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热点2-1 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性
函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大.
【题型1 判断函数的单调性】
满分技巧判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性.
【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）
1．下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）
2．已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）
3．已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）
4．已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．是增函数 B．是减函数
C．是增函数 D．是减函数
【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）
5．已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用函数的单调性求参数】
满分技巧利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题.
【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）
6．函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）
7．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．1 C． D．0
【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）
8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）
9．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）
10．已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ．
【题型3 函数的奇偶性及应用】
满分技巧1、常见的奇函数与偶函数 （1）（）为偶函数； （2）（）为奇函数； （3）（）为奇函数； （4）（）为奇函数； （5）（）为奇函数； （6）为偶函数； （7）为奇函数； 2、函数奇偶性的应用 （1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解； （2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； （3）求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值.
【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）
11．已知函数，下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）
12．设函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）
13．已知函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）
14．已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）
15．若奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 奇函数+常数求值】
满分技巧已知为奇函数，则， 设（其中为常数），则，
【例4】（2023·四川达州·统考一模）
16．函数，且，则的值为 .
【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）
17．函数为奇函数，且，若，则 ．
【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）
18．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）
19．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）
20．若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
【题型5 函数的周期性及应用】
满分技巧（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）；
【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）
21．已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）
22．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．3
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）
23．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则 ．
【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）
24．奇函数满足，，则 .
【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）
25．已知定义域为的奇函数满足，当时，，则 .
【题型6 函数的对称性及应用】
满分技巧1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点（a，b）对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
【例6】（2023·全国·高三专题练习）
26．若函数满足，则的图象的对称轴是（ ）
A．轴 B．轴 C．直线 D．不能确定
【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）
27．定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）
28．已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）
29．已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）
30．已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数 .
【题型7 利用函数的性质比较大小】
【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）
31．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）
32．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）
33．已知函数．若为偶函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）
34．已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）
35．已知是定义域为的单调函数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 利用函数的性质解不等式】
满分技巧解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.
【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）
36．已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）
37．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）
38．已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）
39．已知函数，若对任意的，恒成立，则a的取值范围为 .
【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）
40．已知函数，则不等式的解集为 ．
（建议用时：60分钟）
（2023·全国·高三专题练习）
41．设函数，则函数是（ ）
A．偶函数，且在上是减函数 B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是增函数
（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）
42．若为奇函数，则的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
（2023·陕西商洛·统考一模）
43．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）
44．设，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）
45．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）
46．已知函数为定义在上的奇函数，当时，；当时，，则（ ）
A．-24 B．-12 C． D．
（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）
47．已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）
48．已知定义域为的函数满足，且其图像关于直线对称，若当时，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北承德·高三双滦区实验中学校考阶段练习）
49．已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
（2023·山东·高三校联考阶段练习）
50．已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为4 B．
C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
51．设定义在上的函数满足，且当时，，则 ．
（2023·上海浦东新·高三南汇中学校考阶段练习）
52．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ．
（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）
53．设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为 .
（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）
54．已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数．
(1)求的解析式，并判断的单调性；
(2)已知，，且，求的取值范围．
（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）
55．已知函数对任意，，总有，且当时，，．
(1)求证：是上的奇函数；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由题意对于AC，举出反例说明其不是偶函数即可；对于D，举出反例说明其在区间上不是增函数即可；对于B，按偶函数的定义证明并且由幂函数的单调性判断即可.
【详解】对于A，，故不是偶函数，不符题意；
对于B，因为幂函数满足，且其定义域为关于原点对称，
所以是偶函数，且，所以在区间上是增函数，符合题意；
对于C，，故不是偶函数，不符题意；
对于D，，所以在区间上不是增函数，不符题意.
故选：B.
2．C
【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.
【详解】由题意知在单调递增，为奇函数，在上单调递减.
设，则，，
所以在单调递增，故A错误，
设，则，，
在单调递增，故B错误；
设，则，，
所以在单调递减，故C正确；
取，则，，，此时在不单调递减，故D错误.
故选:C.
3．
【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，
又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到，
所以函数的单调增区间是．
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系．
4．A
【分析】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可.
【详解】不妨令，
，
令，，
又，∴是增函数．
故选:A.
5．C
【分析】求出各个选项中函数的定义域，再判断该函数是否同时满足两个条件作答.
【详解】对于A，函数的定义域是，，A不是；
对于B，函数的定义域是R，而在上单调递增，B不是；
对于C，函数的定义域是R，，，
，因，则，
有，即有，因此，在上单调递减，C正确；
对于D，函数的定义域是，，D不是.
故选：C
6．A
【分析】问题可转化为只需即可，讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，从而求出m的范围.
