延长交于点，过做于，根据矩形的性质及含有角的直角三角形的性质得到，，最后根据同一时刻物高和影长成正比即可解答．
【详解】解：延长交于点，过做于，
∴四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
∴，
∵同一时刻，物高和影长成正比，∴，∴，∴，
∴，答：旗杆的高度.为．

【点睛】本题考查了解直角三角形—坡度坡角的问题，平行投影，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·四川成都·统考一模）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ．
【答案】/10米
【分析】根据同一时刻，物长和影长成比例求解即可．
【详解】解：因为米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，，根据同一时刻，物长和影长成比例得，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】此题考查了平行投影，准确掌握同一时刻，物长和影长成比例是解题的关键．
2.（2023·陕西·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．

【答案】该古树的高度米
【分析】作于点F，如图，可得米，米，然后根据同一时刻的物高与其影长成比例求出，再加上即得答案．
【详解】解：作于点F，如图，
∵，，∴四边形是矩形，∴米，米，
根据同一时刻的物高与其影长成比例可得：，即，解得：米，
∴（米）；答：该古树的高度米．

【点睛】本题考查了平行投影，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．
■考点二　几何体的三视图
◇典例6：（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过观察立体图形即可．
【详解】解：该立体图形的主视图是 ，故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答．
◆变式训练
1．（2023年海南省中考数学真题）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案．
【详解】解：根据题意得：这个几何体的俯视图是： ，故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图．
2．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义
3．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据左视图的意义判断即可．
【详解】根据题意，该几何体的左视图为： ，故选B．
【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键．
◇典例7：（2023年四川省成都市数学中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．

【答案】
【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．
【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，

∴搭成这个几何体的小立方块最多有，故答案为：．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
◆变式训练
1．（四川省雅安市2020年中考数学试题）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.
【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考一模）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】从主视图可判断有上下两层，结合左视图，下层最少有3个，最多有6个；上层仅有1个．
【详解】解：以主视图结合左视图，下层最少有3个，最多有6个；上层仅有1个．故；
故选：B
【点睛】本题考查三视图，注意两者的结合，需具备必要的空间想象能力．
3．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．5个或6个 D．6个或7个
【答案】C
【分析】根据主视图和俯视图确定层数及每层的数量即可．
【详解】解：结合主视图和俯视图可知，这个几何体共2层，底层有3个小正方体，第2层至少有2个小正方体，最多有3个小正方体，因此需要5个或6个小正方体，故选：C．
【点睛】此题考查了小正方体组成的几何体的三视图确定小正方体的数量，正确理解几何体的三视图是解题的关键．
◇典例8：（2023年山东省济宁市中考数学真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键．
◆变式训练
1. （2023·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）
A．125 B．100 C．75 D．30
【答案】C
【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行计算即可．
【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为，，则：，
∴，，∴，
∴底面面积为：，∴该几何体的体积为：；故选C．
【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体．
2.（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合而成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．

(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
【答案】(1)见解析(2)1628元
【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；
（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．
【详解】（1）如图，

（2）（平方米） （元）
答：需要花费1628元．
【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．
◇典例9：（2023年山东省青岛市中考数学真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
【答案】B
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“城”字对面的字是“明”，故选：B.
【点睛】本题考查了正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题的关键．
2．（2023年山东省威海市中考数学真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【分析】根据题意画出立体图形，即可求解．
【详解】解：折叠之后如图所示，则K与点D的距离最远，故选D．

