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重难点5-2 数列前n项和的求法
数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差等比数列考查错位相减法求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问.近几年在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算（错位相减、裂项相消）的考查，主要基于新的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和.
【题型1 公式法求数列前n项和】
满分技巧（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④
【例1】（2023·广东珠海·统考模拟预测）
1．已知为等比数列，且，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式1-1】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）
2．设正项等比数列且的等差中项为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求.
【变式1-2】（2023·山西·校考模拟预测）
3．已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求的最小值.
【变式1-3】（2023·四川德阳·统考一模）
4．已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的最大项.
【变式1-4】（2023·山西临汾·校考模拟预测）
5．在数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设为的前n项和，求使得成立的最小正整数n的值．
【题型2 分组法求数列前n项和】
满分技巧（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
【例2】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）
6．已知数列的前n项和为，，（）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.
【变式2-1】（2023·江苏无锡·高三校联考阶段练习）
7．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式2-2】（2023·江西贵溪·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）
8．已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和．
【变式2-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）
9．设数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【变式2-4】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）
10．已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【题型3 并项法求数列前n项和】
满分技巧一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解． 例如，．
【例3】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）
11．若数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为 .
【变式3-1】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）
12．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
【变式3-2】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）
13．记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前23项的和.
【变式3-3】（2023·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）
14．已知数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【变式3-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）
15．已知数列满足，，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前n项的和．
【题型4 逆序相加法求数列前n项和】
满分技巧如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
【例4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）
16．已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【变式4-1】（2023·山东潍坊·高三安丘市第一中学校考阶段练习）
17．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（ ）
A． B．2017 C．4034 D．8068
【变式4-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）
18．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论 代数学 非欧几何 复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）
19．已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【变式4-4】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）
20．已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【题型5 错位相减法求数列前n项和】
满分技巧1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② ①②得：． 整理得：．
【例5】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）
21．已知数列满足，，且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式5-1】（2023·青海·校联考模拟预测）
22．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式5-2】（2023·山东泰安·高三统考期中）
23．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求；
(2)记，求数列的前n项和.
【变式5-3】（2023·海南·校联考模拟预测）
24．已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
【变式5-4】（2023·江苏南京·高三期末）
25．已知数列满足，且对任意都有.
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【题型6 裂项相消法求数列前n项和】
满分技巧1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
【例6】（2023·四川南充·统考一模）
26．已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前2023项和．
【变式6-1】（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）
27．已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和，证明：．
【变式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）
28．已知数列前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【变式6-3】（2023·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）
29．已知正项数列的前项和为，，且当时．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小，并加以证明.
【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）
30．设为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：．
【题型7 含绝对值数列的前n项和】
【例7】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）
31．已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【变式7-1】（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）
32．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【变式7-2】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）
33．已知是正项等比数列.，且，
(1)求的通项公式；
(2)当为递增数列，设，求数列的前项和.
【变式7-3】（2023·陕西西安·高三统考阶段练习）
34．已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）
35．在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【题型8 数列求和与不等式综合】
满分技巧常见的角度主要包括两个方面： 一、不等式恒成立小件下，求参数的取值范围； 二、不等式的证明，常见方法有不比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等.
【例8】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）
36．已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【变式8-1】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）
37．已知数列前项和为，且对任意的正整数与的等差中项为.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）
38．已知数列满足，且，数列满足，且（表示不超过的最达整数），．
(1)求；
(2)令，记数列的前项和为，求证：．
【变式8-3】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）
39．已知数列满足．
(1)若为等差数列，求的通项公式；
(2)记的前项和为，不等式对恒成立，求的取值范围．
【变式8-4】（2023·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）
40．已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
（建议用时：60分钟）
（2023·全国·高三专题练习）
41．已知数列的通项公式为，为数列的前n项和，（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）
42．已知函数，在正项等比数列中，，则（ ）
A．1011 B．1012 C．2023 D．2024
（2023·天津·高三南开中学校考阶段练习）
43．在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
（2023·天津·高三统考期中）
44．设等差数列的前项和为，数列的前和为，已知，，，若，则正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广西·模拟预测）
45．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）
46．数列满足，，，设.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）
47．设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
（2023·天津·高三静海一中校考阶段练习）
48．已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列和的通项公式.
(2)记，求数列的前项和.
(3)记，求.
（2023·福建宁德·校考二模）
49．已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
（2023·湖南邵阳·统考二模）
50．已知为数列的前项和，，，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）翻译基本量，求解等比数列通项公式即可.
