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专题05 指数函数与对数函数的应用
1. 形如 ()的函数是指数型函数模型.
2.两种函数的的性质及增长速度比较
【题型1 指数型函数的实际应用】
【题型2 对数函数在实际问题中的应用】
【题型1 指数型函数的实际应用】
知识点：形如 ()的函数是指数型函数模型.
例1. 统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 倍（结果精确到个位）.
【答案】
【分析】由题意写出n年后该物种的种群数量，进而可求30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍数.
【详解】由题意，n年后该物种的种群数量约为，
所以30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍.
故答案为：
例2. 已知一个国家的人口增长率与其当时人口数成正比，比例为，若一个国家现有人数为．问需要多长时间人口数可以变为现在的两倍？（附：，）
【答案】18年
【分析】根据题意，设需要n年人口数可以变为现在的两倍，列式计算得解.
【详解】设需要n年人口数可以变为现在的两倍，
由题意可得，
∴，
∵，，在上单调递增，
∴需要经过18年人口数可以变为现在的两倍．
例3. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作.
【答案】
【分析】根据题意，求得参数的值，得到含药量与时间的函数关系式，令，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由图中的一次函数的图象得，图象中线段所在的直线方程为，
又由点在曲线上，可得，解得，
所以含药量与时间的函数关系式为，
当时，令，即，可得，解得，
所以学校应安排工作人员至少提前1小时进行消毒工作.
故答案为：.
【题型训练1】
1．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”我市为深入贯彻习总书记绿色发展理念，把生态文明建设融入各方面建设过程中去，努力打造生态森林，对森林内的天然林和人工林进行保护性开采．其中一片人工林地，目前可采伐的木材有万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为，则经过 年，该片森林可采伐的木材将增加到万立方米.（结果保留整数）
【答案】
【分析】根据题意，建立可采伐木材量与时间的函数关系，即可求解.
【详解】设年后，可采伐木材量为，
则
令，即可得，且
当时，，当时，，
故当满足题意.
故答案为：21.
2.按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量最大值为万吨．
(1)求的解析式；
(2)按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内？（参考数据，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，年化学需氧量排放总量为，求出以及，即可得出的函数解析式；
（2）利用对数指数函数的单调性结合对数运算解不等式，即可得出结论.
【详解】（1）解：设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，
年化学需氧量排放总量为，所以，则，
又，即，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，，
即，
所以，到年，将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内.
3.我国研究人员屠呦呦发现从青蒿中提取的青蒿素抗虐性超强，几乎达到100%，据监测：某药物服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？
【答案】(1)答案见解析
(2)小时
【分析】（1）根据图象求解析式即可；
（2）根据函数的解析式求解临界值即可.
【详解】（1）由图可知，当时，，
当时，，代入点得：
.
故.
（2）每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，即时，
当时，，
当时，
结合图像可知，时，.
且.
故服药一次后治疗有效的时间是小时.
4.一片森林原面积为，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的.
(1)求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
【答案】(1)
(2)5年
(3)15年
【分析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
（2）到今年为止，森林剩余面积为原来的，列出相应表达式，解之即可得解；
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式，解之即可得解.
【详解】（1）依题意，设每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比为，
则，即，
则，解得，
所以每年砍伐面积的百分比为.
（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，剩余面积为原来的，
则，即，
又由（1）知，则，所以，解得，
故到今年为止，该森林已被砍伐5年.
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为，
令，即，
则，所以，解得，
故今后最多还能砍伐15年.
【题型2 对数函数在实际问题中的应用】
知识点：函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞)．
例4. 地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（ ）倍（参考数据：）
A．110 B．115 C．120 D．125
【答案】D
【分析】根据题意结合对数运算分析求解.
【详解】第一次，即①，
第二次，即②，
①②得，，即由题可知，，
故选：D．
例5. 西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 .
【答案】
【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解.
【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，
将代入，得，
所以它的游速为.
故答案为：
例6. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）间的关系为（均为非零常数，为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过过滤后还剩余的污染物.