【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力．
■考点三　尺规作图
◇典例10：（2023·四川成都·模拟预测）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查作图基本作图，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质．过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：过作交的延长线于，
则，由作图知，平分，
，，，
∵，，，，．故答案为：5．
◆变式训练
1．（2023·贵州贵阳·统考一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】D
【分析】根据两人作图的过程即可作出判断．
【详解】解：小赵同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，则选项A、B正确；
小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，则选项C正确，选项D错误；故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．
2．（2023·河北石家庄·统考二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
【答案】A
【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．
【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，
∴，∴为等腰三角形，
乙图：作的垂直平分线，交于点D，∴，∴为等腰三角形，
丙图：∵所作的，∴，∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图 圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．
3．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在 中，． 请用尺规作图法，在边上求作点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．过点A作交于点D，先利用等腰三角形的性质求出，然后利用含的直角三角形的性质即可判断．
【详解】解：如图，点D即为所求，理由：由作图，知，
∵，，∴，∴．
■考点四　定义、命题、定理
◇典例11：（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、真假命题的判断等知识，．依据相关图形的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，如图，

，在矩形中，∵，∴，
∵，A项为真命题，不符合题意；如图，
，，∴，，
∴，∵，
∴，∴∴；
B项为真命题，不符合题意；如图，

∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，
∴，∵，∴；
故选项C是真命题，不符合题意；如图，
当时，无法证明，故D选项是假命题，符合题意．故选：D．
◆变式训练
1．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等
【答案】A
【分析】先写出各个选项的逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故A符合题意；
B、逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，是假命题，故B不符合题意；
C、逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”，是假命题，故C不符合题意；
D、逆命题为“对角线互相平分且相等的四边形是正方形”，是假命题，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，再进行判断．
2．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是 ．
【答案】如果，的绝对值相等，那么，互为相反数
【分析】根据逆命题的定义，即可．
【详解】∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，
∴命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数，故答案为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义．
◇典例12：（2023·河北·校联考一模）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾；
②因此假设不成立．∴；③假设在中，；④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
1、假设在中，，2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．故选：D．
◆变式训练
1.（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
【答案】D
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可
【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，即与相交．故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．（2023·安徽·模拟预测）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，此时的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题的真假，由题意得或时，均有，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：当或时，均有，
∴的值可以为，此时能够说明命题“如果，那么”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
3.（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
【答案】②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，是2的倍数，
可设（为正整数），则，，即，
是2的倍数，，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
◇典例13：（2023·湖南长沙·校考三模）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”； 乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上” ．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
【答案】B
【分析】由题意知，若甲正确，则乙正确，甲、乙同学说法均正确，不符合要求；若乙正确，甲错误，则红桃A在丙手上，则丙说法正确，乙、丙同学说法均正确，不符合要求；若丙正确，甲错误，乙错误，则红桃A在乙手上，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，若甲正确，则乙正确，甲乙同学说法正确，故不符合要求；
若乙正确，甲错误，则红桃A在丙手上，则丙说法正确，乙丙同学说法正确，故不符合要求；
若丙正确，甲错误，乙错误，则红桃A在乙手上，
∴当三个同学中只有一个说对了，则红桃A在乙的手上，故选：B．
【点睛】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．
◆变式训练
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．
甲说：“乙第三名，丙第五名．”乙说：“戊第四名，丁第五名．”丙说：“甲第一名，戊第四名．”
丁说：“丙第一名，乙第二名．”戊说：“甲第三名，丁第四名．”
结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
【答案】B
【分析】从各人的名次排列情况来分析，从“每个名次都有人猜对”入手分析，只有戌的名次是重复的，所以戌一定是第四名，据此一一进行排序．
【详解】解：∵只有戌的名次是重复的，∴戌一定是第四名，∴丁就不是第四名，而是第五名，
∴甲一定是第三名，∴乙不是第三名，而是第二名，∴丙一定是第一名；
∴第一至第五名的同学顺序：丙乙甲戊丁；故选．
【点睛】本题考查了推理能力，认真审题，依次假设得到与问题相符的结论是解题的关键．
2．（2023·湖南长沙·统考一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】先确定乙、丙之间打了9局，乙与甲打了5局，丙与甲打了3局，进而确定甲、乙、丙三人共打的比赛局数.
【详解】解：∵甲共当裁判9局，∴乙、丙之间打了9局，
∵乙、丙分别进行了14局、12局比赛，∴乙与甲打了局，丙与甲打了局，
∴甲、乙、丙三人共打的比赛局数为局；故选：C.
【点睛】本题考查了逻辑推理，解题的关键是根据题目提供的数据和信息、找出其中的逻辑关系.
◇典例14：（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．

