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热点2-4 导数的切线问题
导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【题型1 “在”点P处的切线问题】
满分技巧求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式.
（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）
1．曲线在处的切线方程为 .
（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）
2．已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
（2023·四川雅安·统考一模）
3．若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）
4．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
【题型2 “过”点P处的切线问题】
满分技巧求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
（2023·全国·模拟预测）
5．过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）
6．已知函数，且为曲线的一条切线，则 ．
（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）
7．已知，直线与曲线相切，则 ．
（2023·陕西·校联考模拟预测）
8．函数的图象与直线相切，则以下错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【题型3 切线的平行、垂直问题】
满分技巧结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题.
（2023·广东茂名·统考二模）
9．已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 .
（2023·青海·校联考模拟预测）
10．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）
11．若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
12．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程.
【题型4 切线的条数问题】
满分技巧已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
（2023·湖南·校联考二模）
13．若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．或
（2023·全国·模拟预测）
14．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·模拟预测）
15．若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 .
（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）
16．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 两条曲线的公切线问题】
满分技巧已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）
17．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）
18．若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
（2023·辽宁营口·高三校考阶段练习）
19．已知直线与是曲线的两条切线，则 ．
（2023·江西·高三校联考阶段练习）
20．若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为 .
【题型6 与切线有关的距离最值】
满分技巧利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线.
（2023·广西玉林·校联考模拟预测）
21．已知点P是曲线上的一点，则点P到直线的最小距离为 ．
（2023·江西宜春·高三校考开学考试）
22．已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是
（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）
23．已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
（2023·全国·高三专题练习）
24．已知，，记，则的最小值为 ．
（建议用时：60分钟）
（2023·云南红河·统考一模）
25．已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
（2023·重庆·高三统考阶段练习）
26．设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）
27．已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）
28．已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川凉山·统考一模）
29．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）
30．已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）
31．若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川绵阳·统考模拟预测）
32．若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东·校联考二模）
33．已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为
C．的方程为 D．的方程为
（2023·全国·模拟预测）
34．若的图象在处的切线分别为，且，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．在轴上的截距之差为2
D．在轴上的截距之积可能为
（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）
35．曲线在点处的切线方程为 ．
（2023·全国·模拟预测）
36．函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数 ．
（2023·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）
37．设函数的图象在点处的切线为，则的斜率的最小值为 ，此时 .
（2023·全国·模拟预测）
38．试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）
39．已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，与有公切线，求实数的取值范围.
（2023·河南南阳·高三统考期中）
40．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再由直线的点斜式方程可得结果.
【详解】因为，所以.
又，
故曲线在处的切线方程为，
即
故答案为：
2．
【分析】先求出导函数，然后求出斜率，进而可得切线方程.
【详解】，所以，又，
故所求切线方程为，即.
故答案为：.
3．C
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解.
【详解】函数中，，即，设点，
求导得
，由，得，即，
因此函数的图象在点处的切线斜率，显然直线的倾斜角为钝角，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C
4．##
【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得的切点，从而得解.
【详解】因为的导数为，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
5．A
【分析】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线.
【详解】由，得为偶函数，
故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．
当时，，则，
设切点为，故，解得或（舍），
所以切线斜率为1，从而切线方程为．
由对称性知：另一条切线方程为．
故选：A
6．2
【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合已知切线求出a值.
【详解】设与曲线相切的切点，
由求导得，切线斜率为，
因此切线方程为，
依题意，，且，联立消去得，
令函数，，求导得，
当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，
当时，，则时，，
所以.
故答案为：2
7．2
【分析】根据切点处导数为切线的斜率列方程，求出切点，然后代入到切线方程里，得到答案.
【详解】直线与曲线相切，
所以，所以切点为，
切点在直线上，可得，
故答案为：2.
8．C
【分析】根据切点和斜率列方程，从而判断出正确答案.
【详解】设与直线相切于点，
，则①，
所以切点为，而斜率为，
所以切线方程为，
则②.
由①②得，，C选项错误，D选项正确.
所以当时，，A选项正确.
当时，，B选项正确.
故选：C
9．
【分析】求导，根据列方程可得.
