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热点2-5 导数的应用-单调性与极值
导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力.本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度.
【题型1 求函数的单调区间或单调性】
满分技巧1、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论.
（2023·广西·模拟预测）
1．函数的单调递增区间为 ．
【变式1-1】
（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）
2．函数在上的单调递减区间为 .
【变式1-2】
（2023·山东淄博·高三统考期中）
3．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调增区间．
【变式1-3】
（2023·全国·高三专题练习）
4．已知函数，当时，求函数的单调区间.
【变式1-4】
（2023·山西大同·高三统考期末）
5．已知函数，.
(1)求曲线的平行于直线的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【题型2 根据函数的单调性求参数】
满分技巧已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点. （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点.
（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）
6．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】
（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】
（2023·广东汕头·高三统考期中）
8．设，若函数在递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】
（2023·福建三明·高三校联考期中）\\
9．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】
（2023·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）
10．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 导函数与函数的图象关系】
满分技巧（1）对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个内单调递减； （2）对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间与原函数的单调性的一致.
（2023·广东湛江·高三校考阶段练习）
11．的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【变式3-1】
（2024上·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）
12．已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的减区间是，
B．函数的减区间是，
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【变式3-2】
（2023·新疆喀什·高三统考期中）
13．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）

A．在上为减函数 B．在处取极大值
C．在上为减函数 D．在处取极小值
【变式3-3】
（2023·全国·高三专题练习）
14．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【变式3-4】
（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）
15．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 求函数的极值或极值点】
满分技巧利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化. ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值. ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点.
（2023·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）
16．已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-1】
（2023·全国·模拟预测）
17．函数在区间的极大值、极小值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-2】
（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）
18．函数的极大值是 ．
【变式4-3】
（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）
19．若函数，则函数的极小值为 .
【变式4-4】
（2024·河南·统考模拟预测）
20．已知函数在点处的切线与直线垂直．
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
【题型5 根据函数的极值求参数范围】
满分技巧（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程； （2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍.
（2024·全国·模拟预测）
21．已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】
（2024上·广东潮州·高三统考期末）
22．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】
（2024上·河南南阳·高三统考期末）
23．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】
（2023·广东广州·统考模拟预测）\\
24．若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】
（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）
25．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 利用导数求函数的最值】
满分技巧函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点.
（2023·四川南充·高三南部中学校考阶段练习）
26．已知函数在区间上的最小值为 ．
【变式6-1】
（2023·全国·高三专题练习）
27．已知函数，求的最小值.
【变式6-2】
（2024·全国·高三专题练习）
28．已知函数，．讨论函数的最值；
【变式6-3】
（2024上·北京顺义·高三统考期末）
29．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
【变式6-4】
（2023·山东青岛·高三统考期中）
30．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
【题型7 根据函数的最值求参数范围】
（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）
31．已知函数在处取最大值，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式7-1】
（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）
32．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】
（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）
33．已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】
（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）
34．已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-4】
（2023·上海·高三上海中学校考期中）
35．已知，函数，．
(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；
(2)若与有相同的最小值，求实数a．
【题型8 函数的单调性、极值、最值综合】
（2024·河南·模拟预测）
36．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【变式8-1】
（2023·全国·模拟预测）
37．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的零点个数．
【变式8-2】
（2024上·山东淄博·高三统考期末）
38．已知函数．
(1)若时，恒有，求a的取值范围；
(2)证明：当时，．
【变式8-3】
（2024·全国·模拟预测）
39．已知函数有两个极值点，且．
(1)求的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集．
（建议用时：60分钟）
（2024·北京昌平·高三统考期末）
40．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）
41．设函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在上存在最大值
C．在定义域内存在最值
D．在上存在最小值
（2024·全国·模拟预测）
42．已知函数，为的导函数，，则（ ）
A．的极大值为，无极小值
B．的极小值为，无极大值
C．的极大值为，无极小值
D．的极小值为，无极大值
（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）
43．等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）
A． B． C．3 D．
（2024·陕西榆林·统考一模）
44．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）
45．若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）
46．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．函数有最小值
B．函数有最大值
C．函数有且仅有三个零点
D．函数有且仅有两个极值点
（2023·天津西青·高三校考开学考试）
47．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A． B． C． D．
（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）
48．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的两条切线
（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）
49．对于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．在上有3个零点
C．的最大值为 D．在上是增函数
（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）
50．函数的值域为 .