【答案】(1)B(2)①见解析；②见解析；(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及命题与定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（1）根据四边形中，对角线与相交于点，，补充条件即可判定四边形是平行四边形；（2）先将符号语言转化为文字语言，再写出已知、求证和证明过程即可；
（3）根据等腰三角形以及轴对称变换即可得到反例．
【详解】（1）解：在四边形中，对角线与相交于点，
若，则当时，四边形是平行四边形；故答案为：B；
（2）解：①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
②已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，．
求证：四边形是平行四边形．
．
证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图所示，四边形满足，但四边形不是平行四边形．
◆变式训练
1.（2023·浙江嘉兴·统考一模）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中， ． ________． 求证：四边形是________四边形．
(1)补全已知和求证（在方框中填空）．(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
【答案】(1)，平行(2)见解析
【分析】（1）根据题意补全已知和求证；（2）证明得出，即可得证．
【详解】（1）已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，故答案为：，平行．
（2）证明：在与中，，∴，
∴，∴，∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．（2023·河南·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
【答案】（1）见解析；（2）菱形
【分析】（1）先写出已知、求证，先证明，再证明，即可证明
（2）先证明，再证明,由布拉美古塔定理证明即可证明
【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
证明：，，
，，，
同理可证，，∴点E是的中点
故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点
（2）四边形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点，
是中点
∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形
【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键
1．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．
则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
以上步骤符合反证法的步骤．故推理使用的证明方法是反证法．故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
2．（2023年吉林省长春市中考数学真题）下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）

A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
【答案】C
【分析】据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，没有公共顶点，即可求解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
3．（2023年广东广州中考数学真题）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案．
【详解】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，
由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合，故选：D．
【点睛】题考查由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验．
3．（2023年浙江省温州市中考数学真题）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：由图可知该几何体的主视图是 ；故选：A．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
4．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥，
如图，过点作于点，根据题意得：，，，

∴，∴，即圆锥的母线长为，
∴这个几何体的侧面积是．故选：B
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键．
5．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据主视图和左视图判断该几何体的层数及每层的最多个数，即可得到答案．
【详解】解：根据主视图和左视图判断该几何体共有两层，
下面一层最多有4个小正方体，上面的一层最多有3个小正方体，故该几何体所用的小正方体的个数最多是7个，故选:B．
【点睛】此题考查了几何体的三视图，由三视图判断小正方体的个数，正确理解三视图是解题的关键．
6．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据三角形中位线、中线的性质，结合平行四边形的判定与性质解题；②由单循环赛对A队，E队进行推理即可；③根据正六边形的性质、位似的定义解题；④由平均数定义解题．
【详解】解：①如图，是的中线，是的中位线，连接，
由中位线定义可知，
四边形是平行四边形对角线互相平分，故①正确；
②由单循环比赛可知，每支队伍最多赛5场，A队已经赛5场，即每支队伍都与A队比赛过，而E队只比赛1场，据此可知，E队没有与B队比赛过，故②错误；
③两个正六边形不一定位似，没有确定位似中心，只能是相似的，故③错误；
④小王的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，小王的捐款数不会是最少的，捐款数可能最多，也可正确在第12位，故原命题正确，是真命题，符合题意B故④正确，
其中真命题的个数有①④，2个，故选：B．
【点睛】本题考查中位线、中线的性质，简单推理、位似、正六边形的性质、平均数的应用等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答．
【详解】根据题意的作图可得平分，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴．∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴．故选：C
【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．
8．（2022·江苏无锡·统考中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【答案】如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
9．（2023·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