【详解】，
由题意可知，，即，解得.
故答案为：
10．A
【分析】先求解出，然后根据垂直关系列出关于的方程，由此可求的值.
【详解】因为，所以，
又因为切线与垂直，
所以，所以，
故选：A.
11．C
【分析】由在有解求解.
【详解】解：由题意，在有解，
则在有解，
因为在上单调增，
所以，
则，
故选：C．
12．
【分析】求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程.
【详解】∵，∴.
由已知，
∴得.
所以，所以，
∴曲线在点处的切线方程为
化简得：.
故所求切线方程为：.
13．D
【分析】设出切点，利用导数的几何意义写出切线，由切线经过可得出一个方程，根据题意切线只有一条，也就是转化成关于的方程只有一个解的问题.
【详解】设切点．因为，所以，
所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；
当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，
则，即．
综上，或．
故选：D
14．D
【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
15．
【分析】设过坐标原点的直线与曲线相切于点，根据导数列出切线方程，根据“曲线有3条过坐标原点的切线”等价于“函数有3个不同的零点”即可求解.
【详解】由题意得，
设过坐标原点的直线与曲线相切于点，
则，
且切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，因此，
整理得，
设，
则“曲线有3条过坐标原点的切线”等价于“函数有3个不同的零点”，
，当x变化时，与的变化情况如下表：
x 0 1
＋ 0 － 0 ＋
当时，，当时，，
所以，解得.
16．C
【分析】先得到在处的切线方程为，点一定不在上，一定为过的一条切线，再设切点坐标为，，得到切线方程，将代入，化简得到，，构造函数，求导，得到其单调性，从而得到除外，过点作的切线还有一条，得到答案.
【详解】，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，故在R上单调递增，
又，，故在处的切线方程为，
点在上，
故上只有点满足，
又因为，所以，故点一定不在上，
且一定为过的一条切线，
设切点为，，则切线的斜率为，
故切线方程为，
因为在切线上，故，
整理得，
由可知，恒成立，
故，，
令，，
则
，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，当时，，当时，，
又时，，时，，
故恒成立，在上单调递增，
故，只有1个根，
即除外，过点作的切线还有一条，共2条.
故选：C
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 己知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
17．A
【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.
18．
【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，则，，
当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意；
当时，，即，
故，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，故，
综合得实数t的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题.
19．
【分析】根据题意，两条切线必过原点，进而利用切线方程的公式，分别计算出，可得答案.
【详解】由已知得，曲线的切线过，且，曲线为，
设，直线在曲线上的切点为，
，切线：，
又切线过，，
∴，，
同理取，曲线为，
设，直线在曲线上的切点为，
，切线：，
又切线过，，，
∴，
故答案为：.
20．
【分析】根据两函数在公共点处的切线方程相同得及，令函数求其最小值即可.
【详解】，.
设曲线与的公共点为，两者在公共点处的切线方程相同，
因此，即，解得或.
因为，，所以舍去.
又，即.
令函数，则.
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，解得.
则的最小值为.
故答案为：
21．
【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解.
【详解】由题意可知：，
设与相切与点Q，
则，令，得，则切点，
代入，得，即直线方程为，
所以与直线间的距离为，
即为到直线的最小距离，
故答案为：.
22．
【分析】求出与平行的切线为，从而得到与的距离即为的最小值，得到答案.
【详解】，设在点处的切线与平行，即斜率为-2，
所以，解得，
则在点处的切线方程为，即
则与的距离即为的最小值，
即，故的最小值为.
故答案为：
23．
【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.
【详解】
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得：；
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得；
由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..
故答案为：.
24．##
【分析】设，，．由题意知，的最小值可转化为曲线上的点到直线上的点的距离的平方的最小值，求解即可.
【详解】设，，．
由题意知，的最小值可转化为曲线上的点到
直线上的点的距离的平方的最小值．
易知，曲线与直线没有交点，则
当曲线在点A处的切线平行于B所在的直线，
且AB连线与直线垂直时，两点间距离最小．
由，得，直线的斜率，
令，解得，则，
所以点A到直线的距离，
故M的最小值为．
故答案为：.