（2023·上海·高三校考期中）
51．函数的极小值是 .
（2023·广东·统考二模）
52．已知函数的最小值为0，则a的值为 .
（2023·陕西西安·校联考模拟预测）
53．已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）
54．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)对，恒成立，求a的取值范围.
（2024上·北京房山·高三统考期末）
55．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.
【详解】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
故答案为：
2．
【分析】根据原函数单调递减，则导函数小于零，根据导函数小于零解不等式即可.
【详解】由题意知，.
即，，因为，所以，
所以在中，，
所以在上的单调递减区间为.
故答案为：
3．(1)
(2)和
【分析】（1）求导得到导函数，计算，，得到切线方程.
（2）求导得到导函数，构造，求导确定单调区间，计算最值得到在和上恒成立，得到答案.
【详解】（1），定义域为，
，
，，
故切线方程为，即；
（2）函数定义域为，，
设，，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
故，恒成立，
即在上恒成立，
函数在和上单调递增.
则函数单调增区间为和.
4．增区间为和，减区间为
【分析】当时，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间.
【详解】解：当时，，该函数的定义域为，
，
由可得，
由可得或，
故当时，函数的增区间为和，减区间为.
5．(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减
【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点，即可得切线方程；
（2）借助导数分析函数的单调性，结合函数的单调性和正余弦函数的性质求解.
【详解】（1）由已知得，
直线的斜率为1，令，得，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
而，所以方程有唯一解，此时，
故曲线的平行于直线的切线只有一条，
即在点处的切线；
（2），
而，因此的正负与的正负一致，
由知，当时，，所以单调递增，
所以等价于，
等价于，
由函数和知，当时，，
即，
当时，，即，
故在上单调递增，在上单调递减.
6．D
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范围即可.
【详解】因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
所以，
所以在上单调递减，所以，
故，所以的取值范围是.
故选：D.
7．D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
8．B
【分析】把函数在递增利用导数转化为在上恒成立，利用指数函数单调性得，解对数不等式即可得解.
【详解】因为函数在递增，
所以在上恒成立，
则，即在上恒成立，
由函数单调递增得，
又，所以，所以，
所以即，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
9．B
【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解.
【详解】，
令，
因为在上不单调，
在上有变号零点，即在上有变号零点，
当 时， ，不成立；
当 时，只需 ，即 ，
解得 或 ，
所以 在上不单调的充要条件是或 ，
所以在上不单调的一个充分不必要条件是，
故选：B
10．B
【分析】利用导数研究函数的极值点，令极值点属于已知区间即可.
【详解】
所以时递减，
时，递增，是极值点，
因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，
所以，即，
故选：B.
11．C
【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项.
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
12．BC
【分析】根据给定的函数图象，确定函数的单调区间及单调性，再逐项判断即得.
【详解】观察图象，由，得或，显然当时，，当，，
由，得或，显然当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，A错误，B正确；
函数在处取得极小值，在处取得极大值，C正确，D错误.
故选：BC
13．BCD
【分析】根据图象得到的符号，从而求出函数的单调区间和极值点，得到答案．
【详解】由图像得：当，，单调递增，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
当时取得极大值，当时取得极小值.
故选：BCD
14．D
【分析】解法一：根据导函数的正负，得到的单调性，即可判断；
解法二：由导函数的图象可知在处取得极大值，即可判断.
【详解】解法一：因为在和上，在和上，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
观察各选项知，只有D符合题意.
解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于，
所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.
故选：D.
15．C
【分析】根据的图像，得到不同范围下，的正负，得到的单调性，得到答案.
【详解】由的图象知，当时，，故，单调递增；
当时，，故，当，，故，
等号仅有可能在x＝0处取得，
所以时，单调递减；
当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.
故选：C.
16．D
【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而由极值的定义可求出函数的极小值.
【详解】因为，，
所以.
当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，.
故选：D.
17．D
【分析】求出，由、可得答案．
【详解】由题意，得，
当时，，；
当时，，．
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为．
故选：D．
18．
【分析】根据导数求函数的极大值即可.
【详解】由，则，
令，解得或，
则当，时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
则当时，函数取得极大值，
.
故答案为：
19．
【分析】首先根据三角恒等变换可得，再换元设，因为，所以，通过导数求得的极小值即可得解.
【详解】，
设，因为，所以.
令，所以.令，
则或.
因为在上，在上，
在上，所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，
即的极小值为.