【详解】在上是减函数，只需要即可，
若，则，成立；
若，则是二次函数，由二次函数的性质可得，时恒成立.
若，当和时，，故不成立.
所以，当时，，而是的充分不必要条件.
故选：A.
7．D
【分析】根据指数型复合函数的单调性确定函数在区间 上单调递减成立的充要条件，从而可得其成立的一个充分不必要条件.
【详解】由于函数在上单调递减，
函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递增，
则，解得，
所以函数在区间上单调递减的充要条件为，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：D.
8．B
【分析】换元，设，将化为，根据二次函数的单调性即可求得答案.
【详解】设，则即为，
而图像的对称轴为，故在上单调递增，
则，即的增区间为，
而函数在上单调递增，故，
即实数的取值范围为，
故选：B
9．C
【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可.
【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选：C.
10．
【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
11．D
【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案.
【详解】由于，定义域为
故，定义域为，
，
即不是奇函数，A错误；
，定义域为，不关于原点对称，
即不是奇函数，B错误；
，定义域为，不关于原点对称，
即不是奇函数，C错误；
，定义域为，
，
即为奇函数，D正确，
故选：D
12．B
【分析】函数为奇函数，函数为奇函数，则有函数为偶函数，由可求实数的值.
【详解】函数有意义，有，解得或，
则函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数，
又为奇函数，则为偶函数，
有，即，解得.
故选：B.
13．A
【分析】由题意可得，从而可求出的值
【详解】由题意可得当时，，
因为为上的奇函数，
所以，
所以，
，
所以（舍去），或，
因为，所以.
故选：A.
14．B
【分析】根据题意可得，由函数的奇偶性可得，解之即可求解.
【详解】由题意知，为奇函数，为偶函数，
则，
所以，即，
解得.
故选：B
15．A
【分析】根据题意先确定，根据奇函数求，代入分段函数求解，进而计算可得.
【详解】因为，又因为为奇函数，所以，
因为，所以，
所以.
故选：A
16．0
【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出.
【详解】令，
定义域为或且，关于原点对称，
则，
故为奇函数，
又，故，
解得.
故答案为：0
17．
【分析】由为奇函数可得，解得，再由结合，即可得出答案.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，
所以，即，解得：或（舍去），
故，
因为，，
则
所以，又，所以.
故答案为：
18．
【分析】将函数解析式化为，设，则，记，则为奇函数，根据奇函数的性质及，即可求得的值.
【详解】因为，
设，
则，
设，
则，
所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
由，得，
故答案为：
19．D
【分析】根据函数的奇偶性即可求解.
【详解】令，所以最大值和最小值分别为，
又，故为奇函数，
故的图象关于原点对称，故,
故选：D
20．2
【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得，由函数的奇偶性可知为奇函数，则，进而，即可求解.
【详解】当时，，当或时，，
所以的定义域为.
又，
设，则，∴ g(x) 为奇函数；设 g(x) 的最大数值为M，最小值为N，
则，则的最大数值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为，得．
故答案为：2．
21．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，求出即可求解作答.
【详解】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，因此，即，
则，于是函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，，
从而，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键.
22．A
【分析】根据在上的奇函数，且，得到的周期为4求解.
【详解】解：因为在上的奇函数，且，
所以，即，
所以，则的周期为，
所以，
故选：A
23．5
【分析】根据函数奇偶性的性质分析得出该函数的对称性，借助双对称性的周期将求转换为求即可得.
【详解】由为奇函数，
可得，
则的图象关于点对称，
又的定义域为，则有．
由为偶函数得，
则的图象关于直线对称，
则，
从而，则，
则，
故是周期为4的偶函数，所以．
而，
所以，，故.
故答案为：5.
24．
【分析】根据奇函数得到，确定函数周期为，计算得到答案.
【详解】奇函数满足，则，，
故，函数周期为，
.
故答案为：.
25．
【分析】先对等式进行变形，然后求，，再利用函数的性质进行求解.
【详解】当时，由可得，
则，是周期为的周期函数.
因为，，
所以，得，，
故，
，
故.
故答案为：
26．B
【分析】对已知等式变形，可判断其为偶函数，再利用偶函数的性质可得答案.
【详解】因为，所以，
所以为偶函数，
所以的图象的对称轴为轴．
故选：B
27．B
【分析】根据函数为奇函数及推理可得出函数的周期、对称中心，根据零点定义转化为方程解的关系，结合图象以及对称性即可求解.
