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重难点4-1 平面向量的最值与范围
平面向量中的最值范围问题是向量问题中的重难点，也是近几年新高考数学的热点问题.常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活.主要考查向量数量积的最值、系数的最值、模长和夹角的最值.在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法.
【题型1 向量数量积的最值与范围】
满分技巧数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算； （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理； （3）利用极化恒等式来处理.
【例1】（2023·江苏连云港·高三统考期中）
1．设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·辽宁·高三校联考期中）
2．已知正方形的边长为，在边上，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式1-2】（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）
3．如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·山东·五莲县第一中学校联考模拟预测）
4．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）
5．已知过点且与圆相切的两条直线的夹角为，再过点作直线与圆交于两点，则的最大值为（ ）
A．0 B．8 C． D．16
【题型2 向量模长的最值与范围】
满分技巧处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得； （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得； （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
【例2】（2023·云南昆明·高三统考期中）
6．向量在向量上的投影向量为，则的最大值为 ．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）
7．已知非零向量，满足，，则的最大值为
A． B． C． D．5
【变式2-2】（2024·北京朝阳·高三统考期末）
8．在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）
9．已知，，，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）
10．已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C．, D．,
【题型3 向量夹角的的最值与范围】
满分技巧求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角.
【例3】（2023·高三课时练习）
11．已知向量、满足，，且，则与的夹角的取值范围是 .
【变式3-1】（2023·广东清远·高三校联考阶段练习）
12．已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·重庆沙坪坝·高三凤鸣山中学校考期中）
13．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）
14．已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为 .
【变式3-4】（2023·上海·高三大同中学校考期中）
15．已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 ．
【题型4 向量系数的最值与范围】
满分技巧此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解. （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立.我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）
16．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·四川·高三校联考阶段练习）
17．已知是边长为1的等边三角形，若且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）
18．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最小值为4 D．的最大值为16
【变式4-3】（2023·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）
19．在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【变式4-4】（2023·山东·高三省实验中学校考阶段练习）
20．已知，，均为单位向量，满足，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．-1
（建议用时：60分钟）
（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）
21．已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
（2023·江西·高三校联考阶段练习）
22．已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）
23．已知平面向量，均为单位向量，且，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏南通·高三统考期中）
24．在四边形中，，，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）
25．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点满足，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）
26．如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　 ）
A． B． C． D．
（2022·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考阶段练习）
27．如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）
28．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A． B． C．6 D．10
（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）
29．已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为（ ）
A．7 B．12 C．14 D．11
（2024·湖南娄底·高三统考期末）
30．已知平面非零向量的夹角为，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．24
（2024·全国·模拟预测）
31．已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
（2023·河南·校联考模拟预测）
32．在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
（2023·福建宁德·统考模拟预测）
33．在平面直角坐标系中，点为圆上的任一点，.若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
（2022·江苏南通·高三开学考试）
34．在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川南充·阆中中学校考一模）
35．圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，（x，），则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
（2023·河北·统考模拟预测）
36．设向量满足，，若存在实数，，则向量与的夹角的取值范围为 ．
（2023·山东聊城·高三校考期中）
37．已知是边长为的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是 ．
（2023·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）
38．如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .

（2023·全国·高三专题练习）
39．已知向量满足，若的最大值为1，的取值范围为 ．
（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）
40．若正方形边长为，点为其内切圆上的动点，，则的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】按题意设出向量坐标，展开运算即可.
【详解】设，，，则
所以
故选：D.
2．C
【分析】建立平面直角坐标系，得出，，的坐标，设出点坐标，利用坐标运算求解即可．
【详解】由题意，建立如图所示坐标系，
则，，，
设，，
则，，
，
所以，
所以，
故当时，有最大值．
故选：C．
3．C
【分析】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值.
【详解】过点作，垂足为，
以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则，
其中，
，
当，即同向时，取最大值，
所以的最大值为.
故选：C.
4．A
【分析】将中向量进行分解，即：，
由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值.
【详解】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以，
取的中点，所以，，如图所示：
因为,
因为是的中点，所以，
，
所以若最大，所以只需最大，
所以，
所以.
故选：A
5．B
【分析】先求出点的轨迹，然后根据向量知识将，转化为与向量，进而得出答案.
【详解】解：如图，设过点作圆的两条切线的切点为，
因为，所以．
因为圆C的方程可化为，
所以，．
所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
如图，设MN的中点为H，则，
所以
．
因为，
所以当时，的值最大，
最大值为8．
故选：B．
6．
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】依题意，根据投影向量的定义有：，
则，即，
又，所以，
所以当取最大值时，有最大值，
又，
所以.
故答案为：.
7．A
【分析】利用平面向量的数量积与模长关系先判定，再利用三角换元结合辅助角公式计算即可.
【详解】，由，则有，
又 ，
即，
令，
则，
故选：A．
8．C
【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，
所以，当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数在上单调递增可得，.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.
9．A
【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
不妨设，
满足，，，
又，即，
由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为，
而，即，即，
这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，
又，等号成立当且仅当三点共线，
故只需求的最大值即可，
因为点在椭圆上面运动，所以不妨设，
所以，
所以当且三点共线时，
有最大值.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.
10．A
【分析】令，，，,，应用向量线性运算坐标表示得到坐标，坐标公式求模，设，应用辅助角公式及正弦型函数性质求范围即可.
【详解】设，，，设，,，
所以，
所以，
设，,，则，其中，所以，
所以,，故,，
所以,，即,.
故选：
11．
【分析】根据给定条件，利用平面向量的数量积求出向量夹角的余弦范围作答.
【详解】因为，，且，则有，
因此，而，余弦函数在上单调递减，即有，
所以与的夹角的取值范围是.
故答案为：
12．A
【分析】利用平面向量数量积与模长的关系结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可.
【详解】设向量的夹角为θ，因为，所以，
则，即恒成立.
所以，解得，
故的夹角的取值范围是.
故选：A.
13．C
【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
14．
【分析】首先要根据绝对值不等式的性质以及向量三角不等式的关系放缩，再通过向量平方去掉模，最后解三角不等式.
【详解】由，若对任意模为的向量，均有，
由三角不等式得，，因为向量为任意模为的向量，
所以当向量与向量夹角为时，上式也成立，设向量的夹角为.
，，
平方得到，即，
则，即，即，
同时，所以，
平方得到，即，
解得，即，，
综上，又因为，即，
向量的夹角的取值范围.
故答案为：.
15．
【分析】由于为点集，则可根据集合特点判断点，则可知点与投影有关，则根据投影相关知识点，M，，所以根据集合特点即可代入计算.
【详解】因为，点集，
当时，过作于,延长于,使得,
则可知点在线段上运动.

因为，根据数量积的几何含义可知，在上的投影为3，即，
又因为M，，则为线段上的两个点，
所以、夹角最小为，最大为的二倍，
所以、夹角为，则最大为1，最小为
所以范围为.
故答案为：
16．D
【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：.
17．B
【分析】将平方可得到，三角代换后可得，，即可求出的表达式，结合辅助角公式即可求得答案.
【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，，
所以，又，，
所以，即.
令，，解得，，
所以，
所以，此时，
故选：B.
18．C
【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D.
【详解】为正实数，，
，而共线，

，
当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误；
，
当且仅当，即，即时取等号，
即的最小值为4，C正确；
又，
由于为正实数，，则，
则，时取最大值，
当趋近于0时，可无限趋近于0，
故，故无最大值，D错误，
故选：C.
19．D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以
，当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值是.
故选：D
20．B
【分析】首先确定向量的夹角，从而构建单位圆，确定向量的坐标，并利用三角函数表示，并利用三角函数求最小值.
【详解】，所以，