故答案为：
20．(1)
(2)单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值
【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；
（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.
【详解】（1），则，
由题意可得，解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
21．A
【分析】利用导数与及极值点间的关系，结合条件即可求出结果.
【详解】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，
又极小值点为，极大值点为，所以，即，
由韦达定理得到，所以，，得到．
故选：A．
22．D
【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可.
【详解】的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有零点，即在上有实数根.
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，
故.
故选:D.
23．C
【分析】转化为有两个变号零点，令，求导，分和两种情况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式，再构造函数，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.
【详解】由题意得有两个变号零点，
令，定义域为R，
则，
当时，恒成立，在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，
当时，令得，，令得，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
则，即，
令，，则，
令得，令得，
在上单调递增，在单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
又，故的解集为，
此时当趋向于负无穷时，趋向于正无穷，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
满足有2个变号零点.
故选：C
【点睛】结论点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
24．A
【分析】根据的零点、的极值点的情况列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】，，
的开口向上，对称轴为，与轴的交点为，
当时，在区间上，，单调递增，
没有极值点，所以，
要使在区间上存在极小值点，则在有两个不等的正根，
则需，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间求得的极值点.
25．A
【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．
【详解】函数的定义域为，
由，得，
因为函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，而，
所以方程有两个不等的正根，
所以，所以，
所以，即．
故BCD正确，A错误．
故选：A．
26．
【分析】求导得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值比较大小求解.
【详解】，
则．
令 ， 解得(舍去)，或．
所以
故在单调递增，在单调递减，
，
又，
所以．
故答案为：
27．0
【分析】求出函数的定义域，得出导函数.根据导函数得出函数的单调区间，求出极值点，进而得出答案.
【详解】由已知可得，定义域为，
且.
当时，有，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
28．答案见解析
【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性，进而求得函数的最值.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
当时，可得，在上单调递增，无最值；
当时，令，可得，所以在上单调递减；
令，可得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上可得：
当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
29．(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用定义求最小正周期和单调递增区间即可.
（2）利用导数求函数最值即可.
【详解】（1）设的最小正周期为，显然，令，解得.
（2）由已知得，，
当时，令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则最大值是.
30．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【详解】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
31．C
【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性即可求解．
【详解】由题意得，，
当时，在上恒成立，此时单调递增，不符合题意，
当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取极大值也是最大值，
故，
故选：C．
32．C
【分析】分，和三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围.
【详解】当时，单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当或时，，
令得或，
当时，恒成立，
故表格如下：
0 + 0
极小值 极大值
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
且，，
故的解集为，
时，令可得，
当时，，
令得，
故在上单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当时，恒成立，
故表格如下：
+ 0 0 +
极大值 极小值
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
时，，单调递增，
又，故上，无解，
综上：实数a的取值范围是.
故选：C
【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等.
33．B
【分析】先求导得，即可求出函数的极大值点与极大值，再令，得，解得，，在区间上存在最大值，则有，解之即可.
【详解】由题意得，令，得，
令，是，或，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
故.
令，得，解得，，
所以，所以要使在上存在最大值，
则有,解得.
故选：B.
34．C
【分析】利用导数确定函数的单调区间及极小值为，再令，得，最后由，求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
令，解得或，
所以在，内单调递增，在内单调递减，
所以极小值为．
令，则，
所以，
由题意得，
所以a的取值范围为.
故选:C．
35．(1)
(2)1
【分析】（1）由得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标；
（2）首先由导数求得与的最小值，由两最小值相等求，为此方程变形后引入新函数，利用导数确定单调性得出零点．
【详解】（1）由题意，，由得，此时，
所以切点为；
（2），时，，在上是增函数，无最小值，所以，
，
时，，递减，时，，递增，
所以有唯一的极小值也是最小值，
，，
，，递减，时，，递增，
所以有唯一的极小值也是最小值为，
由题意，，
设，则，
设，则，
时，，递增，时，，递减，
所以，所以，即，是减函数，
又，因此是的唯一零点，
所以由得．
36．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得.
（2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由，得，函数在上单调递减，
由，得，函数在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，则，
于是，有，当时，则，
因此，
所以.
37．(1)最小值为，最大值为．
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值；
（2）求出函数的导函数，分、、、、五种情况讨论，结合函数的单调性与零点存在性定理判断即可.
