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热点1-2 常用逻辑用语与一元二次不等式恒（能）成立
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见考查真假命题的判断；全称量词、特称量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度但一般很少单独考考查，常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等交汇，热点是“充要条件”，考生复习时需多注意这方面
不等式是高考数学的重要内容其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐
【题型1 含有一个量词命题的否定】
满分技巧对全称（存在）量词命题进行否定的方法 全称（存在）量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时： （1）改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
【例1】（2023·四川成都·统考二模）
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-1】（2023·山东青岛·高三青岛二中校考期中）
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）
3．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）
4．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）
5．已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 根据量词命题的真假求参数】
满分技巧利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围
【例2】（2023·陕西·校联考模拟预测）
6．命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）
7．“若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）
8．若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 ．
【变式2-3】（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）
9．设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是 .
【变式2-4】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）
10．若命题：“，”是假命题，则的取值范围是 .
【题型3 充分与必要条件的判断】
满分技巧充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p q，q p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
【例3】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）
11．已知实数a，b满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（2023·广东·高三执信中学校联考期中）
12．已知，，则p是q的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2023·四川·高三校联考阶段练习）
13．设，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）
14．设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·陕西西安·高三校考期中）
15．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型4 根据充分与必要条件求参数】
满分技巧根据充分、必要条件求参数的思路方法 根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式（组），然后通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围．
【例4】（2023·全国·高三专题练习）
16．若是的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）
17．已知不等式成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023·上海松江·高三校考期中）
18．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
【变式4-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）
19．已知：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【变式4-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）
20．已知集合，函数的值域为集合．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求正数的取值范围．
【题型5 一元二次不等式恒成立问题】
满分技巧1、一元二次不等式在实数集上的恒成立 （1）不等式对任意实数恒成立 或 （2）不等式对任意实数恒成立 或 2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立 ，即；恒成立 ，即.
【例5】（2023·全国·高三课时练习）
21．不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）
22．已知对一切实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【变式5-2】（2023·上海黄浦·高三向明中学校考期中）
23．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023·河南信阳·高三信阳实验中学校考阶段练习）
24．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）
25．已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 .
【题型6 一元二次不等式能成立问题】
满分技巧不等式能成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： （1）若存在，有解 ；若对任意，无解 . （2）若存在，有解 ；若对任意，无解 .
【例6】（2023·山东泰安·高三校考阶段练习）
26．若不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）
27．若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·四川成都·玉林中学校考模拟预测）
28．若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考期中）
29．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式6-4】（2023·湖北随州·高三曾都区第一中学校考开学考试）
30．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．或
C． D．
（建议用时：60分钟）
（2023·河南南阳·高三统考期中）
31．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2023·四川成都·统考二模）
32．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2023·黑龙江·高三哈尔滨第六中学校校考期中）
33．若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）
34．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·山东青岛·高三统考期中）
35．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）
36．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·江苏盐城·高三统考期中）
37．数列满足，，则“”是“为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）
38．已知，那么“是正整数”是“为正整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
（2023·全国·高三专题练习）
39．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
40．设为平面，为直线，则的一个充分条件为（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（2023·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）
41．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·辽宁大连·高三育明高中校考期中）
42．下列命题错误的是（ ）
A．已知非零向量，，，则“”是“”的必要不充分条件
B．已知，是实数，则“”的一个必要不充分条件是“”
C．命题“，”的否定为“，”
D．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是
（2023·北京·高三景山学校校考开学考试）
43．使得命题“”为真命题的k的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
（2023·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）
44．已知不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）
45．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东潍坊·高三统考期中）
46．若“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）
47．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西·高三南昌二中校考开学考试）
48．若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川乐山·高二校考期中）
49．若，为假命题，则的取值范围为 .
（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）
50．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据全称命题的否定形式即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题知：
命题“，”的否定是“，，”
故选：A.
2．A
【分析】由存在量词命题的否定全称量词命题，得到命题的否定.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：A
3．A
【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论即可．
【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定为：．
故选：A．
4．B
【分析】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：，即可判断.