【答案】/
【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，交于，
则，，，，∴，

∵，∴，∴，∴，解得：，经检验符合题意；
∴（米）；故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键．
10．（2023年北京市中考数学真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
【答案】 53 28
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【详解】解：由题意得：（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），故答案为：53，28；
【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
11．（2023·山东青岛·统考中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．

【答案】见解析
【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
12．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作，即可；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交于点，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵，是的切线，∴，∴，
则，解得：，
如图所示，设交于点，连接，

∵，∴是等边三角形，
如图所示，过点作于点，
∴∴
在中，,
∴,∴，则，
∴与重叠部分的面积为．
【点睛】本题考查基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题关键．
1．（2023·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短
【答案】C
【分析】根据平行投影的投影线与地面夹角的大小进行判断即可．
【详解】解：从早到晚这段时间，投影线与地面所夹的锐角先变大再变小，
所以乌蒙铁塔在大阳下的影长度先逐渐变短，后又逐渐变长，故选：C．
【点睛】本题侧重考查有关平行投影的知识点，掌握其特点是解决此题的关键．
2．（2023·浙江温州·校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（2023·广东汕尾·统考一模）如图是一架飞机的示意图，其仰视图为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查判断三视图的俯视图，根据仰视图是从下面看到的图形解答即可．
【详解】解：从下面看到的图形即仰视图如下：故选：A．
4．（2023·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由图可得这个几何体有2层，结合主视图和俯视图可得出第一层和第二层最多的小正方体的个数，由此即可得解，考查了对三视图的掌握和空间想象能力．
【详解】解：由俯视图易得最底层有3个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个，故选：C．
5．（2023·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）

A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解．
【详解】解：如图，

由主视图和左视图可得：，，，
，，，，
连接，则有，为等边三角形，
，
，，．故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正六边形的性质，特殊角的三角函数值，掌握三视图长宽高与原几何体之间的关系及正六边形的性质是解题的关键．
6．（2023·湖北荆州·统考三模）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线，交于点G，连接．若与恰好垂直，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，根据线段垂直平分线的性质求出，再根据勾股定理得是解决本题的关键．
【详解】解：由题意可得，是的垂直平分线，∴，
设，则，∵与垂直，∴，
即，解方程得：，∴；故选：A．
7．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛该竞赛共有十道判断题三位同学的答题情况如下：
题号选手
甲
乙
丙
考试成绩公布后，三个人都答对了道题，由此可知，题的正确答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、
B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、
D．、、、、、、、、、
【答案】A
【分析】根据表格分析三个人答案相同和答案不同的题目，结合都对题，即可分析出各题的正确答案．
【详解】解：甲与乙、、、题答案相同，、、、，
乙与丙、、、题答案相同，、、、，
甲与丙、、、题答案相同，、、、，
两两都是题答案相同，题答案不同，
因为都对题，所以题相同答案的都答对了，题答案不同的各对了道，所以题答案为：、、、、、、、、、．故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，推出“题相同答案的都答对了，题答案不同的各对了道”是解题的关键．
8．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（ ）

A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，证明，然后利用相似比即可求解．
【详解】解：延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，如图，
∵，，，∴，，，
∵，∴，，∴，
∴，即，∴，故选：D．

【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明是解题的关键．
9．（2023·福建泉州·统考二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，．求证：．

老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．

∵，∴．
∵，∴，
这与“________”相矛盾，∴假设不成立，
∴．以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
【答案】三角形的外角和等于
【分析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论．
【详解】证明：假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．

∵，∴．∵，
∴，这与“三角形的外角和等于”相矛盾，
∴假设不成立，∴．故答案为：三角形的外角和等于
【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
10．（2023·山西太原·统考二模）现有颗外观和大小都完全相同的小球，已知颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些．小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球．她思考后发现最少称次就一定能找出这颗球，则的值等于 ．