（2）构造等差数列，利用公式法求和即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则依题意有：
，即，
解得或（舍去）所以，
（2），
，且，
是首项为3，公差为2的等差数列，
2．(1)；
(2).
【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，解得，则，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，显然数列是等差数列，
因此，，
所以.
3．(1)
(2)10
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后利用公式构建基本量的方程求解即可.
（2）先将等差数列的通项代入,得到数列的通项,再求和,解不等式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则解得，
故.
（2）由（1）可得，则，
所以,则数列是是等差数列，
故.
因为，所以，所以，
所以或.
因为，所以的最小值是10.
4．(1)
(2)
【分析】（1）设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而求出通项公式；
（2）根据等比数列求和公式得到，换元后，利用函数单调性求出最大值.
【详解】（1）由题意得，
设公比为，若，此时，此时不满足；
若，则，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），
故；
（2），故，
所以，
令，
由对勾函数可知在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
故. 数列的最大项为
5．(1)
(2)13
【分析】（1）根据等比数列的性质即可根据奇偶数项求解，
（2）根据等比数列求解公式，结合数列的单调性即可求解.
【详解】（1）由可得，
所以，所以的奇数项以及偶数项均为公比为3的等比数列，
由得，
由，则，
因此的奇数项以1为首项，3为公比的等比数列，偶数项以3为首项，公比为3的等比数列，
故，
（2），
此时
若，则，故，
由于为单调递增数列，且，
所以此时满足的最小的为，
当为奇数时，此时，
由，则，故，
由于为单调递增数列，且，
所以此时满足的最小的为13，
综上可得使得成立的最小正整数n为13
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据数列递推式求出，判断是以为首项，为公比的等比数列，即可求得答案；
（2）求出的表达式，可得的表达式，利用分组求和法，结合等差等比数列的前n项和公式，即可得答案.
【详解】（1）由题意可得（），两式作差，得（），
则（），
当时，，即，将代入，
解得，则，适合（），
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1得），.
故
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由关系消得递推关系，再构造等差数列求通项；
（2）由等差与等比数列特点分组求和.
【详解】（1）由①
当时，，所以
当时，②
①②式相减得，即
两边同除以得，，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则
（2），可知数列是以为首项，为公差的等差数列，
可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
8．(1)，
(2)
【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求数列的前10项和.
【详解】（1）当时，，，，
等比数列的公比为，则有，
由，可得．
当时，．
经检验，当时，满足上式，
所以．
（2），
设的前10项和为，
．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据求得.
（2）根据分组求和法求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，
当时，，
当时，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，也符合.
所以.
（2）由（1）得，所以
.
10．(1)
(2)
【分析】（1）应用与的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）因为，
时，,
两式相减得，
，，，，
相乘得，所以，
当时符合上式，
所以；
（2），
当为奇数时，
.
11．100
【分析】根据通项公式可知相邻奇数项与偶数项两项之和为常数，分组求和即可.
【详解】因为，所以，，，，
所以该数列的前100项之和为.
故答案为：100
12．(1)
(2)
【分析】(1)由递推关系求解数列的通项即可；
(2)利用分组求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
当时，，
则，
当时，不成立，所以.
（2）由（1）可得，
所以
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出和d，可得通项公式；
（2）先求出，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.
【详解】（1）设等差数列公差为d，则，
解得，，
所以.
（2）由（1）可得：，则，
可得
，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式，即可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出的表达式，当时，计算出，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合并项求和法可得出的表达式.
【详解】（1）解：由已知可得，
则，
上述等式累加可得，
所以，，故当时，，
也满足，故对任意的，.
（2）解：因为，故数列为等差数列，
则，所以，，
对任意的，则，
当为偶数时，设，则，
则；
当为奇数时，设，则，
则，
综上所述，.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知等式变形得，利用等比数列的定义证明即可；
（2）对项数分奇偶讨论，由裂项相消法求和可得.
【详解】（1），且，，
，且，
，
故数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
则有，，，
各式相加得，
又，则.
，
则当为奇数时，
；
当为偶数时，
；
综上所述，.
16．A
【分析】由等比数列的性质可得，再由题意可得出，由倒序相加法可求出答案.
【详解】因为为正项等比数列，且，
所以，
由可得，
所以，
所以设，
则，
所以两式相加可得：，故，
故选：A.
17．C
【分析】根据函数的对称性，等比数列的性质，结合倒序相加法计算即可.