根据，，则,,
如图，建立平面直角坐标系，设，，，，
由，可知，，
得，，
，
其中，所以，
则，
所以当时，
所以的最小值是.
故选：B
21．B
【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故选：B
22．D
【分析】根据向量数量积的运算性质，可得答案.
【详解】因为，所以，即，
整理得，
又，所以，即，
所以，即，又，
所以当与反向时，取得最大值，且最大值为.
故选：D.
23．C
【分析】建立平面直角坐标系，结合圆的几何性质求得正确答案.
【详解】依题意平面向量，均为单位向量，且，
建立如图所示平面直角坐标系，设，
设，由，
所以点在以原点为圆心，半径为的圆上，
表示以原点为圆心，
半径为的圆上的点与点的距离，
所以，根据圆的几何性质可知：的最大值是，
其中是点与原点的距离.
故选：C
24．C
【分析】设结合图象，运用数量积运算将转化为，再利用倍角公式，辅助角公式转化为，根据正弦函数的性质求最大值即可.
【详解】
设，则,，
因为，所以，
故，所以，
即的最大值为.
故选：C
25．A
【分析】设点，利用可得，即点轨迹为圆心为，半径为的圆，则可设，利用辅助角公式化简，即可求出最值.
【详解】设点，
由，得，
解得，
即点轨迹为圆心为，半径为的圆，
可设，为任意角，
则，，
所以
，
所以当时，
最大，且为.
故选：A
26．C
【分析】利用转化法，将转化为,进而求得的最小值即可.
【详解】连接,
则
,
当时，最小，可求得，
结合，得的最小值为，
故选：
27．A
【分析】由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可.
【详解】∵
,
因为，，，
所以，
连接，因为，
所以≌，
所以，
所以，则，
设，则，
∴，，，，
所以，
因为，
所以.
故选：A.
28．D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得，，
所以，
又因为，
所以,，
设,则，
所以，
，
所以
，
令，
当单调递增，单调递减，
当，取最大值为.
故选：D
29．D
【分析】由，得到AC为圆的直径，设，得到求解.
【详解】解：如图所示：

因为，所以AC为圆的直径，
又，则，
设，则，
所以，
所以，
当时，等号成立，
故选：D
30．D
【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．
【详解】由已知非零向量的夹角为，所以，
由，两边平方得
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为24.
故选：D.
31．B
【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.
【详解】为单位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
则，
当且仅当与方向相反时“”成立，
如取时，可使“”成立.
所以.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是由已知条件得，这样就能得到.
32．B
【分析】利用平面向量的线性运算推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为是边上的点，满足，则，
所以，，
因为在线段上（不含端点），则存在实数，使得，
所以，，
又因为，且、不共线，则，故，

因为，则，，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
33．C
【分析】通过圆的三角换元，利用向量的加减运算及向量相等的条件，转化为三角函数的最值问题即得结果.
【详解】由已知可设，则，
又，因为，
所以,即,
所以,其中，
当时，有最大值为.
故选：C.
34．B
【分析】求得，外接圆的半径，设，，，根据，结合和
三点共线，得到，进而求得，利用基本不等式和函数的性质，即可求得取值范围.
【详解】因为中，，
由余弦定理可得，
即，且，
设，
则，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因为，，所以，
因为三点共线，可得，
因为，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
设，可得，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为；
又由，，可得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是.
故选：B.
35．B
【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，根据向量的坐标表示及圆的参数方程可得的表达式，然后利用三角函数的性质可得最大值.
【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
因为圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，
所以，即内切圆的圆心为，半径为1，
可设，又，
∴，，
∴，
故得到，
∴，
∴，
当时等号成立，即的最大值为2.
故选：B.
36．
【分析】利用性质，将不等式平方转化为数量积，再由关于t的一元二次不等式有解，利用判别式可得.
【详解】设向量与的夹角为，由，利用平面向量的数量积可得
，即存在实数，使成立，于是，即，所以，所以向量与的夹角的取值范围．
故答案为：
37．
【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由此可得点轨迹方程，设，利用向量数量积坐标运算和三角恒等变换知识可化简得到，结合正弦函数值域可求得结果.
【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，
，点轨迹是以为圆心，为半径的圆，
点轨迹方程为：，不妨设，
，，，
，
，
，，
即的取值范围为.
故答案为：.
38．
【分析】求出线段长的范围，结合给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.
【详解】正六边形的边长为2，则其半径为2，边心距为，则正六边形边上的点到其中心的距离，

因此
，
所以的取值范围是.
故答案为：
39．
【分析】由题意，得，再利用向量的模的计算公式，即可求解.
【详解】设向量的夹角为θ，则；又,
所以，
所以,
所以，
又，所以，所以的取值范围是．
故答案为：．
40．
【分析】以正方体的中心为原点，建立平面直角坐标系，设点的坐标为，根据题意得到，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】以正方体的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方体的棱长为，可得，
又由正方形的内切圆的方程为，设点的坐标为，
则，，
因为，可得，
所以，可得，
因为，所以.
故答案为：

答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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