【答案】2
【分析】可以把颗小球任意分成三份，每份颗，然后用天平称即可找出那颗质量较大的来．
【详解】解：把颗小球任意分成三份，每份颗．先把其中任意两份分别放在天平的两边．
如果平衡，就把剩下的一份中的任意两颗分别放在天平的两边，若平衡，说明剩下的小球即为质量较大的，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的；
如果不平衡，哪边重哪边那份就有质量较大的小球，从这一份中任取颗分别放在天平的两边，若平衡，没往天平上放的那一颗质量较大，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大的．
∴至少要称次，才能保证找出那颗质量较大的小球．故答案为：．
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答．
11．（2023·江苏盐城·统考三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实验小组，在某天下午时，同时进行了两项实验：
实验一：测量高为竹竿的影长．通过测量发现影长为．
实验二：探究长方体的影子．如图是该长方体在当天下午时阳光下投影，图是图中长方体的俯视图．

(1)该长方体的高，宽为．
①此时的影长为______；②此时测得，求；
(2)某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．

【答案】(1)①26，②(2)甲楼的影子落在乙楼的墙上
【分析】（1）①根据同一时刻，楼高与楼影长的比等于竹竿长与竹竿的影长的比求解即可；②延长交于点，设，在和中，利用勾股定理求得，，进而即可求解；（2）过点作，据楼高与影长的比求得，再利用三角函数即可得解．
【详解】（1）解∶①∵，测量高为竹竿的影长．通过测量发现影长为．的影长是，∴即，解得，故答案为：；
②延长交于点，

设，则有：在中，
在中，则有：，
解得：，即∴，∴．
（2）解：如图所示，过点作，由题意得：，∴，

中， ，∴设，
∴，∴，，
∴，．
∵，，∴甲楼的影子落在乙楼的墙上．
【点睛】本题考查勾股定理，三角函数与投影，熟练掌握三角函数即勾股定理的内容是解题的关键．
12．（2023·河南许昌·统考二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线，交的延长线于点P，点F在上，连接．易证命题：“若是的切线，则”是真命题．(1)请写出该命题的逆命题是______；(2)判断（1）中的命题是否为真命题，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为4，，且，求AC的长．

【答案】(1)若，则AF是⊙O的切线(2)是真命题，理由见解析(3)
【分析】（1）根据逆命题的概念，交换题设和结论即可解答；
（2）如图：连接OC， 根据平行线的性质可得、，进而得到，然后再证可得，再根据PC是的切线可得，进而说明即可说明；（3）先根据勾股定理可得，然后再说明、，由三角形的面积公式可得，即可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：∵原命题为：若是的切线，则
∴逆命题为：若，则AF是⊙O的切线；故答案为：若，则AF是⊙O的切线．
（2）解：是真命题，理由如下：如图：连接OC，

∵，∴，，∵，∴，∴，
在和中，∴，∴，
∵PC是的切线，∴，∴，∴，∴是的切线．
（3）解：∵的半径为4，，，∴
∵，，∴，∴，∴的面积，
∴，解得：，∴．
【点睛】本题主要考查了逆命题、圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键．
1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面 的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米， 则车宽的长度为（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，

