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新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总
高考数学全国卷的考查内容、考查范围和考查要求层次与比例均与课程标准保持致注重考查内容的全面性的同时，突出主干、重点内容的考查，通过依标施考，引导中学教学依标施教.
调整布局，打破固化模式.高考数学坚持稳中有变，通过调整试卷结构，改变相对固化的试题布局优化试题设计，减少学生反复刷题、机械训练的收益，竭力破除复习备考中题海战术和题型套路，发挥引导作用.
【题型1 集合新考点】
【例1】（2024·浙江温州·高三期末）
1．设集合U=R， ，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|0【变式1-1】（2024·安徽省·高三模拟）
2．下列选项中的两个集合相等的有（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2024·江苏四校联合·高三期末）
3．设全集为定义集合与的运算：且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·江苏南通·高三期末）
4．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为
【变式1-4】（2024·江苏南通·高三期末）
5．已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ．
【题型2 复数新考点】
【例2】（2023·全国·统考模拟预测）
6．已知复数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（多选）（2024上·云南·高三校联考阶段练习）
7．若复数，则（ ）
A．的共轭复数 B．
C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限
【变式2-2】（多选）（2024上·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）
8．设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C． D．若，则的最大值为2
【变式2-3】（多选）（2024上·云南德宏·高三统考期末）
9．已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则的最小值为1
【变式2-4】（多选）（2024上·河南南阳·高三统考期末）
10．设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 函数选图题新考点】
【例3】（2024·浙江·高三期末）
11．已知函数对任意的有，且当时，，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·浙江宁波·高三期末）
12．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·安徽省·高三模拟）
13．函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·安徽·高三期末）
14．若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）
15．已知函数的定义域为，满足．当时，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 比较大小新考点】
【例4】（2024·辽宁重点高中·模拟预测）
16．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·江苏四校联合·高三期末）
17．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·吉林·高三期末）
18．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）
19．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·山东临沂·统考一模）
20．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 数列小题新考点 】
【例5】（2024上·北京房山·高三统考期末）
21．数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式5-1】（2023·山东烟台·统考二模）
22．给定数列A，定义A上的加密算法：当i为奇数时，将A中各奇数项的值均增加i，各偶数项的值均减去1；当i为偶数时，将A中各偶数项的值均增加，各奇数项的值均减去2，并记新得到的数列为．设数列：2，0，2，3，5，7，数列，则数列为 ；数列的所有项的和为 ．
【变式5-2】（2024江西省九师联盟）
23．在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，，，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令，则数列的通项公式为 .
【变式5-3】（2023上·广东深圳·）
24．若系列椭圆（，）的离心率，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024上·浙江温州·高三）
25．汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具.如图所示目标柱起始柱辅助柱的汉诺塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面.规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则 . .
【变式5-5】（2024上·上海·）
26．已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个.
A．499 B．500 C．501 D．502
【题型6 排列组合小题新考点】
【例6】（2023·贵州·校联考模拟预测）
27．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（ ）
A．240 B．360 C．600 D．720
【变式6-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）
28．图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·高三课时练习）
29．小于300的所有末尾是1的三位数的和等于 ．
【变式6-3】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）
30．在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有 种.
【变式6-4】（2024· 江苏省四校联合·高三模拟）
31．若，为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先求出集合A，B，再由图可知阴影部分表示，从而可求得答案
【详解】因为等价于，解得 ，
所以，所以或，
要使得函数有意义，只需，解得，
所以
则由韦恩图可知阴影部分表示.
故选：D.
2．AC
【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断.
【详解】解：对于A：集合表示偶数集，集合也表示偶数集，所以，故A正确；
对于B：，
，所以，故B错误；
对于C：，又，
所以，即，所以，故C正确；
对于D：集合为数集，集合为点集，所以，故D错误；
故选：AC
3．B
【解析】根据定义用交并补依次化简集合，即得结果.
【详解】且
故选：B
【点睛】本题考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力，属中档题.
4．18
【分析】由题意可得，进而可得结果.
【详解】当
当
当
当
和为
故答案为：18
5．7
【分析】令，列举出所有三元子集，结合组成v阶的Steiner三元系定义，确定中元素个数.
【详解】由题设，令集合，共有7个元素，
所以的三元子集，如下共有35个：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有：
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.
故答案为：7
6．C
【分析】计算出的值，即可得解.
【详解】因为，
，
，
，
，
所以，当时，，故的最小值为.
故选：C.
7．ABD
【分析】首先化简复数，再根据复数的相关概念，即可判断选项.
【详解】，则，故正确；
，故正确；复数的虚部为，故错误；
复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确.
故选：ABD
8．ABD
【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可.
【详解】对于A，设，故，则，，故成立，故A正确，
对于B，，，显然复平面内对应的点位于第二象限，故B正确，
对于C，易知，，当时，，故C错误，
对于D，若，则，而，易得当时，最大，此时，故D正确.
故选：ABD
9．CD
【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设，则，但，故A错误；
对于B，令，满足，故B错误；
对于C，设，则所以，则，所以，故C正确；
对于D，设，则，
即，表示以为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.
故选：CD
10．AC
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，，所以，故D错误.
故选：AC
11．D
【解析】由得，得到函数是奇函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.
【详解】由得，则函数是奇函数，排除A、C
当时，，对应的图象为D，
故选：D.
12．C
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.
【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，
当时，，故排除A，只有C满足条件.
故选：C
13．D
【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.
【详解】①当时，，此时A选项符合；
②当时，，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在在上是减函数，
如图，作出函数在上的图象，
由图可知，函数的图象在上有一个交点，
即函数在在上有一个零点，
当时，，则，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故B选项符合；
③当时，，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
如图，作出函数在上的图象，
由图可知，函数的图象在上有一个交点，
即函数在在上有一个零点，
当时，，则，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故C选项符合，D选项不可能.