【详解】用倒序相加法：令①
则也有②
由，
，即有，
可得：，
于是由①②两式相加得，所以．
故选：C
18．D
【分析】分离常数后可得，再利用倒序相加法，即可求解．
【详解】当时，，
，
，
，
，
，即.
故选：D．
19．##
【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．
【详解】∵①，
∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，
∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，
设
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解；
（2）利用倒序相加法求和即可.
【详解】（1）当时，；
当时，①，
②，
①－②得：，
∴，当时，，
∴.
（2）∵，
∴
∴①，
②，
又∵∴①＋②得：
∴.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由数列是等差数列，结合等差数列性质计算即可得；
（2）利用错位相减法求和即可得.
【详解】（1）是等差数列，记其公差为，
则有，
，
；
（2），
则，
则
，
.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用数列的前项和，即可求数列的通项公式；
（2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和.
【详解】（1）当时，，
由已知，，①
当，，②
①②，得，
得，
当时，，成立，
综上可知，；
（2）由（1）可知，，
则，
，
，
两式相减得，
即，
所以
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系可得是等差数列，即可求解，进而可得，
（2）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1），
，又
.
数列是公差为2，首项为的等差数列.
,即.
当时，，
故.
（2）时，
时，.
设的前n项和为，则
，
.
.
（）
当时，也符合，
所以
24．(1)
(2)
【分析】（1）将原式化简后两边同除可得等差关系，利用数列的通项解出；
（2）由（1）结果，利用求出，进而求出，再用错位相减法求解；
【详解】（1）依题意，
故，
故是以2为公差的等差数列.
而，
又，解得，
故的首项为3，
则，
则.
（2）由（1）可知，当时，；
当时，
也满足该式，故，
故，
则，
两式相减得，，
故
25．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以替换得，，得到，从而证明是公差为的等差数列；
（2）令得，，可得，推出，再由（1），得到，再分和求解前项和.
【详解】（1）因为对任意都有，
所以以替换得，，
则，
由,
，所以是公差为的等差数列；
（2）令得，，即，
则，
所以由（1）得，是以为首项，公差为的等差数列，
所以，即.
由，
令可得，，
则，
由得，.
当时，；
当时，①，
则②，
得，，
所以，
综上，.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件得到，由是首项为2的等比数列且，求出的值，进而求出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项，
，即，
，，
，解得或（舍），
；
（2），
，
的前2023项和.
27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件得到时的递推关系式，两式作差得到新的递推关系式，将其化简可完成证明；
（2）代入的通项公式于，将的通项公式裂项，然后采用裂项相消法进行求和并根据结果完成证明.
【详解】（1）因为是的等差中项，所以，
所以，
两式相减可得：，
所以，
又，所以，，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
28．(1)，；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用求通项公式；
（2）求出，利用裂项相消法求和后可证得不等式成立．
【详解】（1）由已知，
时，，
此时也适合上式,
所以，；
（2）由（1），，
所以，
29．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由时，，及条件可得，再由累加法可求出，再由求出.
（2）由的通项公式可知，利用错位相减法求出，再由不等式的性质比较与的大小.
【详解】（1）因为时，
数列为正项数列，所以．
由累加法得，
又，所以，即，
故当时，，
因此．
（2）．证明如下：
由题意及（1）可得，
故，
．
两式相减，得，
得．由于，故，所以．
30．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用推导求解即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）当时，，当时，，
两式相减得，则，
当时，，
又当时，，当时，，则，
显然符合，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
31．(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）分和利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由，则，
两式相减得：，
整理得：，
即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
记，设数列的前项和．
当时，；
当时，
综上：
32．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，
（2）分类讨论，即可根据等差数列求和公式求解.
【详解】（1）设的公差为，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），
，
所以经检验满足题意.
（2）依题意得，，，
其前项和，
当时，，，
故，
当时，，
故
所以.
33．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意建立方程组，求出，写出通项公式即可；
（2）表示出数列，在求数列的前n项和时，进行分类讨论即可.
【详解】（1）设正项等比数列的公比，
因为，且，，
则，解得或，
所以的通项公式为：或.
（2）因为为递增数列，则，
结合题意: ，得到，
所以 ，
当时，，
;
当时，，
，
综上所述：.
34．(1)；
(2).
【分析】（1）利用关系，构造数列及等比数列定义写出的通项公式；
（2）由（1）得，讨论、求前n项和．
【详解】（1）当，则；
当，则，
所以，而，则是首项、公比为2的等比数列，
所以，且也满足，
综上，.