则，设米，由得，，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，解得，，故选：D．
2．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了基本作图-作已知角的平分线，一般是结合几何图形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理．利用作法得平分，根据“等角对等边”得出，由已知条件及勾股定理的逆定理证明是直角三角形，所以根据平行四边形的性质得到是直角，再由勾股定理即可求得的长度．
【详解】解：由作法得平分，，∵四边形为平行四边形，
，，，，
，,，
，是直角三角形，即,,
．故选：C．
3．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，∴
∵平分，∴，故A正确；
∵平分，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，故B正确；
∵，∴，∴，
设，则，∴，∴，解得，
∴，∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，∴
∴，故D正确；故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．（2023·北京·校考模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当4局裁判，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了 局，其中第9局的裁判是 ．
【答案】 19 乙
【分析】先确定出乙、丙之间打了4局，乙与甲打了5局，丙与甲打了10局，进而确定出三人一共打的局数和乙当裁判的局数，即可得出结论．
【详解】解：甲共当裁判4局，乙、丙之间打了4局，
乙、丙分别打了9局、14局比赛，乙与甲打了（局），丙与甲打了（局），
甲、乙、丙三人共打了（局），丙与甲打了10局，乙当了10局裁判，
从1到19共9个偶数，10个奇数，乙当裁判的局数为奇数，
第9局的裁判是乙，故答案为：①19，②乙．
【点睛】本题考查推理论证，计数原理，奇数和偶数，判断出总局数和乙当裁判的局数是解本题关键．
5．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
【答案】
【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；
（2）过点作于点，如图所示：

则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，
∴，∴，∴，∴，
根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出．
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第六章 图形的变化
第三节 视图与投影、尺规作图、命题
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 图形的投影 ☆☆ 本专题以考查几何体的三视图和正方体的展开图、尺规作图和真假命题为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，视图与投影和命题在选填题出现的可能性较大，一般只考查基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.而尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力。
考点2 几何体的三视图 ☆☆☆
考点3 尺规作图 ☆☆☆
考点4 定义、命题、定理 ☆
■考点一　图形的投影
1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做 现象.影子所在的平面称为 。
2）平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在 下形成的物体的投影叫做 投影，点光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射线相互 的投影称为 投影。
（3）正投影：投射线与投影面 时的 投影，叫做 。
■考点二　几何体的三视图
1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。
2）三视图：（1）主视图：从 看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从 看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从 看得到的视图叫做俯视图。
3）三视图的画法
（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。
（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。
4）常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
5）正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。
■考点三　尺规作图
1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为 。
2）五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3）根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。
4）与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。
5）作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图 。
6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。
7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。
■考点四　定义、命题、定理
1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的 。
2）命题：判断一件事情的语句叫做 。
3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
5）真命题：正确的命题叫做 。反之，则为假命题。
注意：（1）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）；（2）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
6）逆命题：把原命题的结论作为命题的 ，把原命题的条件作为命题的 ，所组成的命题叫做原命题的 ；每个命题都有 ，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是 。
7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做 。
8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做 。
注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做 。
10）如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个定理，这两个定理叫做 ，其中一个定理叫做另一个定理的 ；任何一个命题都有 ，而一个定理并不一定有 。
11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做 。
12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
■考点一　图形的投影
◇典例1：（2023·河南周口·校联考三模）“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·安徽淮北·统考三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京海淀·统考二模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南平顶山·统考一模）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（　　）
A．(3)(1)(4)(2) B．(3)(2)(1)(4) C．(3)(4)(1)(2) D．(2)(4)(1)(3)
◇典例2：（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·辽宁抚顺·统考三模）下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
2.（2023·河北邯郸·校考一模）如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
3.（2023·辽宁抚顺·统考一模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口．
◇典例3：（2023·福建厦门·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
◆变式训练
1. （2023·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
2.（2023·河北唐山·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A． B． C． D．
◇典例4：（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
◆变式训练
1.（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（ ）

A． B． C．5 D．6
2.（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（2023·陕西西安·校考模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆的高度，如图，旗杆立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长的标杆的影长为，请你帮他们求出旗杆的高度. （结果保留一位小数，参考数据：）

◆变式训练
1.（2023·四川成都·统考一模）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ．
2.（2023·陕西·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．

■考点二　几何体的三视图
◇典例6：（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年海南省中考数学真题）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）

A． B． C． D．
◇典例7：（2023年四川省成都市数学中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．

◆变式训练
1．（四川省雅安市2020年中考数学试题）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考一模）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．5个或6个 D．6个或7个
◇典例8：（2023年山东省济宁市中考数学真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）
A．125 B．100 C．75 D．30
2.（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合而成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）

