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热点2-3 函数的图象及零点问题
函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等.函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大.
【题型1 函数图象画法与图象变换】
满分技巧作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 4、如何制定图象变换的策略 （1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换； ②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换． 例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤． ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换． （2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则： ①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求； ②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化．
（2023·河南南阳·高三校考阶段练习）
1．作出下列函数的标准图象：
(1)；
(2)．
（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）
2．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
（2023·河南·开封高中校考模拟预测）
3．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三对口高考）
4．已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：

(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【题型2 由复杂函数解析式选择函数图象】
满分技巧图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.
（2023·四川乐山·统考一模）
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）
6．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·海南·校联考模拟预测）
7．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·模拟预测）
8．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 根据函数图象选择解析式】
满分技巧（1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。
（2023·天津武清·高三英华国际学校校考阶段练习）
9．已知函数的部分图象如图所示，则可能是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东日照·高三五莲县第一中学校考期中）
10．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）

A． B．
C． D．
（2023·全国·模拟预测）
11．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·天津·高三校联考期中）
12．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示．则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 根据实际问题作函数图象】
满分技巧根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）； （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）。
（2023·海南·嘉积中学校考三模）
13．小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
（2022·山西忻州·高三忻州一中统考阶段练习）
14．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高三对口高考）
15．如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（ ）

A． B．
C． D．
（2022·北京大兴·高三统考期中）
16．如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 函数零点所在区间问题】
满分技巧确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断。
（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）
17．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
18．必存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）
19．若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）
20．函数与的图象交点为．若，，则 ．
【题型6 确定函数的零点个数】
满分技巧零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
（2022·安徽·高三安庆一中校联考阶段练习）
21．已知函数则方程的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·陕西·校联考模拟预测）
22．用表示中较小的数，，则的解的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（2023·山东·五莲县第一中学校联考模拟预测）
23．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
（2023·江西宜春·高三铜鼓中学校考阶段练习）
24．已知函数，若关于x的方程的实根个数可能有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023·贵州遵义·高三统考阶段练习）
25．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 根据零点个数求参数范围】
满分技巧已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
（2023·贵州遵义·高三统考阶段练习）
26．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川成都·校联考一模）
27．已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）
28．已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）
29．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
【题型8 函数零点的大小与范围】
满分技巧通过数形结合的思想转化为函数图象问题，常结合函数的对称性考查。
（2023·重庆·高三南开中学校考期中）
30．已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三统考阶段练习）
31．已知，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）
32．设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ．
（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）
33．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ．
（2023·北京丰台·统考二模）
34．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
（2023·天津北辰·高三校考阶段练习）
35．函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山西临汾·高三临汾市第三中学校校联考期中）
36．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建泉州·高三校考期中）
37．同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）
38．函数的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2023·山东济宁·高三统考期中）
39．已知函数，则函数的零点个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）
40．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·江西抚州·高三临川一中校考期中）
41．若函数在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东深圳·高三校考期末）
42．已知函数，若存在实数，，，满足，则正确的有（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）
43．已知函数，若关于的方程有6个不相等的实根，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
（2024·广东肇庆·校考模拟预测）
44．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 .
（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）
45．已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ．
（2023·全国·高三对口高考）
46．利用函数的图象，作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）
47．已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若函数恰有两个零点，求的取值范围.
（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）
48．已知函数（其中）为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)讨论函数的零点情况.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)图象见解析
(2)图象见解析
【分析】（1）化简可得，根据函数图象的平移规律即可得其图象；
（2）化简为，结合二次函数图象可作出其图象.
【详解】（1）由题意得，其图象可由的图象先向右平移1个单位，
再向上平移2个单位得到，即：

（2）由题意得，
分段作出二次函数图象，则图象为：
2．D
【分析】根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.
【详解】由向右平移个单位，则.
故选：D
3．A
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.
【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，
当时，，，故A正确，C错误.
故选：A.
4．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
【分析】（1）根据左右平移可得图象；
（2）根据上下平移可得图象；
（3）根据对称变换可得图象；
（4）根据对称变换可得图象；
（5）根据翻折变换可得图象；
（6）根据翻折变换可得图象.
【详解】（1）将函数的图象向左平移一个单位可得函数的图象，函数的图象如图：