（2）由（1）得，
当时，，
当时，
.
所以.
35．(1)
(2)
【分析】（1）由题知数列是首项为，公比为的等比数列，进而得；
（2）由题知为单调递减数列，再根据，，分和两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：因为在数列中，，，
所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）解：因为，即
所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，即，
综上，
36．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用整理化简可得，再结合得到数列为等差数列，即可求出数列的通项公式，将数列的通项公式代入，计算即可得结论；
（2）利用数列的通项公式即可得数列的通项公式；
（3）先利用错位相减法求出，再将恒成立转化为，构造，计算的正负确定其单调性，进而可得最值.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，
所以，
整理得，①
所以，②
由①-②得，所以数列为等差数列，
因为，所以数列的公差为，
所以.
设，
则，
因为（常数），
所以数列是等差数列；
（2）设数列的公比为，
结合（1）及已知得，
解得，所以；
（3）由（1）（2）得，，
所以，①
又②
①-②，得，
所以，
由，解得.
设，则，
故，
因为，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则，即的取值范围为.
37．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与之间的关系，利用构造法结合等比数列分析求解；
（2）根据题意分析可得，，进而求和分析证明.
【详解】（1）由题意可得：，
时，，可得；
时，，，
两式相减得：，即.
可得，且，
可知是以为首项，2为公比的等比数列.
所以，即.
（2）因为，
所以；
又因为
，
所以，
综上所述：.
38．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）先推导可得，再累加可得，再判断当时，即可得；
（2）推导可得是以为首项，为公比的等比数列，代入通项公式可得，再根据，累加求和证明即可.
【详解】（1），
，，
．又是递增数列，
，当时，．
．
（2），
，则有，
是以为首项，为公比的等比数列，
．
，
，
原不等式得证．
39．(1)
(2)
【分析】（1）由题意结合等差数列基本量的计算即可求解.
（2）由分组求和法将的表达式求出来，分是奇数，偶数两种情形讨论，结合表达式恒成立的理论即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减得．
因为为等差数列，所以的公差．
又，所以，解得，
则，即的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以不等式可化为，
当为奇数时，，则，即，
当为偶数时，，则．
综上，的取值范围为．
40．(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以

.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
41．D
【分析】根据给定条件，化简数列的通项公式，再利用并项求和作答.
【详解】依题意，当n为奇数时，，当n为偶数时，，
于是，因此，
所以.
故选：D
42．C
【分析】由等比数列的性质可得，求得，进而可得答案.
【详解】由题意知，
由等比数列性质可得，
所以，
，
故选：C.
43．B
【分析】根据等差数列的通项公式，由，求得，再由，，成等比数列，求得，得到，结合并项求和，即可求解.
【详解】在公差大于0的等差数列中，由，得，解得，
由，，成等比数列，得，
即为，而，解得，
因此数列的通项公式，
所以数列的前21项和为：
.
故选：B
44．B
【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到，进而得到，裂项求和得到，得到方程，求出.
【详解】设的公差为，
则，解得，
故，
故，
则，
因为，所以，
解得.
故选：B
45．(1)，．
(2).
【分析】（1）应用等差、等比通项公式及已知列方程求基本量，进而写出，的通项公式；
（2）由（1）得，再由错位相减法、等比数列前n项和公式求．
【详解】（1）由已知得①，
②，
联立①②，得，解得或，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得，
所以，．
（2）由题意及（1）及，故，
∴，
，
两式相减得
．
∴.
46．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）证明：依题意，由，可得，
则，
∵，
∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
则，
.
47．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义判断即得.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）数列中，，则，
两式相减得，即，因此，
又当时，，得 即，
所以数列是首项为5公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，即，
则有，又，
因此是常数数列，即，则，
从而
所以.
48．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据与的关系得到，再根据等比数列的性质即可得到；
（2）利用裂项相消法即可得结果；
（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，
所以，
即是以首先，公比为的等比数列，即.
因为，成等比数列，
所以，即，解得.
所以.
（2）由（1）得
，
则
（3），
因为，
设，前项和为，
则，
，
.
所以
49．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解，
（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
且，，，，．
（2）由（1）可知其中．
故的前15项和为
．
50．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）借助构造等比数列算出，即可求出；
（2）将裂项后求和，再分奇偶讨论即可得证.
【详解】（1）由，得，，
则，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
.
（2），
，
，
当为奇数时，，
当为偶数时，，由，可知是递增数列，
，
综上，.
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