【详解】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：，
可知命题“”的否定为“”，
故选：B.
5．D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题是特称命题，
所以其否定为全称命题，即“”，
故选：D.
6．D
【分析】根据题意分析可知命题“”为真命题，结合二次函数的判别式运算求解.
【详解】由题意可知：命题“”为真命题，
则，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
7．A
【分析】由题得到恒成立，求出即可得到答案.
【详解】，，即恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，故.
对比选项知A满足.
故选：A
8．
【分析】由一元二次不等式恒成立可得．
【详解】因为命题“，”是真命题，
当，即时，不等式为，显然不满足题意，；
当，即时，所以，解得．
故答案为：．
9．
【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案.
【详解】是假命题，
是真命题，
，，
，，
当时，，当且仅当时，即时，等号成立，
，可取到，
，
，
故答案为：.
10．
【分析】本题首先可根据题意得出命题“”是真命题，然后分为三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题：“，”是假命题，
所以命题“”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
11．C
【分析】根据充分性和必要性判断.
【详解】由得，即，又，所以，所以，充分性成立；
显然由，可得，必要性成立，
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
12．B
【分析】利用作差法和举反例结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则，
可得，即，
可知由p可以推出q，则p是q的充分条件；
例如，可知，满足，
但不满足，可知p不是q的必要条件；
综上所述：p是q的充分不必要条件.
故选：B.
13．A
【分析】根据绝对值不等式和对数函数的单调性，解出，即可得到结果.
【详解】由，得；
由，可得，即，
又在上单调递增，
所以.
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
14．B
【分析】用赋值法，取不同的x与y代入，可排除A、C、D.
【详解】对于A，当时，满足，但命题不成立；
对于C，D，当时，满足，，但命题不成立.
故选：B.
15．B
【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可.
【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B.
16．D
【分析】由“是的必要不充分条件”可知，是的真子集，求解即可.
【详解】∵ 是的必要不充分条件，∴是的真子集，
因此，解得.
故选：D.
17．C
【分析】先求得不等式解集，结合题意，得到关于的不等式，从而得解．
【详解】因为等价于，即，
当，不等式为，显然不成立；
当时，不等式解得，
当时，不等式解得，
所以等价于或；
因为不等式成立的一个必要不充分条件是，
所以或是的真子集，
则或，解得或，
即实数m的取值范围是.
故选：C．
18．
【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可.
【详解】，解得，设，，
若是的充分不必要条件，则 ，
则有，且等号不会同时取到，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
19．
【分析】的解为，的解为：，再根据是的必要不充分条件，从而求解.
【详解】对于，由可解得，
对于，由可解得，
因为是的必要不充分条件，所以解得．
故的取值范围为：.
故答案为：.
20．(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角函数倍角知识和辅助角公式对化简，然后利用集合的并集运算即可得解；
（2）由充分不必要条件转化为集合间的关系从而求解.
【详解】（1）因为，
所以集合.
当时，得，解之得，所以，
所以得.
（2）由条件知集合是集合的真子集，
又因为，解之得，所以，
所以得或，解之得，
又因为，所以正数的取值范围为.
21．A
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，.
故选：A.
22．
【分析】依题意分和两种情况讨论，再结合判别式的符号，即可求出a的取值范围．
【详解】当，即时，原不等式为，显然对一切实数x不恒成立，不满足题意；
当，即时，则，解得．
所以实数a的取值范围为．
故答案为：．
23．A
【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，且，整理得，
所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：A.
24．B
【分析】先分离参数后得，利用在的最大值为2，可得.
【详解】由得，
故在时恒成立，
设，其对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为，故，
故选：B
25．
【分析】分离常数后，不等式可化为，变形后，利用基本不等式求出右边函数的最大值即可.
【详解】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，所以，
所以在上恒成立，
又，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，故a的最小值为.
故答案为：
26．A
【分析】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.
【详解】不等式有解，即不等式有解，
因此，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：A
27．A
【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.
【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根，
又，即二次函数有两个异号零点，
所以要满足不等式在区间上有解，
所以只需，
解得，所以实数m的取值范围是．
故选A．
28．C
【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围．
【详解】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
设，，其中在区间上单调递减，
所以有最小值为，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
29．AB
【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围.
