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重难点3-2 解三角形的综合应用
解三角形一直是高考数学中的热门考点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力.一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决.
【题型1 四边形中的解三角形问题】
满分技巧四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边的三角形，有时还需结合三角恒等变换.
【例1】（2024·湖南娄底·高三统考期末）
1．如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.

(1)求钝角的大小；
(2)若，求的大小.
【变式1-1】（2024·云南昆明·统考一模）
2．在中，，，.
(1)求的面积；
(2)如图，，，求.
【变式1-2】（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）
3．已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，
(1)求和；
(2)若，求四边形的面积．
【变式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）
4．如图，在四边形中，为的中点，，，，
(1)求；
(2)若，，求.
【题型2 解三角形中的中线应用】
满分技巧1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）.
【例2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）
5．在中，角，，对应的边分别为，，且.
(1)求角；
(2)，，点在上，，求的长.
【变式2-1】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）
6．在中，内角所对应的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若，且，求边的中线长．
【变式2-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）
7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，BC边上的中线，求的面积．
【变式2-3】（2024·重庆·统考一模）
8．在梯形中，为钝角，，．
(1)求；
(2)设点为的中点，求的长．
【变式2-4】（2024·全国·高三专题练习）
9．在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．
条件①：的面积为；条件②：；条件③：．
【题型3 解三角形中的垂线应用】
满分技巧1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关.
【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）
10．在中，内角A，B，C满足．
(1)求；
(2)若边上的高等于，求．
【变式3-1】（2024·福建·高三校联考开学考试）
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．
【变式3-2】（2024·江苏常州·高三统考期末）
12．记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【变式3-3】（2024·江西赣州·高三统考期末）
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)证明：；
(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．
【变式3-4】（2024·全国·模拟预测）
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，过点A作，使得四边形ABCD满足，．
(1)求角的大小；
(2)若，求四边形的面积．
【题型4 解三角形中的角平分线应用】
满分技巧如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷. 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）
【例4】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）
15．在中，.
(1)求；
(2)若，点在边上，平分，求的长.
【变式4-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分线与交于点，且，求.
【变式4-2】（2024·山东济南·高三统考期末）
17．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．
(1)求B，
(2)的平分线交边于点D，且，求b．
【变式4-3】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）
18．在中，已知.
(1)求的长；
(2)若的平分线交点，求的最大值.
【变式4-4】（2023·安徽·高三校联考期末）
19．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.

(1)求的大小;
(2)若,求的面积.
【题型5 解三角形中的等分点应用】
满分技巧当所三角形问题不再是中线、角平分线、垂线这些特殊情况时，要注意结合补角的三角函数关系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量.
【例5】（2024·山西太原·高三统考期末）
20．在中，，，分别为内角的对边，点在线段上，，，的面积为.
(1)当，且时，求；
(2)当，且时，求的周长.
【变式5-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）
21．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求证：；
(2)若点在边上，且，求的面积.
【变式5-2】（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）
22．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．
(1)求；
(2)已知，为边上的一点，若，，求的长．
【变式5-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）
23．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求证：；
(2)如图：点在线段上，且，求的值.
【变式5-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）
24．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，点在边上，，且，求．
【题型6 与三角值有关的最值范围】
满分技巧三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. 2、转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边.
【例6】（2024·全国·模拟预测）
25．记的内角所对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）
26．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【变式6-2】（2024·山东枣庄·高三统考期末）
27．在中，角所对的边分别为.若.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【变式6-3】（2023·湖南永州·统考二模）
28．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，．
(1)求；
(2)求的最小值．
【变式6-4】（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）
29．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【题型7 与边或周长有关的最值范围】
【例7】（2022·河南·高三专题练习）
30．已知中，角所对的边分别为，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）
31．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）
32．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
(1)；
(2)周长的取值范围.
【变式7-3】（2024·青海西宁·高三统考期末）
33．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
【变式7-4】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）
34．已知的内角的对边分别为，且的面积为
(1)求；
(2)求周长的最小值.
【题型8 与面积有关的最值范围】
【例8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）
35．在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．
(1)求角的大小；
(2)若时，求面积的最大值．
【变式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）
36．在锐角中，角所对应的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，求面积的取值范围．
【变式8-2】（2024·上海普陀·高三校考期末）
37．在中，已知分别为的对边，且，，
(1)求满足的表达式
(2)如果，求出此时面积的最大值.
【变式8-3】（2024·江西·高三校联考期末）
38．如图，在△ABC中，，D为△ABC外一点，，记，.
