资源简介

专题 对数函数
1. 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞)．
2. 对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：　(0，＋∞)
值域：　R
当x＝1时，y＝0，图象过定点　(1,0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是　增函数 在(0，＋∞)上是　减函数
注意：对数函数的解析式特征为（1）a＞0且a≠1; （2）logax的系数为 1；（3）自变量x的系数为 1，且x>0.
【题型1 对数函数概念】
【题型2 对数函数的定义域】
【题型3 利用对数函数的单调性比较大小】
【题型1 对数函数概念】
知识点：函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞)．
例1. 下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数是对数函数，C是；
函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.
故选：C
例2. 若函数是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2 B．1
C．2 D．且
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.
【详解】∵函数是对数函数，
∴，且，
解得或，∴，
故选：C．
例3. 对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 .
【答案】
【分析】根据对数函数的概念直接求解即可.
【详解】设对数函数的解析式为 (且)，
由已知可得，即，
解得，即函数解析式为，
故答案为：
【题型训练1】
1．下列函数中，是对数函数的有
①；②；③；④；⑤.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据对数函数的概念分析可得答案.
【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；
②和③符合对数函数的定义，是对数函数；
④中，底数不是常数，不是对数函数；
⑤中系数不是，不是对数函数.
故选：B.
2.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
3.已知函数是对数函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.
【详解】因为函数是对数函数，
则，解得．
故答案为：1.
4．若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 .
【答案】
【分析】将点代入对数解析式求出底数，即可求解.
【详解】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以.
故答案为：
【题型2 对数函数的定义域】
知识点：对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
例4. 函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题可得，即得.
【详解】∵，
∴，解得，且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
例5. 若有意义，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用对数的定义进行求解.
【详解】要使有意义，
须，即，
解得或，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
例6. 若函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据对数值求参数，（2）根据真数大于零得定义域
【详解】解：（1）将代入中，
有，
则．
∴．
（2）由（Ⅰ）知，
，解得．
∴函数的定义域为．
【题型训练2】
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列出使函数有意义的不等式组，进而即得.
【详解】要使函数有意义，则,
解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
2．对数式中实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的定义和性质即可得到结论．
【详解】解：由解得且，
故实数的取值范围是，
故答案为：
3．求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）； （2）；（3）；（4）.
【分析】根据解析式列出使函数有意义的不等式，即可解出定义域.
【详解】（1）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
（2）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
（3）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
（4）要使函数有意义，
只需，解得：，
所以的定义域为.
【题型3 利用对数函数的单调性比较大小】
知识点：当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.
例7. 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用对数函数的性质比较大小即可.
【详解】，，，，
.
故选：C.
例8. 若，则a，b应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为，
所以，，
根据对数函数的单调性可知，，
故选：C
例9. 下列不等号连接不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性可判断选项A，分别计算每个选项中两个对数的范围，可判断选项B，D，利用对数的运算，再结合比较
的大小可判断选项C，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：因为在单调递减，，所以，故选项A正确；
对于选项B：，，即，，
所以，故选项B正确；
对于选项C：，
，
因为，所以，
故选项C正确；
对于选项D：，，所以，故选项D不正确；
所以只有选项D不正确，
故选：D
【题型训练3】
1．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.
【详解】，即；
，即；
，即，
所以.
故选：A
2．已知，比较，的大小.
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性及换底公式比较即可.
【详解】因为，
所以，
，
3．与的大小关系为 .
【答案】
【分析】首先求出范围，再比较出真数大小关系，利用对数函数单调性即可比较大小.
【详解】∵x满足，即.
∴.
∴，由在上为减函数，
∴.
故答案为：
4．比较下列各数的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与.
【答案】（1）.（2）.（3）.
【分析】（1）根据，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；
（2）根据，在定义域内是增函数，可得，故，即可比较二者大小；
（3）根据，，即可比较二者大小.
【详解】（1）设.
且是减函数，
，
即.
（2）是增函数，
.
，
即.
（3）且，
.
1
8专题 对数函数
1. 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞)．
2. 对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：　(0，＋∞)
值域：　R
当x＝1时，y＝0，图象过定点　(1,0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是　增函数 在(0，＋∞)上是　减函数
注意：对数函数的解析式特征为（1）a＞0且a≠1; （2）logax的系数为 1；（3）自变量x的系数为 1，且x>0.
【题型1 对数函数概念】
【题型2 对数函数的定义域】
【题型3 利用对数函数的单调性比较大小】
【题型1 对数函数概念】
知识点：函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞)．
例1. 下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
例2. 若函数是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2 B．1
C．2 D．且
例3. 对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 .
【题型训练1】
1．下列函数中，是对数函数的有
①；②；③；④；⑤.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
3.已知函数是对数函数，则 ．
4．若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 .
【题型2 对数函数的定义域】
知识点：对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
例4. 函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
例5. 若有意义，则实数a的取值范围是 ．
例6. 若函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域．
【题型训练2】
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．对数式中实数的取值范围是 ．
3．求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【题型3 利用对数函数的单调性比较大小】
知识点：当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.
例7. 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
例8. 若，则a，b应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
例9. 下列不等号连接不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练3】
1．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，比较，的大小.
3．与的大小关系为 .
4．比较下列各数的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）与.
1
8

展开更多......

收起↑