◇典例9：（2023年山东省青岛市中考数学真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
◆变式训练
1．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
2．（2023年山东省威海市中考数学真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
■考点三　尺规作图
◇典例10：（2023·四川成都·模拟预测）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
◆变式训练
1．（2023·贵州贵阳·统考一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
2．（2023·河北石家庄·统考二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
3．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在 中，． 请用尺规作图法，在边上求作点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
■考点四　定义、命题、定理
◇典例11：（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
◆变式训练
1．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等
2．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是 ．
◇典例12：（2023·河北·校联考一模）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾；
②因此假设不成立．∴；③假设在中，；④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
◆变式训练
1.（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
2．（2023·安徽·模拟预测）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，此时的值可以为 ．（写出一个即可）
3.（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
◇典例13：（2023·湖南长沙·校考三模）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”； 乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上” ．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（ ）的手上．
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
◆变式训练
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．
甲说：“乙第三名，丙第五名．”乙说：“戊第四名，丁第五名．”丙说：“甲第一名，戊第四名．”
丁说：“丙第一名，乙第二名．”戊说：“甲第三名，丁第四名．”
结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是（ ）
A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙
2．（2023·湖南长沙·统考一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
◇典例14：（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．

◆变式训练
1.（2023·浙江嘉兴·统考一模）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中， ． ________． 求证：四边形是________四边形．
(1)补全已知和求证（在方框中填空）．(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
2．（2023·河南·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
1．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
2．（2023年吉林省长春市中考数学真题）下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）

A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
3．（2023年广东广州中考数学真题）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年浙江省温州市中考数学真题）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．

A． B． C． D．
5．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．9 D．10
而8．（2022·江苏无锡·统考中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
9．（2023·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

10．（2023年北京市中考数学真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
11．（2023·山东青岛·统考中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．求作：点P，使，且点P在边的高上．

12．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
1．（2023·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短
2．（2023·浙江温州·校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东汕尾·统考一模）如图是一架飞机的示意图，其仰视图为（　　）

A． B． C． D．
4．（2023·广东潮州·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．不能确定
5．（2023·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）

A． B．4 C．2 D．
6．（2023·湖北荆州·统考三模）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线，交于点G，连接．若与恰好垂直，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛该竞赛共有十道判断题三位同学的答题情况如下：
题号选手
甲
乙
丙
考试成绩公布后，三个人都答对了道题，由此可知，题的正确答案依次是（ ）
A．、、、、、、、、、
B．、、、、、、、、、
C．、、、、、、、、、
D．、、、、、、、、、
8．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（ ）

A． B． C．5 D．6
9．（2023·福建泉州·统考二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，．求证：．

老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．
∵，∴．
∵，∴，
这与“________”相矛盾，∴假设不成立，
∴．以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
10．（2023·山西太原·统考二模）现有颗外观和大小都完全相同的小球，已知颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些．小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球．她思考后发现最少称次就一定能找出这颗球，则的值等于 ．

11．（2023·江苏盐城·统考三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实验小组，在某天下午时，同时进行了两项实验：
实验一：测量高为竹竿的影长．通过测量发现影长为．
实验二：探究长方体的影子．如图是该长方体在当天下午时阳光下投影，图是图中长方体的俯视图．

(1)该长方体的高，宽为．
①此时的影长为______；②此时测得，求；
(2)某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．

12．（2023·河南许昌·统考二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线，交的延长线于点P，点F在上，连接．易证命题：“若是的切线，则”是真命题．(1)请写出该命题的逆命题是______；(2)判断（1）中的命题是否为真命题，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为4，，且，求AC的长．

1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面 的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米， 则车宽的长度为（ ）米.
A． B． C． D．
2．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
3．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·校考模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当4局裁判，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了 局，其中第9局的裁判是 ．
5．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
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