【详解】（1）当时，，，
则，
设，则，
易知在上单调递增，，
故即在上单调递增，，
故在上单调递增，
在上的最小值为，最大值为．
（2）由可得．
①当时，，又，，恰有1个零点；
②当时，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值，
又，当时，，故有2个零点；
③当时，由得或，由得，
在上单调递增，在上单调递减，的极小值，
极大值，
又当时，，有1个零点；
④当时，由可得或，由可得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值，极小值，
又当时，，有1个零点；
⑤当时，，，
单调递增，，有1个零点．
综上可知，当时，有2个零点；当时，有1个零点．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
38．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意转化为当时，恒成立，分类讨论和两种情况，结合导数与函数的关系以及零点存在性定理等知识求解即可；
（2）将原题转化为证明当时，，通过构造函数和二次求导的方法，结合导数与函数的关系即可得证.
【详解】（1）由若时，恒有，
所以当时，恒成立，
设，
则令，
则，显然在单调递增，
故当时，，
当时，，则对恒成立，
则在单调递增，
从而当时，，即在单调递增，
所以当时，，符合题意；
当时，，又因为，
所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，，
则单调递减，此时，不符合题意.
综上所述，a的取值范围为
（2）要证当时，，即证，
设，
则，
令，
则单调递增，
所以当时，，则单调递增，
所以当时，，
则当时，，即单调递增，
所以当时，，原式得证
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数证明函数不等式恒成立问题，常见方法如下：
（1）构造函数法：通过构造函数，利用导数研究函数单调性，转化为求函数最值问题；
（2）放缩法：一是利用题目中已知条件进行放缩，二是利用常见的二级结论进行放缩；
（3）同构法：指数和对数同时出现，往往将不等式形式进行变形，通过同构化简不等式进而证明即可.
39．(1)
(2)
【分析】（1）函数有两个极值点，转化为导函数有两个异号零点，研究导函数的单调性，得到函数有两个极值的必要条件是“导函数的极小值小于”，再证明充分性即可；
（2）利用得，由此构造函数分段讨论比较的大小，再利用的单调性求解不等式可得.
【详解】（1）由题意知．
因为函数有两个极值点，
所以在上有两个变号零点．
设，，则.
①当时，，
则在上单调递增，至多一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因为在上有两个变号零点，即在上有两个变号零点，
所以，解得，此时.
因为，，所以在上存在一个零点．
因为，
由，则.
设，
则，所以在上单调递减．
因为，所以．所以，
且，则，
又，所以在上存在一个零点．
由两个极值点，满足，则.
故当时，在上有两个变号零点.
综上所述，a的取值范围为；
（2）由（1）可知，当时，，
在单调递减，在单调递增．
又，所以，
且当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
由，得，所以．
所以．
设，则，
所以在上单调递减，其中，
①当时，，即，所以，
因为在上单调递增，
所以，故不等式无解；
②当时，，即，所以，
所以，符合题意；
③当时，，即，所以，
因为在上单调递减，所以，
故此时不等式也无解．
综上所述，不等式的解集为．
【点睛】方法点睛：解决函数极值点问题的关键在于将问题转化为导函数的零点问题研究即可，但要注意可导函数导数值为零仅仅是极值点的一个必要而非充分条件，因此在解决问题时要对充分性加以验证.
40．D
【分析】AB可根据函数图象直接得到在上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案.
【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；
B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C选项，在上恒成立，
故在上单调递增，C错误；
D选项，令得，，
在上单调递增，
而在上单调递减，
由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.
故选：D
41．D
【分析】，用导数研究在单调性判断A、B选项，结合周期性奇偶性单调性判断C选项，用导数求在上的最小值判断D.
【详解】，
则，
令，则在上单调递增，且，
所以存在使得，
则时单调递减；
当时单调递增，故A错误
当时，在上不存在最大值，故B错误；
，所以的周期为，
定义域关于原点对称，
所以为奇函数，
当时单调递减，时单调递增，
即当时，，有最小值，无最大值；
由奇偶性得时，，故在定义域内不存在最值，故C错误
对D：结果前面分析知存在使得，且
所以，
所以，故D正确.
故选：D
42．C
【分析】本题考查利用导数判断函数的极值，考查考生的运算求解能力，可按下列顺序求解：
的单调性的极值情况
【详解】的定义域为，，
所以，
求导得，令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值．
故选：C．
43．A
【分析】利用导数求出函数的两个极值点，再利用等差数列性质求出即可计算得解.