（2）将函数的图象向上平移一个单位可得函数的图象，函数图象如图：

（3）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数图象如图：

（4）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数的图象如图：

（5）将函数的图象在轴上方图象保留，下方的图象沿轴翻折到轴上方可得函数的图象，函数的图象如图：

（6）将函数的图象在轴左边的图象去掉，在轴右边的图象保留，并将右边图象沿轴翻折到轴左边得函数的图象，其图象如图：

5．D
【分析】根据题意，利用函数的为奇函数，及，时，，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A项，
又由，排除B项，
当时，，排除C项，所以选项D符合题意.
故选：D.
6．A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.
【详解】函数的定义域为，
又，
因此函数为奇函数，函数图象关于原点对称，BD错误；
当时，，，则，
因此，C错误，A符合题意.
故选：A
7．A
【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为，故C错误；
又因为，
故函数的图象关于对称，故B错误；
当趋近时，趋近，趋近，所以趋近正无穷，故D错误.
故选：A.
8．D
【分析】根据题意，先判断函数的单调性，再确定的符号，进而利用排除法得到正确答案.
【详解】因为对都有
，所以为奇函数，即函数图象关于原点对称，故排除A，C；
由于，所以排除B.
故选：D．
9．A
【分析】借助排除法结合函数值符号，将不符合题意的排除即可得.
【详解】由图可知，该函数定义域包括，对B、C选项中，，故排除B、C；
当时，易得、，故，与图象矛盾，故排除D.
故选：A.
10．B
【分析】通过图像，知当时，及函数图像关于轴对称，再逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】由图知，当时，，选项C，当时，，所以选项C错误；
又由图知，函数图像关于轴对称，对于选项A，，，，所以选项A不正确；
对于选项B，，所以，所以选项B满足题意；
选项D，，，，所以选项D不正确.
故选：B.
11．B
【分析】根据题意，得到函数是奇函数，排除A，D，再由的值，可判定B正确，C不正确，即可求解.
【详解】从图象可知函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数，
因为，，是偶函数，是奇函数，所以，都是偶函数，可排除A，D．
又由，，
结合题图，可知选B正确，C不正确．
故选：B.
12．C
【分析】由图可知，函数是上的奇函数，且，利用排除法求解.
【详解】由图可知，函数是上的奇函数，且，
若，则，不合题意，故A错误；
若，由得，不合题意，故B错误；
若，则，不合题意，故D错误；
故排除ABD，得C正确.
故选：C.
13．D
【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，
从点到点的过程中，的值先减后增，
从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
14．C
【分析】根据瓷器的形状：中间粗，上下细来分析水的增高速度.
【详解】由图可知该青花瓷上 下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.
故选：C
15．A
【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断.
【详解】当点在上时：；
当点在上时：
；
当点在上时：，
所以，
由函数解析式可知，有三段线段，又当点在上时是减函数，故符合题意的为A.
故选：A
16．C
【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.
【详解】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
17．C
【分析】根据函数的零点存在定理进行判断即可.
【详解】函数，可判断函数为单调递增函数，
所以
因为，所以，，
所以
可得，即函数的零点所在的区间是.
故选：C
18．C
【分析】分析可知的零点即为与的交点横坐标，结合图象分析判断.
【详解】令，可得，
可知的零点即为与的交点横坐标，
在同一坐标系内作出与的图象，
又，
可知与在内有交点，在，和内无交点，
所以在内必存在零点，其它区间无零点.
故选：C.
19．A
【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
20．3
【分析】根据给定条件，构造函数并判断单调性，再利用零点存在性定理求解作答.
【详解】令函数，显然函数在R上单调递增，
由函数与的图象交点为，得函数的零点为，
而，因此存在唯一，使得，
所以.
故答案为：3
21．C
【分析】函数零点的个数即函数与函数的交点个数，结合图像分析．
【详解】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的交点个数．
作出函数与函数的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．
故选：C．
22．D
【分析】画出的图象，先由求得，然后由判断出正确答案.
【详解】由解得，设，
画出的图象如下图所示，
由解得；
由解得或；
令，则或或或；
由图象可知，有个解，分别有个解，
没有解，且上述个解互不相同，
所以的解的个数为个.
故选：D
23．D
【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果.
【详解】因为，令，得到，
所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以函数的周期为，
令，则，又当时，，
所以，得到，
故，又，所以在上的图像如图，
又当时，由，得到，当，由，得到，即，
又，所以，
，，
又由，得到，即，
所以，
再结合图像知，在上的零点个数为21个，
故选：D.
24．ABC
【分析】利用导数研究函数的单调性并画出图象，设，先解方程再数形结合根据图象得出根的情况.
【详解】设，关于的方程，
即，两根，.
函数
当时，（时取等号），，
当时，，即在上为增函数，
当时，，即在上为减函数，
在处取得极大值.
当时，，，即在上为减函数，
作出函数的图象如图所示：
当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程有1个解，
当时，方程有0个解，
所以当，即时，关于x的方程的实根有1个；
当，即时，关于x的方程的实根有2个；
当，即时，关于x的方程的实根有3个.
故选：ABC.
25．D
【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，
解得.
故选：D
26．D
【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，
解得.
故选：D
27．B
【分析】时，，利用导数求函数单调区间，可证得此时有2个实数解，则时，，在定义区间内有1个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数的取值范围.
【详解】时，，，
解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，，，
所以方程在和上各有1个实数解，
时，，函数在上单调递减，
依题意，在上有1个实数解，
则，解得.
实数的取值范围为.
故选：B
28．D
【分析】根据题意，将函数的零点问题转化为函数图像交点问题，分，以及讨论，结合图像，即可得到结果.
【详解】
令，所以要使恰有3个零点，
只需方程恰有3个实根即可，
即与的图像有3个不同交点．
当时，此时，如图1，与有1个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有3个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以．
综上，的取值范围为．
故选：D
29．
【分析】问题转化为方程和共有四个不同的实数解，作出函数的图象，由图象判断实数的取值范围．
【详解】方程等价于，
由一次函数和对勾函数的性质，作函数的图象如图，
由图象可知，方程只有一个实数根，则有三个不同的实数解，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
30．D
【分析】画出函数，，的图象，判断函数值相等时实数a、b、c的大小关系.
【详解】令，画出，，，图象可知：