25．A
【分析】由列方程来求得.
【详解】由题知，，所以.
故选：A
26．B
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合切线倾斜角范围建立不等式，再求解不等式即得.
【详解】令，求导得，则切线的斜率为，
由的倾斜角小于，得切线的斜率或，
即或，
解得，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：B
27．B
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可知：，
设切点为，则切线方程为，
因为切线过原点，所以，
解得，则.
故选：B
28．B
【分析】利用导数的几何意义求出在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围.
【详解】根据题意可知的定义域为，所以，
易得，
由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为,
同理可得，点处切线斜率为；
又因为两条切线与直线平行，可得，即
所以是关于方程的两根，
所以，即，又
可得；
所以，由可得
即，所以的取值范围是.
故选：B
29．D
【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.
【详解】由，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且
若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以，此时易知单调递增，
要满足题意则需.
故选：D
30．B
【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，结合垂直关系运算求解即可.
【详解】因为，可得，
即曲线在处的切线斜率为，
且直线的斜率为，
由题意可得：，解得.
故选：B.
31．D
【分析】利用导数的几何意义求得切点处的切线方程，根据经过，得到关于的函数关系，然后利用导数研究单调性，结合最值和极限，可以得到的取值范围.
【详解】设一个切点为，
则由，可得该点处的切线方程，
当经过点时，有，即，
则过点切线的条数即为方程的解的个数.
设，则，
当或时，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，
又由，，可得时，有三个解，
故选：D.
32．B
【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.
【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，
求导得，依题意，，于是，
令函数，显然函数在上单调递增，且，
则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，
所以.
故选：B
33．BCD
【分析】对函数求导，表示出在点的切线斜率即可.
【详解】因为，所以的斜率的最小值为.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为，即.
故选：BCD.
34．AC
【分析】根据及导数的几何意义得，再借助基本不等式即可判断A，B；写出的方程，得到在轴上的截距分别为，由此判断C，D．
【详解】对于A，B：由题意可得，当时，，当时，，
所以的斜率分别为，
因为，所以，得，
因为，所以，
故A正确，B错误．
对于C，D：的方程为，即，
令，得，所以在轴上的截距为，
的方程为，可得在轴上的截距为，
所以在轴上的截距之差为，
在轴上的截距之积为，故C正确，D错误．
故选：AC
35．
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】令，
则，
有，，
故切线方程为，化简得.
故答案为：.
36．0
【分析】根据导数得几何意义，先求导，所以在点处的切线斜率为，再根据直线的垂直关系，即可得解.
【详解】由题可得，，
所以在点处的切线斜率为，
又切线与直线垂直，
所以，解得．
故答案为：
37． －8 ##
【分析】先求出函数的导函数；再利用基本不等式求出最小值；最后根据导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的斜率的最小值为－8，此时.
故答案为：－8；.
38．或（写出一个即可）
【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.
【详解】设公切线与曲线切于点，
与曲线切于点.
由，得.由，得.
令，即，则，
且，
即，
化为，
所以，解得或.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可.
故答案为：或，写出任意一个即可.
39．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）设公切线与和的切点分别为，根据导数的几何意义求得切线方程，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与极值，得出函数的值域，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，
当时，可得时，，单调递减，
时，，单调递增；
当时，可得时，，单调递增，
时，，单调递减.
（2）解：设公切线与和的切点分别为，
可得，可得切线方程为，
即，即
由，可得，则，所以切线方程为
所以，可得，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为，
又由当时，；当时，，
所以，所以时，即实数的取值范围为.
【点睛】方法策略：利用导数研究参数问题的求解策略：
1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；
2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值（值域），进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；
3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.
40．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)三条
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设出切点，将切线方程表示为含有参数的直线方程，根据切线过点可得关于参数的方程，判断方程根的个数即可求解.
【详解】（1）因为，
所以.
令，得；令，得.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），则，
设切点为，
则，，
所以切线方程为.
将点代入得，
整理得.
因为方程有两个不相等正根，
所以方程共有三个不相等正根.
故过点可以作出三条直线与曲线相切.
答案第1页，共2页
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