【详解】由求导得：，
有，即有两个不等实根，
显然是的变号零点，即函数的两个极值点，
依题意，，在等差数列中，，
所以.
故选：A
44．B
【分析】分情况讨论，当时直接代入可得函数递减；当时，求导，构造函数，，再由得到抽象函数，求出，最后再讨论时的情况，综合得出结果.
【详解】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，
由题可知恒成立，即.令，
则，所以在上单调递增，由，
可得，即，所以，所以，
当时，，不符合题意，故的取值范围是.
故选：B
45．C
【分析】先由为函数的极值点求得a，再利用导数法求解.
【详解】，
因为是函数的极值点，
所以，则，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故选：C
46．A
【分析】根据的图象判断出的单调性、极值点、最值、零点，逐一分析每一选项即可.
【详解】由函数图象可知、的变化情况如下表所示：
由上表可知在和上分别单调递减，在和上分别单调递增，
函数的极小值分别为、，其极大值为.
对于A选项：由以上分析可知，即函数有最小值，故A选项正确；
对于B选项：由图可知当，有，即增加得越来越快，
因此当，有，所以函数没有最大值，故B选项错误；
对于C选项：若有，则由零点存在定理可知函数有四个零点，故C选项错误；
对于D选项：由上表及以上分析可知函数共有3个极值点，故D选项错误.
故选：A.
47．B
【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
48．AC
【分析】A项，分析函数的单调性即可得出极点个数；B项，利用零点定理即可得出零点个数；C项，构造并分析奇偶性，利用是图象的对称中心得出点是曲线的对称中心；D项，设出切点并得出切线方程，将代入切线方程即可得出过点的切线.
【详解】由题意，
在中，．
令，得或，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是极值点，A正确．
由的单调性且极大值，极小值，
又，，
所以函数在定义域上有3个零点，B错误．
令，
因为，则是奇函数，
所以是图象的对称中心，
将的图象向上移动1个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，C正确．
设切点为，
则切线的方程为，
代入，可得，解得．
所以过点的切线有1条，D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法求单调性，零点定理，函数的切线，考查学生分析和处理问题的能力，具有较强的综合性.
49．ABC
【分析】对于A，根据周期的定义即可判断；对于B，令即可求得零点；对于CD，对求导，令，判断单调性即可.
【详解】对于A，因为，
所以是的一个周期，A正确；
对于B，当，时，，
即，即或，解得或或，
所以在上有个零点，故B正确；
对于C，由A可知，只需考虑求在上的最大值即可.
，
则，
令，求得或，
所以当或时，，此时，
则在上单调递增，
当时，，此时，但不恒为0，
则在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
为，C正确；
对于D，由C可知，在上不是增函数，D错误.
故选：ABC
50．
【分析】首先确定函数的周期，然后利用导数研究函数一个周期内的单调性，进而求得函数的值域.
【详解】是函数的一个周期，所以只需要考虑函数在的取值范围即可.
，
易知在内有三个零点，依次为，，.
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
计算有，，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
51．0
【分析】求出导函数，由其确定单调性得极小值．
【详解】由已知，得或，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在递减，
所以的极小值为．
故答案为：0.
52．##0.5
【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值.
【详解】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.
53．(1)
(2)最大值为52，最小值为
【分析】（1）利用函数奇偶性可得，再由在上取得极大值2可求得，可得解析式；
（2）由（1）中解析式求导可得其在上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
因为是奇函数，所以，则.
由，得.
因为在上取得极大值2，
所以解得
经经检验当时，在处取得极大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
当时，单调递增；
当和时，单调递减；
即函数在处取得极小值，在处取得极大值；
又因为，
所以在上的最大值为52，最小值为.
54．(1)递增区间为；
(2).
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间即得.
（2）取特值判断，再借助（1）中信息及不等式性质可得，然后利用导数探讨的情况即得.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
令，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，
，即，，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，即函数的递增区间为.
（2）依题意，，则，
由（1）知，当时，恒成立，
当时，，，
则，因此；
当时，求导得，令，
求导得，当时，，
则函数，即在上单调递减，当时，，
因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以按参数值分段讨论，利用导数结合函数零点探讨函数值正负即可作答.
55．(1)
(2)、
(3)
【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；
（3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，则，所以，，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：当时，，该函数的定义域为，
，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、.
（3）解：因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个异号零点，
当时，对任意的，，不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，合乎题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，不合乎题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
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