(1)求的值；
(2)若的面积为，的面积为，求的最大值.
【变式8-4】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）
39．的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.
(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
（建议用时：60分钟）
（2023·广东深圳·高三校考期末）
40．在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，
(1)若，求的长；
(2)若，求
（2024·浙江·校联考一模）
41．在中，内角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）
42．已知中，．
(1)求；
(2)的平分线交于，求的长．
（2023·江苏·高三校联考阶段练习）
43．在中，内角，，所对边分别为，，，．
(1)求的值；
(2)若，，点在内部，且，，求的面积．
（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）
44．在中，角所对的边分别为边上的高设为，且.
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围.
（2024·浙江绍兴·高三统考期末）
45．在中，已知．
(1)若，求的值；
(2)已知中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）
46．已知中，角，，所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.
（2024·山东威海·高三统考期末）
47．在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
（2024·湖北·校联考模拟预测）
48．在中，已知，D为的中点.
(1)求A；
(2)当时，求的最大值.
（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）
49．记钝角的内角的对边分别为．若为锐角且．
(1)证明：；
(2)若，求周长的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角余弦公式，诱导公式将条件式化简，求得的值得解；
（2）设，由正弦定理求得，结合条件，求得，结合角的范围求得结果.
【详解】（1）因为，
所以，所以，
又，所以，即，
解得或者，又为钝角，所以.
（2）设，四边形内角和为，
由（1）的结论知：，
在中，由正弦定理得：，即，
在中，，即，
又，
则，即，即，
，即，
，即，即的大小为.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角关系求解正余弦值，即可根据正弦定理求解，进而有和差角公式以及三角形面积公式求解即可，
（2）根据边角关系以及余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，,所以，
因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，解得.
又因为，
所以.
（2）由（1）可知，，因为，所以，
又因为，即，故，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
解得.
3．(1)，
(2)
【分析】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到，求出，再利用余弦定理求出；
（2）求出，并利用正弦定理和余弦定理求出，，利用三角形面积公式求出，相加后得到答案.
【详解】（1）四边形的外接圆面积为,即的外接圆面积为，
设的外接圆半径为，则，解得，
在中，，即，故，
因为为钝角，所以为锐角，故，
由余弦定理得，即，
故，解得，负值舍去，
（2），
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又，故，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
故，
四边形的面积为.
4．(1)
(2)
【分析】（1）在中应用余弦定理求出，，然后在中，余弦定理求出，进而得到；
（2）因为，所以，从而得到，然后在中，借助余弦定理求出的值.
【详解】（1）
因为，，，为的中点，
所以在中，，
所以，
所以，
在中，，
所以，.
（2）因为，所以，所以，
所以，
在中， ，
所以
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式和正、余弦定理计算即可求解；
（2）由（1），利用余弦定理求出AC，设，再次利用余弦定理表示，建立关于x的方程，解之即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
得，
由余弦定理，得，即，
所以，
由，得.
（2）由（1）知，，所以，
即，由，解得，
即，设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
整理得，即，
解得，所以.
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解；
（2）先利用余弦定理求出角，进而可得是一个角为的等腰三角形，解求边的中线长.
【详解】（1）对于，由正弦定理得，
因为，
所以，即，
由角为的内角可得；
（2）因为，
所以，又角为的内角，
所以，则，
即是一个角为的等腰三角形，设上的中点为，
所以，即，
所以，
所以，即边的中线长为.
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和，先把换成，再用两角和与差的三角函数公式展开化简，可得结论；
（2）借助余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】（1）因为，
即，
所以，
又因为，所以，所以．
（2）方法1：因为，
所以，即，
所以①；
由余弦定理得，②；
所以由①②得，
所以．
方法2：由余弦定理得：
，
因为，
所以①；
又②；
所以由①②得，
所以．
8．(1)；
(2)
【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出的长.
【详解】（1）在梯形中，由为钝角，得是锐角，
在中，，则，
由余弦定理得，即为等腰三角形，
所以.
（2）由，得，由点为的中点，得，
所以.