(1)求常数的值;
(2)试计算污染物减少到至少需要多长时间.（精确到）
（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据列方程求解；
（2）根据解方程，得出至少所需要的时间.
【详解】（1）由已知得当时，，当时，，
于是有，即，解得
（2）由（1）知，当时，
有，解得
故污染物减少到至少需要
【题型训练2】
1．中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【分析】根据所给声强与声强级的关系，利用对数运算即可得解.
【详解】设普通列车、高速列车声强分别为，声强级分别为，
由题意，，，
两式相减可得，，
即，所以，
即普通列车声强是高速列车声强的倍.
故选：B
2．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）. 当时，大约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，计算出答案.
【详解】由于5000远大于1，
故
，
因为，所以.
故选：B
3.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍.
【答案】100
【分析】根据题意结合对数运算可得答案.
【详解】由题意可得：，解得，
所以.
故答案为：100.
4. 2023年11月，大批红嘴鸥从西伯利亚飞越数千公里抵达云南昆明过冬，昆明已开启观鸥季．科学家研究发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示候鸟的耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数．（参考数据：）．
(1)当时，计算海鸥静止时耗氧量的单位数；
(2)若雄性海鸥的飞行速度为，雌性海鸥的飞行速度为，那么此时雄性海鸥的耗氧量是雌性海鸥的耗氧量的多少倍．
【答案】(1)900
(2)1.93
【分析】（1）将，，代入求解；
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为个单位，雌鸟每分钟耗氧量为个单位，由题意列关于， 的方程组，整理后得答案．
【详解】（1）将，，代入，
得，则，
即，解得．
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为900个单位；
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为个单位，雌鸟每分钟耗氧量为个单位，
由题意得，
两式相减得，解得．
所以雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的1.93倍．
1
8专题05 指数函数与对数函数的应用
1. 形如 ()的函数是指数型函数模型.
2.两种函数的的性质及增长速度比较
【题型1 指数型函数的实际应用】
【题型2 对数函数在实际问题中的应用】
【题型1 指数型函数的实际应用】
知识点：形如 ()的函数是指数型函数模型.
例1. 统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 倍（结果精确到个位）.
例2. 已知一个国家的人口增长率与其当时人口数成正比，比例为，若一个国家现有人数为．问需要多长时间人口数可以变为现在的两倍？（附：，）
例3. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作.
【题型训练1】
1．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”我市为深入贯彻习总书记绿色发展理念，把生态文明建设融入各方面建设过程中去，努力打造生态森林，对森林内的天然林和人工林进行保护性开采．其中一片人工林地，目前可采伐的木材有万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为，则经过 年，该片森林可采伐的木材将增加到万立方米.（结果保留整数）
2.按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量最大值为万吨．
(1)求的解析式；
(2)按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内？（参考数据，，）
3.我国研究人员屠呦呦发现从青蒿中提取的青蒿素抗虐性超强，几乎达到100%，据监测：某药物服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？
4.一片森林原面积为，计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的.
(1)求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
【题型2 对数函数在实际问题中的应用】
知识点：函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(0，＋∞)．
例4. 地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中为震级，为地震能量．2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（ ）倍（参考数据：）
A．110 B．115 C．120 D．125
例5. 西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 .
例6. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）间的关系为（均为非零常数，为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过过滤后还剩余的污染物.
(1)求常数的值;
(2)试计算污染物减少到至少需要多长时间.（精确到）
（参考数据：，，，，）
【题型训练2】
1．中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
2．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）. 当时，大约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
3.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍.
4. 2023年11月，大批红嘴鸥从西伯利亚飞越数千公里抵达云南昆明过冬，昆明已开启观鸥季．科学家研究发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示候鸟的耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数．（参考数据：）．
(1)当时，计算海鸥静止时耗氧量的单位数；
(2)若雄性海鸥的飞行速度为，雌性海鸥的飞行速度为，那么此时雄性海鸥的耗氧量是雌性海鸥的耗氧量的多少倍．
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