【详解】不等式在区间内有解，仅需即可，
令，因为的对称轴为，，，
所以，所以.
故选：AB
30．D
【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.
【详解】由关于的不等式有解，得，解得或.
则或，故只有D选项符合必要不充分条件.
故选：D.
31．A
【分析】特称命题的否定为全称命题，据此得到答案.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：A
32．A
【分析】根据全称命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
33．C
【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
34．C
【分析】根据对数不等式可得，即可由必要不充分条件的定义判断.
【详解】由可得，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
35．C
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】关于x的方程有实数根，则，
故，即，
又，所以，即向量，共线，反之也成立，
因此两者应为充要条件．
故选：C．
36．B
【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】易知：“东风”是“打败曹操”的必要不充分条件.
故选：B
37．A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：由，解得或，
所以“”是“为单调递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
38．B
【分析】根据正整数的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】当是正整数时，设，
而，因为，所以不一定是正整数，因此由是正整数不一定能推出为正整数；
当是正整数时，设，
而，因为，所以一定是正整数，因此由是正整数一定能推出为正整数，
因此“是正整数”是“为正整数”的必要不充分条件，
故选：B
39．D
【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
40．B
【分析】根据线线、线面、面面垂直的知识对选项进行分析，结合充分条件求得正确答案.
【详解】构造如下图形：图①，，而，则A错；
图②，，当时，，C错；
由图③，在正方体中，两侧面与相交于，都与底面垂直，内的直线，
但与不垂直，故D错.

对于B选项，由于，，所以，
由于，所以，所以B选项正确.
故选：B
41．A
【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.
【详解】由题设易知，且，设，
则函数开口向上且对称轴为，
所以在上单调递增，为增函数，
所以．
要使在上单调递增，则，即，
所以，要使对恒成立，
分离参数可得，，因为，当且仅当时取等号，但，所以所以．
综上，．
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A．
42．B
【分析】根据数量积的运算法则结合充分条件、必要条件判断A；根据指数不等式和对数不等式结合充分条件、必要条件判断B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断C，分离参数求解参数范围判断D.
【详解】对于A，若，则，所以，不能推出，
反之时，推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，正确；
对于B，等价于，即，等价于，
所以成立，则一定成立，
反之成立，不一定成立，
从而“”的一个充分不必要条件是“”，正确；
对于C，全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“，”的否定为“，”，正确；
对于D，命题“，”是真命题，则恒成立，
即，即实数的取值范围为，正确，
故选：B
43．B
【分析】分和两种情况分类讨论即可求解.
【详解】根据题意可知关于的不等式的解集为，
当时，恒成立；
当时，则满足，解得，
综上，
故选：B
44．D
【分析】根据不等式恒成立，结合不等式与函数图象的关系，即可求解.
【详解】由不等式的解集为，
则，解得：.
故选：D
45．A
【分析】根据题意，转化为对任意的，不等式恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由命题“”为假命题，可得命题“”为真命题，
即对任意的，不等式恒成立，
则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
46．D
【分析】只需的最小值小于即可.
【详解】，，只需的最小值小于即可，
由于的最小值为，故.
故选：D
47．C
【分析】先由得，由基本不等式得，故.
【详解】当时，由得，
因，故，当且仅当即时等号成立，
因当时，恒成立，得，
故选：C
48．B
【分析】化简已知不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得的取值范围.
【详解】依题意，不等式对任意实数x均成立，
即不等式恒成立，
当时，不等式可化为恒成立，
当时，
，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：B
49．
【分析】由题意可得，为真命题，结合判别式即可求得答案.
【详解】因为，为假命题，
故，为真命题，
故，解得，
即的取值范围为
故答案为：
50．
【分析】将为假命题转化为为真命题,分离参数求解即可.
【详解】 “”为假命题即为 “”为真命题,
则在区间上有解,
设，
函数的对称轴为，且,
当时函数取得最大值为.
．
故答案为：.
答案第1页，共2页
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