9．(1)
(2)不能选①，选②或③，答案均为1
【分析】（1）由正弦定理及得到，结合，得到；
（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到，由推出矛盾；
选②，根据三角恒等变换得到，是以为斜边的直角三角形，由正弦定理得到，求出中线；选③，由余弦定理得到，设边上的中线长为，再由余弦定理得到边上的中线的长为1．
【详解】（1）由正弦定理及，
得．①
因为，
所以．②
由①②得．
因为，所以．
所以．
因为，
所以．
（2）选①，的面积为，
即，即，解得，
因为，由余弦定理得，
即，解得，
由基本不等式得，但，
故此时三角形不存在，不能选①，
选条件②：．
由（1）知，．
所以
，
所以．
因为，所以．
所以，即．
所以是以为斜边的直角三角形．
因为，
所以．
所以边上的中线的长为．
选条件③：．
由余弦定理得，即．
设边上的中线长为，由余弦定理得
，
所以边上的中线的长为1．
10．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理与余弦定理求解即可；
（2）由几何图形分析，设边上的高为，为垂足，在中，，，，设，从而求出，，进而求解即可.
【详解】（1）设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，
因为，
由正弦定理得：，
由余弦理得
又因为，
所以，．
（2）如图：
设边上的高为，为垂足，
在中，；
在中，，，，
设，则，，
所以，
所以.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边，再结合二倍角公式求出得解；
（2）根据题意得，结合的面积为，可求得，又由，求得，在中，由余弦定理求得,得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得．两边除以，
得，
由二倍角公式，有，
整理为，
上式因式分解为，
解得或（舍去），
又由，可得；
（2）由．有，
又由，可得，有，可得，
又由的面积为及，有，
代入，可得，，
又由，有，代入，可得，
在中，由余弦定理，有，
有的周长为．

12．(1)或2
(2)
【分析】（1）由余弦定理和面积公式，结合条件即可得出答案；
（2）由面积公式和正弦定理化简求出A，即可得出答案.
【详解】（1）余弦定理得，
，又，所以，代入，
，或2．
（2）
由正弦定理得，又，
，
，
，，
，
，，
，，
．
13．(1)证明见解析；
(2)直角三角形.
【分析】（1）利用正弦定理计算即可；
（2）利用正弦定理及（1）的结论证明即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，
整理可得，，
又，
于是，即，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）根据等面积法可知，即，
由，可得，
又由及正弦定理可得，，
解得，
由于，所以，
所以，所以是直角三角形.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化为边即，然后化简再利用余弦定理即可求解.
（2）设角，然后利用正弦定理得，然后利用正弦函数两角和公式及二倍角从而求出，从而即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理，得．
整理化简得．
由余弦定理得．
又，
所以．
（2）设，则，．
在中，由正弦定理得．
所以．
在中，由正弦定理得，
所以，
即．
所以，即．
注意到，
所以，．
所以，，．
所以四边形的面积为．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方关系变形，再利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）在和在中，利用正弦定理求出的关系，再根据的关系即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，故由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为平分，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
即，所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得，再运用余弦定理解方程即得.
【详解】（1）因，由正弦定理可得：，
即.
因，故，则有，即，
因，故.
（2）因为为角平分线，所以，
所以.
因，，，则，
即，所以.
又由余弦定理可得：，
把，分别代入化简得：，
解得：或（舍去），所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件和余弦定理可得结果，
（2）根据等面积求出，由余弦定理可得结果.
【详解】（1）因为，，所以，
又，所以．
（2）因为，即，
又，，解得，
在中，由余弦定理得，
则.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件及正弦的和角公式得到，再利用正弦定理即可求出结果；
（2）设，利用及条件得出，
再利用余弦定理得，从而得到，即可求出结果.
【详解】（1）由题意得，，得到，
所以，
由正弦定理，得到，又，
所以.
（2）设，因为，
所以，又，所以，
由余弦定理，，
所以
当时，取到最大值.
19．(1)
(2)
【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小.
（2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因为是的角平分线,所以,
在中,根据余弦定理得,
所以,
则,
因为,
所以.
（2）因为,所以,
在中,由正弦定理得,
在四边形中,,
所以,
则.
20．(1)
(2).
【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理计算即可；
（2）利用三角形中线的向量性质与数量积公式、三角形面积公式及余弦定理计算即可.
【详解】（1）由题意得，，
，，，
，，
，
，；
（2）由题意得，，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
的周长为.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和正弦公式以及诱导公式即可得证.
（2）首先在和中，运用两次余弦定理，得，，结合平方关系、三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，由正弦定理知，
所以，
所以3，
即，
因为，
所以，所以.
（2）在中，，
在中，，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）在中 ，利用余弦定理，求得，得到，进而求得，进而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
即，所以，
又因为，可得，所以，可得.