当在①位置时，；
当在②位置时，；
当在③位置时，；
不可能成立.
故选：D
31．A
【分析】将已知条件转化为：，分别作出函数和的图象，利用函数图象即可求解.
【详解】由题意知：，可得：
，
分别作出函数和的图象，如图所示：
结合图象，可得，
故选：A.
32．
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案.
【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，
显然关于对称，故，
另一个交点位于一次函数图象上，令 2x+6= 1 ，解得 x=72 ，
显然它在和以及的交点和之间，
故，
所以，
故答案为： ．
33．
【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，变换，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】画出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的解，，，，且，
由时，，则与的中点横坐标为，即：，
当时，由于在上是减函数，在上是增函数，
又因为，，则，有，
，又，，
在上递增，故取值范围是．
故答案为：.
34．D
【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.
【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误；
B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确.
故选：D
35．C
【分析】利用函数的奇偶性，计算特殊点的函数值，排除法得正确选项.
【详解】函数，，
，
所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，A选项错误；
，，
BD选项错误；
故选：C
36．C
【分析】确定函数的定义域并判断其奇偶性，排除部分选项，再利用在上函数值的正负判断得解.
【详解】函数，
对任意实数，（当且仅当时取等号，，
又，即函数是R上的偶函数，而是奇函数，
因此函数的定义域为R，是奇函数，图象关于原点对称，选项A错误；
当时，，，选项BD错误，选项C符合要求.
故选：C
37．B
【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.
【详解】对于A，由得，即在定义域上递增，不符合；
对于B，由得，
在上，在上，在上，
所以在、上递减，上递增，符合；
对于C，由且定义域为，为偶函数，
所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；
对于D，由且定义域为R，为奇函数，
研究上性质：，故在递增，
所以在R上递增，不符合；
故选：B
38．D
【分析】转化为，的交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】，即，
令，，
故的零点个数为与的交点个数，
在同一坐标系内画出与的图象，如下：
显然与的交点个数为1，故的零点个数为1.
故选：D
39．D
【分析】令，先求出使时的的值，然后画出函数和函数，其中的图象，观察其交点个数即可得答案.
【详解】由已知，
令，即，
当时，得或，
当时，明显函数在上单调递减，且，，
故存在，使，
画出的图象如下，
再画出直线，其中，
观察图象可得交点个数为个，
即函数的零点个数是.
故选：D.
40．D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
41．A
【分析】设为函数的零点，则，转化为在直线上，根据表示点到原点的距离的平方，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，函数，
设为函数在上的零点，则，
即，即点在直线上，
又表示点到原点的距离的平方，则，即，
令，则，
因为，所以，在单调递增.
所以最小值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：设零点有，换主元化为点在直线上，结合的几何意义及点线距离公式得为关键.
42．BCD
【分析】根据分段函数的定义作出函数的图象，根据与函数图象有4个不同的交点可判断A；利用函数图象的对称性可判断B；利用对数运算可判断C；利用基本不等式可判断D.
【详解】由得，，
当时，，的图象在关于对称，
由得，，
对应函数图象如图所示，
对于A，由图知，若，则，故A错误；
对于B，，关于对称，，故B正确；
对于C，由得，
，，得，
即，故C正确；
对于D，由，则，，故D正确.
故选：BCD.
43．BD
【分析】令，求出的值域，作出的图象，根据图象得出函数的图象与的图象交点的个数与的关系，然后分类讨论结合图形即得.
【详解】令，则，
因为，
