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6.4.3 余弦定理
教学目标
1.了解余弦定理的推导过程；
2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用
3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。
预习教材P42－P43的内容，
思考以下问题：
1.余弦定理的内容是什么？
2.如何证明余弦定理？
3.余弦定理有哪些推论？
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
探究
A
B
C
a
b
c
b
a
c
1.余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的 ，等于其他两边 ，减去这两边与它们夹角的 。
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
平方
平方的和
余弦的积的两倍
2.定理解读
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
3.余弦定理的推论（变形式）
cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝ ．
4.解三角形
(1)三角形的元素：三角形的 和它们的 叫做三角形的元素．
(2)解三角形：已知三角形的 求其他 的过程叫做解三角形．
三个角A、B、C
对边a、b、c
几个元素
元素
题型1 已知两边及一角解三角形
例1 在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，则BC的长为(　　)
A． B．
C．3 D．
答案：D　
解析：由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋9－6＝7，则BC＝，故选D.
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则边a等于(　　)
A . B．
C． D．2
答案：C
解析：根据余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴6＝a2＋2－2 a×，∴a＝(负值舍去)．
跟踪训练1　设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，且b解析：由题意，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋(2)2－2b·2 ·＝22，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或4.又因为b【方法归纳】
1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
2.已知两边及其夹角解三角形的方法
首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
题型2已知三角形三边或三边的关系解三角形
例2　(1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，c＝2，则角A等于(　　)
A．90° B．60°
C．30° D．45°
答案：D　
解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得：cos A＝＝＝，
∴A＝45°.
B
A
练习3：在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，
则A= 。
【方法归纳】
(1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择；
(2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论．
题型3 判断三角形的形状
例4　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C．试判断△ABC的形状．
解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以cos A＝.又因为0°因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
且sin A＝2sin B cos C，
所以sin B cos C＝cos B sin C，即sin (B－C)＝0.
因为－180°又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，
故△ABC为等边三角形．
【方法归纳】
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理．
1.知识梳理：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理推论.
2.方法归纳：数形结合思想、方程思想、转化思想.
课堂小结

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