（2）解：在中 ，由余弦定理得
，所以，
因为且，所以，
所以，
又因为，所以，
所以 ，
在中，由正弦定理得， 即，解得.
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；
（2）由第一问在中结合正弦定理可得，在中根据余弦定理可求得结果.
【详解】（1）证明：由余弦定理得，
又，可得，即，
由正弦定理得，
而，代入上式，
可得，
所以（舍）或，
即.
（2）因为，，所以，
在中，由正弦定理得，
而，可得，
代入，可得，
由余弦定理得.
24．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B的大小.
（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
即，
则，而，于是，
即，又，即有，则，
所以.
（2）依题意，，则，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
25．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；
（2）利用第一问的结果代入的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）已知，
由正弦定理得：，
整理得：，
……①
因为……②
②代入①有：，
再由正弦定理得．
（2）由余弦定理得：
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
26．(1)
(2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理边化角，由正弦值求角；
（2）由锐角，求出角的范围，化简得，结合正弦函数的性质，求出取值范围.
【详解】（1），由正弦定理得．
因为，所以．因为为锐角三角形，所以．
（2）因为，所以．
因为为锐角三角形，所以得．
因为，
由，得，所以.
即的取值范围为.
27．(1)；
(2).
【分析】（1）利用边化角及三角恒等变换公式整理计算即可;
（2）通过角的转化，借助三角恒等变换公式，得到，利用
的范围，即可求出结果.
【详解】（1）因为，整理得
，
所以，
由正弦定理得：，
因为，所以，所以.
（2）因为为锐角三角形，，所以，且，
所以，
解法
，
因为，所以，
所以，
即的取值范围是.
解法
，
因为，所以，得，
所以，
即的取值范围是.
28．(1)；
(2)无最小值；
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所以；
（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在上单调递增，可得无最小值；
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理可得，
所以可得，解得或；
又为锐角，所以，
因此；
（2）结合（1）中，又可得：
；
令，则，
又为锐角，，所以，
可得，
所以，当时，恒成立，
即可得为单调递增，
所以时，，所以无最值；
因此无最小值；
29．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由诱导公式、二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，，
从而可得，
，
又为三角形的内角，
所以，于是，
又为三角形的内角，因此.
（2）
，
由可知，，，
从而，
因此，
故的取值范围为.
30．C
【分析】根据题意，求得，再由，求得，结合余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，
即，即，
可得，
因为，则，所以，解得，
又因为，所以，所以，
所以，由余弦定理得，所以，
所以，即，当且仅当时等号成立.
故选：C．
31．A
【分析】根据条件求得，再根据正弦定理及三角恒等变换将表示为的三角函数，求得的最大值.
【详解】因为，
所以,
即,
由正弦定理可得,
即,
即, 因为,
所以,
因为, 所以;
由正弦定理可得,
则
, 其中，,
因为,
所以,
从而当时, 取得最大值为.
故选：A
32．(1)
(2)
【分析】（1）选①由三角恒等变换可得求出角，选②由三角形面积公式及数量积公式化简得出即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出得解；
（2）由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦函数的值域求范围即可得解.
【详解】（1）若选①
，由正弦定理得：
，
，
，，
，
.
若选②
，
，，
，.
若选③
，
，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
，.
（2）,
，
，，
，，
即，所以△ABC周长的取值范围.
33．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可得解.
（2）由余弦定理结合基本不等式以及三角形三边关系，注意基本不等式的取等条件.
【详解】（1）因为，
所以，
所以.
因为，所以，所以.
（2）由余弦定理可得，
则，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，解得.
因为，所以.
综上，的取值范围为.
34．(1)
(2)
【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出，得角；
（2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值.
【详解】（1）由，得，
即，则，
由，得.
（2），得，
由余弦定理，有，得，
周长，
当且仅当时取等号，所以周长的最小值为.
35．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.
（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.
【详解】（1）在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，，，而，于是，
即，当且仅当时取等，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值.
36．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.
（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解.
【详解】（1），由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）在锐角中，，记的面积为．
由正弦定理得，即．
所以．
因为在锐角中，，所以，
解得，
则，故．
37．(1)；
(2).
【分析】（1）由向量数量积的坐标表示，结合正弦边角关系及差角余弦公式、诱导公式得，最后由正余弦边角关系得到的关系式；
（2）应用余弦定理及平方关系得且，根据向量模长坐标表示得，进而有，再由三角形面积公式得面积，即可求最大值.