所以，的值域为，
所以，，
作出函数的图象，
由图象可知，当时，函数的图象与的图象有4个交点，
当时，函数的图象与的图象有3个交点，
当或时，函数的图象与的图象有2个交点，
当时，函数的图象与的图象没有交点，
因为，，
所以当时，方程有两根，且，此时方程有2个不相等的实根；
当时，方程有三个根，且，此时方程有4个不相等的实根；
当时，方程有四个根，且，此时方程有6个不相等的实根；
当时，方程有四个根，且，此时方程有5个不相等的实根；
当时，方程有四个根，且，此时方程有4个不相等的实根；
当时，方程有两个根，且，此时方程有2个不相等的实根；
当时，方程没有实数根，此时方程没有实根；
综上所述，当时，关于的方程有6个不相等的实根.
又，所以，所以.
对于A项，不满足，故A错误；
对于B项，满足，故B正确；
对于C项，不满足，故C错误；
对于D项，，满足，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：将看成两个函数与的复合函数.作出函数的图象，根据数形结合得出函数的图象与的图象与的关系.
44．
【分析】先对分类讨论，再画出图像，根据三个不同跟转化为图像有三个交点，得到的取值范围即可.
【详解】①当时，此时当时单调递减，
当时单调递增，
所以关于关于的方程最多只有2个解，不符合题意；
②当时，此时当时，
当时，
当时，
如图所示，
要使得关于的方程有三个不同的根，
则需满足，解得或（舍），
.所以的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：绝对值函数的关键在于分类讨论，结合图像解题能快速得到所需答案.
45．
【分析】由题意得，，找到的必过点，作出和的图像，根据数形结合，计算求解即可.
【详解】
，，画出的图像，
化简，，故的必过点，
恰有三个不同的零点，即为有三个不同的实根，作出和的图像，
直线与曲线相切时，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），
当与曲线相切时，两图像恰有三个交点，令，此时，解得，
结合图像可得，或
故答案为：
46．(1)图象见详解
(2)图象见详解
(3)图象见详解
(4)图象见详解
(5)图象见详解
(6)图象见详解
【分析】先作出函数的图象，
（1）把的图象关于轴对称即可得到的图象；
（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称即可得到的图象；
（3）把图象向下平移一个单位即可得到的图象；
（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折即可得到的图象；
（5）把图象关于轴对称即可得到的图象；
（6）把的图象向右平移一个单位得到的图象．
【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图，

（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称得到的图象，如图，

（3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图，

（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折得到的图象，如图，

（5）把图象关于轴对称得到的图象，如图，

（6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图，

47．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设，判断函数在上的单调性，即可求值域；
（2）由题意可得有两个根，利用导数研究的性质，数形结合即可得参数范围.
【详解】（1）因为，所以，则在上为减函数，
因为，所以在上的值域为
（2）由得：，则，
则，所以
因为，所以，整理得有两个根.
令，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当趋向时趋向于，当时.

故的取值范围是.
48．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；
（2）把零点问题转化为方程解问题，利用换元法，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）函数是偶函数且定义域为，
所以有
，
因为，所以；
（2）函数的零点情况等价于
方程的解的情况，
即
令，则
①当时，，此时方程无解；
②当时，函数开口向上，且恒过定点，
则只有一解，此时方程只有一解；
③当时，函数开口向下，且恒过定点，
函数的对称轴，此时方程无解.
综上，当时函数无零点，当时函数有一个零点.
答案第1页，共2页
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