故选：D.
14．C
【分析】利用对数的运算及排除法即可求解.
【详解】由得，
显然，所以，
由，得，
所以，排除AB，
由，当且仅当时取等号，可排除D．
故选：C．
15．D
【分析】利用函数的奇偶性，及特殊位置结合排除法即可判定选项.
【详解】因为函数的定义域为，满足，
所以是偶函数，所以的图象关于y轴对称，故排除A；
当时，，所以，故排除B，C．
故选:D
16．D
【分析】先根据，，得到，再构造函数，比较出，得到结论.
【详解】，
，，
下证时，，
设，射线与单位圆相交于点，过点作⊥轴于点D，
单位圆与轴正半轴交于点，过点作⊥轴，交射线于点，连接，
则，
设扇形的面积为，因为，
所以，即，
故，所以，，
所以，
因为，令，，
则，其中，
令，则，，
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，又，
故在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
故在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以，即，
则
因为，
令，，
则，令，
则，令，
则，令，
则在上恒成立，
所以在单调递减，
又，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
故在上单调递减，
又，故，即，
故，
其中，
则，D正确.
故选：D
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，，
，
，
，
17．B
【分析】利用和以及，再进行合理赋值即可.
【详解】，
设，，则，
则在上单调递增，则，则在上恒成立，则，即，
设，，则在上恒成立，
则，则在上恒成立，
令，则，则，
设，在上恒成立，
则在上单调递增，则，即在上恒成立，
令，则，则，即，故，
故选：B.
18．D
【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，从而比较大小.
【详解】设，则，
在时，，所以在上单调递增，
所以，则，
即，则，
设，则，
则当，，所以为减函数，
则当， ，所以为增函数，
所以，则；
设，，则，
所以在为增函数，则，
即，则，所以；
所以.
故选：D.
【点睛】思路点睛：两个常用不等式
（1），
（2），
19．C
【分析】先利用常见不等式放缩得到，的大小关系，再利用幂函数的单调性比较，的大小关系即可得到答案.
【详解】令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
由诱导公式得，
所以，因此；
因为，，
故只需比较与的大小，
由二项式定理得，，
所以．
综上，.
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：
（1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；
（2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小；
（3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.
20．B
【分析】构造，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较的大小.
【详解】令，则在R上单调递增，
由，则时，即，而，
∵，
∴.
.
综上：.
故选：B.
21．B
【分析】根据题意不断计算即可解出．
【详解】因为为强率，由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为强率；
由可得，，即为弱率，所以，
故选：B.
22． 1，3，1，6，4，10
【分析】由题意求出数列，即可求解数列；对于偶数项可得，为等差数列，写出第2，4，6项. 对于奇数项可得，为等差数列，写出第1，3，5项，相加即可求解.
【详解】由题意，
，1为奇数，所以，
，2为偶数，所以.
因为，为偶数，为奇数，
所以对于偶数项，，得，
则为等差数列，得数列B2n中：
第2项为：，
第4项为：，
第6项为：；
对于奇数项，，得，
则为等差数列，得数列B2n中：
第1项为：，
第3项为：，
第5项为：，
所以所有的项的和为
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解新定义“数列A”的算法，以学习过的数列相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.
23．
【分析】根据数列的定义找到与的关系，然后利用构造法结合等比数列的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
又，所以，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以.
故答案为：
24．A
【分析】先化为标准方程，直接求出离心率列方程即可求解.
【详解】椭圆可化为：.
因为，所以离心率，解得：.
故选：A
25． 7
【分析】根据题意可得，当时，求分三步，从而可得，则可求出，进而可求得答案.
【详解】显然.
当有个圆盘时，求分三步：
第一步，先将上面的个圆盘移到辅助柱，至少需要次；
第二步，将起始柱上最大的一个圆盘移动到目标柱子，需1次；
第三步，将辅助柱上的个圆盘移动到目标柱至少需要次，
因此，
所以
因为，
所以数列是以2 为公比，2为首项的等比数列，
所以
所以，所以，
，
故答案为：7，.
26．D
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论.
【详解】由题意得：，其中，
，代入上式得：，
要方程无实数解，则，
显然第502个方程有解.
设方程与方程的判别式分别为，
则
，
等号成立的条件是，所以至多一个成立，
同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，
综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个，
故选：D.
【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解.
27．A
【分析】分为3.11开头的以及3.12开头的，分别计算得出结果，根据分类加法计数原理加起来，即可得出答案.
【详解】小于3.14的不同数字的个数有两类：
第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有种；
第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有种.
根据分类加法计数原理可知，共种.
故选：A．
28．A
【分析】分析可知，要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利用表格分析即可.
【详解】根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下：
假设开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变，
下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关次；
这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动次可以满足要求.
如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以）
按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关
按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关
按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开
按动 开 关 关 开 开 关 开 开 关
按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关
则需按开关的最少次数为.
故选：A.
29．3920
【分析】根据小于300的所有末尾是1的三位数是以101为首项，以10为公差的等差数列求解.
【详解】解：小于300的所有末尾是1的三位数是101，111，121，…，291，
是以101为首项，以10为公差的等差数列，
所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为,
故答案为：3920
30．14
【分析】根据加法分类计数原理求解即可.
【详解】不妨设圆周上的点依次为，
要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：

符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种；
共计种.
故答案为：.
31．AD
【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.
【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确；
对B： ，故B错误；
对C：，
，故，C错误；
对D：
，故D正确.
故选：AD.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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