【详解】（1）由题设，
所以，
则，，
又，则，
所以，故，故.
（2）由，故，且，
由，即，故，
又面积，
当，即时，.
38．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；
(2)根据题意，由（1）知，求出取得最大值，最大值为.
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，
所以，
即.
（2）由题意知，，
所以
，
由（1）知，
所以，，
所以
，
所以当时，取得最大值，最大值为.
39．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意，根据的内切圆的性质可得，选①，根据余弦定理可得，方程无解即△ABC不存在；选②，根据正弦定理可得，由可得，方程无解即△ABC不存在；选③，根据三角恒等变换可得，由（1）得，解得，可求出的周长.
（2）由三角形的面积可得，再由正弦定理和两角和的正弦公式可得，结合角C的取值范围即可求解.
【详解】（1）设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，
选择①，因为，所以，
因为，，所以，
整理得，
方程无实数解，所以不存在．
选择②，因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
整理得，方程无实数解，所以不存在．
选择③，由得：，
所以，即，所以，
因为以，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周长为．
（2）由（1）知，，面积，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范围为，
而面积.
40．(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，进而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可求解；
（2）由，结合余弦定理可求得的长，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）
在中，由余弦定理可得，
所以，化简得，
解得，
因为是的中点，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以，
因为，所以，
由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得
，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，所以，
设，所以，
即，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得
.
41．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角；
（2）根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以
（2）由，得，
由，得，所以．
又因为边的中点为，所以，
所以
42．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，再由二倍角公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得，再由角平分线定理可得，在中，结合余弦定理，即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得，即，
又为三角形内角，，
.
（2）
由余弦定理可得，
解得或（舍）
又由角平分线定理有，即，解得，所以
在中，由余弦定理有.
43．(1)0
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理，转化为角的有关计算，求出角，可得向量的数量积；
（2）先确定点的位置，再求所求三角形的面积.
【详解】（1）在中，，由正弦定理可得：，
∵，∴，∴，
∵，∴.
所以：
（2）
如图：，所以在线段的中垂线上，作，，垂足分别为，.
则，设，
则中，；
在中，；
在中，，所以：，
解得：或（舍去，因为此时点在外部）.
所以.
44．(1)
(2).
【分析】（1）由余弦定理求出的表达式，利用面积公式求出表达式，得出，即可求出的值；
（2）求出的范围，利用的表达式即可得出的取值范围.
【详解】（1）由题意，
在中，由余弦定理和可得，.
，
又由面积公式可知，
，由得
又
∴，
（2）由题意及（1）得，
在中，.
过作的垂线，且使，则，
，即，得，
，
，
，
由，得，
的取值范围为.
45．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，利用平方关系，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，进而得到，求得，再由，利用余弦定理列出方程求得，得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，所以，即，
又由平方关系，可得，
整理得，解得或.
（2）解：由，可得，
整理得，即，所以，
因为角平分线交于，且，，
可得，所以，解得，
又因为是的中点，所以，
因为，可得，
由余弦定理得，解得，可得，
又由，所以，
所以的面积为.
46．(1)4
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式，结合余弦定理，即可求得答案；
（2）由题意结合正弦定理推出，设，由余弦定理推出，即可表示出的面积的表达式，化简，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，即，
故，即，
结合，得；
（2）由于平分，故，
故，
而，即得,
设，则，
即，则，
故
，
当，即时，取到最大值，最大值为3；
又，满足，
当无限趋近于1或2时，无限趋近于0，
故的面积的取值范围为.
47．(1)
(2)24
【分析】（1）根据向量数量积公式及面积公式求出角A即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式求出最值即得解.
【详解】（1）因为，所以，
可得， 因为，所以.
（2）由余弦定理可知，即，
因为，所以，
所以，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
48．(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.
【详解】（1），
，
即，
，即.
或，
当时，，
由，有，即时.
当时，（舍）.
.
（2）设，，
由（1）及余弦定理有，即.
，即，当且仅当时等号成立.
由D为边的中点有，
，
当且仅当时等号成立.
，当且仅当时等号成立.
的最大值为.
49．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件先确定出的关系，然后通过诱导公式化简，最后根据正弦定理进行化简并完成证明；
（2）根据正弦定理将表示为关于的三角函数形式，然后分析的范围，由此可求的取值范围，则周长的取值范围可知.
【详解】（1）由条件可知：，所以，
因为，所以，所以，
因为
，
所以，
由正弦定理可知：.
（2）因为且，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以周长的取值范围是.
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