【详解】依题意函数为定义在上的奇函数，所以，
又，所以函数关于轴对称，且，
所以，即，
所以，所以函数是周期为4的周期函数，
且函数的图象关于中心对称；
令，得，
由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称，
又当时，，结合对称性和周期性作出函数和的图象，
如图所示，
由图可知，函数和的图象有8个交点，且交点关于中心对称，
所以函数在区间上所有零点之和为.
故选：B
28．C
【分析】首先确定的图象关于对称，然后分和两种情况进行讨论，利用数形结合的方法，在同一直角坐标系中画出，通过判断两函数在上的交点个数即可求出函数的实根和.
【详解】由题意得，，
，
所以的图象关于对称；
当时，，
当时，令可得，
时，，时，，
在同一直角坐标系中画出，
在上有且仅有3个交点，
所以所有的实根之和为，
故选：C.
29．C
【分析】首先对进行变形，构造函数，，推得其对称中心为，且上在单调递增，再结合对称性和单调性将转化为,再利用基本不等式求解的最大值.
【详解】由，
记，，
则，，
且单调递增，单调递增，
则与都关于中心对称且为上的增函数,
所以，
故关于中心对称且为上增函数，
则由，得，可得，
记，
则，
可得，当且仅当，即取等号，
故的最大值为.
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得的对称中心，从而得到，的关系，进而利用基本不等式求解最值.
30．
【分析】根据题意可得两函数均是以点为对称中心的函数，结合对称中心的性质建立等式即可求解.
【详解】不妨记，，
函数，与是奇函数且关于坐标原点对称，
所以两个函数均是以点为对称中心的函数，
所以三个交点其中一个必是点，另外两个点关于点对称，
不妨记，设，
所以，即，解得或，.
故答案为：.
【点睛】求出函数对称中心，利用函数对称中心的性质是求解本题的关键.
31．B
【分析】利用指数函数和对数函数性质，得出，结合偶函数以及单调性即可得出结论.
【详解】，
即，由于函数是偶函数，
在区间上单调递减，所以在上单调递增，
则，
故选：B
32．A
【分析】根据题意，由条件可得为奇函数，且在单调递增，由函数的单调性即可得到结果.
【详解】因为
则函数定义域为，
且满足，
即，所以函数为奇函数，
又由函数，都是上单调递增函数，
所以在单调递增，
因为且，所以，
又因为，，所以，
因为在单调递增，所以．
故选：A．
33．A
【分析】根据函数对称轴可得，进而可知在上为增函数，令，利用导数可得，以及，进而分析得解.
【详解】因为为偶函数，则，
可知的对称轴为，
又因为均只有一条对称轴，
可知只有一条对称轴，则，可得，
所以，
当时，，
因为在上为增函数，则在上为增函数，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
可得，即，则；
由，可得，则；
即，可得，所以．
故选：A．
【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数，对应的不等式为，以及变形的．此类不等式常用的有，，，，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．
34．A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性结合中间值“0”和“1”可得的大小关系，再结合的单调性分析判断.
【详解】因为在内单调递增，则，即；
在内单调递增，则，即；
在内单调递减，则，所以；
综上所述：.
又因为在内单调递增，所以.
故选：A.
35．C
【分析】由已知与函数单调，可得存在唯一，使，则，由求解，再由，根据指对函数的对称性作出图象比较大小，然后根据单调递增，比较大小即可.
【详解】由已知，令，
又因为是定义域为的单调函数．
所以存在唯一，使，即，
所以，解得，
所以.
如图所示作出与的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线对称，
由，
在图中作直线，则与的交点的横坐标依次为，
可得，
又因为是单调递增的，
所以，
故选：C.
36．A
【分析】首先根据题意可得或的解集，再分和两种情况求不等式的解集.
【详解】由题意可知，当时，，当时，，
当或时，，
当时，，则，由已知可得，解得，又，所以；
当时，，则，
由已知可得或，解得或，又，所以.
综上，可得不等式的解集为.
故选：A
37．A
【分析】根据函数的奇偶性定义可判断为偶函数，即可根据基本函数的单调性确定的单调性，即可求解.
【详解】的定义域为，且，所以为偶函数，
又当，由于函数均为单调递增函数，所以在上单调递增，
又，．
故选：A．
38．B
【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数的单调性，通过赋值，求得和，再利用奇偶性和单调生即可求出结果.
【详解】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，
∴，
又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，
故选：B.
39．
【分析】利用奇函数定义和单调性的定义判断为R上递减的奇函数，然后将不等式化为，从而对任意的恒成立，分类讨论，利用判别式法求解即可.
【详解】由题易知，的定义域为R，因为，
所以为奇函数.
又，
函数在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减.
若对任意的，恒成立，
即，又为奇函数，得，
因为在上单调递减，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
当时，不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得.
综上，a的取值范围为.
故答案为：
40．
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，求解不等式.
【详解】由题可得，当时，，，
当时，，
所以函数为偶函数．
当时，，
此时恒成立，
所以函数在上单调递增，
由为偶函数可得，函数在上单调递减．
又因为，
所以，即，
所以，即或，
解得或，
所以的解集为．
故答案为：
41．D
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，再由复合函数的单调性即可判断其单调性.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
则函数定义域为关于原点对称，
且，
则函数是奇函数；
且，
其中在上单调递增，在上单调递增，
所以函数在上是增函数；
故选：D
42．B
【分析】先利用奇函数的性质求出，再根据复合函数单调性求解即可.
【详解】因为为奇函数，且定义域为，
所以，解得，当时，，满足题意，
则（或），
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
且在其定义域上单调递增，
所以复合后，的单调递减区间为，
故选：B
43．B
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B
44．A
【分析】对于结合不等式的性质，易判断大小；对于可构造函数，利用导数的单调性、最值即可判断.
【详解】对于，显然，，所以；
对于，
可构造函数，且，
所以，
当时，所以在单调递增，
当时，所以在单调递减，
所以，所以，
所以，即，故，所以.
综上：.
故选:A.
45．C
【分析】判断出函数奇偶性、单调性，可得，再解不等式可得答案.
【详解】由题意，函数，
所以是偶函数，令，设，
则，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
因为不等式，所以，
解得，或，
则不等式的解集是.
故选：C.
46．D
【详解】根据函数解析式得到，再根据奇函数性质计算得到答案.
【分析】.
为奇函数，故，所以.
故选：D.
47．A
【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，
又，所以，
所以，则是周期为的周期函数，
又因为，即，
又当时，，所以，解得，
所以，
所以.
故选：A
48．D
【分析】求得，又由得，根据点关于直线的对称点为，即可求得.
【详解】设点在函数的图象上，
则关于直线的对称点为，
则，解得，则，
又时，，
则，
又，
所以，
则，
此图象关于对称，所以，
故选：D.
【点睛】本题的关键点有两个：一是根据条件求得点关于直线的对称点；二是求得后，根据，求得.
49．ABC
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确；
所以，，，
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，故B正确；
，是偶函数，A正确；
对任意的，且，都有，即时，
，所以在是单调递增，
，，，
，∴，故D错．
故选：ABC．
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可.
50．ABD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称；
所以
所以①，
而②，将两式相加得：，
则③，所以，
所以是的一个周期，故A正确；
对B、C、D：由A项知令，由③得，由①，
得，由②得，
则，所以，所以，
故D正确；
由①令，得，，
由，，得，
两式相减得，
即，且关于对称，，
所以④，所以，
所以是周期为的周期函数，所以，故B正确；
由④令，得，所以，所以，故C错误；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：分别求出，的奇偶性及周期，从而求解.
51．1010
【分析】根据函数的周期性，结合函数解析式，即可求得函数值.
【详解】∵，
∴函数的周期．
∵当时，，
∴，，
∴，．
故．
故答案为：1010
52．
【分析】利用单调性与奇偶性解不等式．
【详解】因为当且时，总有，
即当时，，所以是上的减函数，
又，则是偶函数，且在上递减，
不等式即为，也即，
所以，，，
故答案为：．
53．
【分析】根据函数的奇偶性求得，利用构造函数法，结合函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】的定义域为且为奇函数，
所以，
，
所以，，
设，
则，所以是奇函数，
依题意可知，在的最大值为，
所以在的最小值为，
所以在的最小值为.
故答案为：
54．(1)，在上单调递增
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性求得，再利用指数函数的单调性与单调性和差的性质即可得解；
（2）利用的奇偶性与单调性，分类讨论的取值范围，结合指对数的运算法则即可得解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，为偶函数，
令，则，
故，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
综上，，在上单调递增.
（2）因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
，且，
，即，则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为.
55．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用进行赋值，即可得到函数奇偶性.
（2）结合定义法证明在上的增减性.
（3）利用单调性和奇偶性进行不等式的变形，之后借助单调性进行不等式的求解.
【详解】（1）证明：函数对任意，，总有，令，则，解得.
令，得到，则
可证，是上的奇函数.
（2）证明：在上任取、且，则，
由（1）是上的奇函数，
所以，
因为，所以.
由题可知，当时，，
所以.即
所以函数是上的减函数.
（3）因为，
令，则
令，则.
因为，
所以
又因为函数是上的减函数，
所以，则，解得，
则实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：在对抽象函数进行奇偶性求解时，可先进行赋值计算，再令代入即可判断函数的奇偶性.
答案第1页，共2页
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