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热点2-3 函数的最值（值域）及应用
函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终.在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容.
【题型1 单调性法求函数的最值（值域）】
满分技巧函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）基本初等函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数可直接判断函数的单调性，从而求得值域； （2）可根据单调性的运算性质判断函数的单调性. （3）对于复合函数，可根据“同增异减”判断函数的单调性.
【例1】（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）
1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·广东中山·高三校考阶段练习）
2．函数，的值域为
【变式1-2】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）
3．已知函数，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）
4．已知函数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式1-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）
5．已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 图象法求函数的最值（值域）】
满分技巧画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值，常见于含绝对值的函数.
【例2】（2023·全国·模拟预测）
6．已知函数．
(1)画出的图像，并直接写出的值域；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式2-1】（2023·河南新乡·高三校考阶段练习）
7．对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为 .
【变式2-2】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）
8．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·北京·高三北京四中校考期中）
9．已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 换元法求函数的最值（值域）】
满分技巧换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元；
【例3】（2023·广东河源·高三校联考开学考试）
10．函数的最大值为 .
【变式3-1】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）
11．函数的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）
12．求函数的值域.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）
13．求函数的值域.
【题型4 分离常数法求函数的最值（值域）】
满分技巧分离常数法： （1）形如的函数，可分离为，然后求值域； （2）形如，将分子配成分母的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为； （3）形如，将分母配成分子的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为
【例4】（2023·全国·高三专题练习）
14．函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）
15．求函数的值域．
【变式4-2】（2023·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）
16．若，则函数的值域是 .
【变式4-3】（2023·全国·高三对口高考）
17．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 判别式法求函数的最值（值域）】
满分技巧形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域.
【例5】（2023·河南平顶山·高三阶段练习）
18．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【变式5-1】（2022·陕西·高三校联考阶段练习）
19．函数的值域是 .
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）
20．求函数的值域.
【变式5-3】（2023·广东茂名·统考二模）
21．已知实数a，b满足，则的最小值是 .
【题型6 几何法求函数的最值（值域）】
满分技巧分析代数式的结构，一般情况表示的斜率、截距、距离等几何意义.
【例6】（2023·河北·校联考三模）
22．函数的值域是 ．
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）
23．函数的值域为
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）
24．函数的值域为 .
【变式6-3】（2023·陕西铜川·校考一模）
25．若，则函数的值域是 ．
【题型7 导数法求函数的最值（值域）】
满分技巧对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数单调性； 如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处.
【例7】（2023·全国·模拟预测）
26．已知函数，则的最小值为 ．
【变式7-1】（2023·上海虹口·高三校考期中）
27．函数在区间上的最大值是 .
【变式7-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）
28．函数的最小值为 ．
【变式7-3】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）
29．已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【题型8 已知函数的最值（值域）求参数】
满分技巧已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域（或最值）的求法，得到函数的最值（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围.
【例8】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）
30．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·上海青浦·统考一模）
31．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【变式8-2】（2023·湖北武汉·统考一模）
32．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2022·河北衡水·高三校联考阶段练习）
33．已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（建议用时：80分钟）
（2023·河北·校联考模拟预测）
34．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）
35．已知函数，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
36．已知，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
37．函数y＝3－4的最小值为（ ）
A．－8 B．8 C．－10 D．10
（2023·全国·高三专题练习）
38．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽·高三校联考阶段练习）
39．设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）
40．已知函数f(x)的定义域为A，若对任意，都存在正数M使得总成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
41．函数的值域为
（2023·全国·高三专题练习）
42．函数在上的最大值为 ．
（2023·全国·高三专题练习）
43．求函数的值域为 .
（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）
44．函数的最大值为 .
（2023·河北·高三校联考阶段练习）
45．函数的最小值为 ．
（2023·全国·高三专题练习）
46．函数的值域是 ．
（2021·全国·模拟预测）
47．函数的值域为 .
（2023·陕西咸阳·高三统考期中）
48．若对任意实数a，b规定，则函数的最大值为 .
（2023·全国·高三专题练习）
49．已知，，，则的最小值为 .
（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）
50．已知函数是定义域为的偶函数.
(1)求a的值；
(2)若，求函数的最小值.
（2023·海南·高三校联考阶段练习）
51．已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
所以该函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，即函数的值域为.
故选：B.
2．
【分析】由初等函数的单调性判断函数单调性，进而求值域.
【详解】因为和在上均为减函数，
所以在上为减函数，
所以，即，
所以值域为.
故答案为：
3．B
【分析】先判断的单调性，即可得出答案.
【详解】当时，在上单调递增，
此时，，
当时，在上单调递减，
此时，，
综上可知，的最大值为.
故选：B.
4．A
【分析】根据函数的单调性求出的最值，由即可得结果.
【详解】由“对勾函数”的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，
故选：A.
5．D
【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则．
因为为上的增函数，且，所以，
所以．因为在上单调递增，所以，得．
故选：D.
6．(1)图象见解析，函数的值域是
(2)或.
【分析】（1）将化为分段函数，根据分段函数的解析式画出图象，根据图象可得值域；
（2）化为，解不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
所以，
的图象如图：
由图可知，函数的值域是.
（2）若不等式恒成立，则，
则，即，
解得或.
7．
【分析】分别求出，的解集，即可得出函数的解析式，再根据一次函数和二次函数的图象作图即可，即可求出函数的最小值，从而可得出答案.
【详解】解：当，即，
即时，，
当当，，
即或时，，
所以，
函数图象如图所示：

由图可得，函数在，上递减，在上递增，
所以.
故答案为：.
8．B
【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数满足，且当时，
当时，可得；
当时，可得，
所以在区间上，可得，
作函数的图象，如图所示，
所以当时，，
故选：B.

9．C
【分析】作出函数的图象，将问题转化为函数上的点到直线的距离，在区间上的最大值问题，然后观察图象可得.
【详解】作出函数的图象如图：
因为，
因为，所以，
表示函数上的点到直线的距离，
由图可知，当时，取得最大值，最大值为；
当时，，
结合图象可知，在区间上总有，
所以，此时的最大值为；
当时，由图可知，，
且.
综上，在区间上的最大值的取值范围为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题主要考查分段函数图象的运用，关键在于作图和简问题转化为在区间上点到直线的距离的最值问题.
10．##
【分析】利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【详解】令，则，所以，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，
所以函数在单调递增，在上单调递减.
所以当，即时，
取得最大值为.
故答案为：.
11．C
【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值.
【详解】由解析式易知的定义域为，
令（），
所以，则，
由，可知，
，所以，则，
所以（），
则，
所以的最大值为.
故选：C.
12．
【分析】由题意令，代入化简可得，再由三角函数的性质即可得出答案.
【详解】由 ，可令
原函数可整理为：
因为 ，所以，则，
当 ；当，
所以函数的值域为.
13．
【分析】由题意可设 ，则，由二倍角的正弦、余弦公式化简函数，再由三角函数的性质即可得出答案.
【详解】因为函数的定义域为，即，
设 ，
原函数转化为：
因为，所以，所以，
所以，所以
所以函数的值域为.
故答案为：.
14．D
【分析】将化简为，求出的值域，进而可求得的值域.
【详解】解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
15．
【分析】先分离常数，再分类讨论与，结合换元法与对勾函数的性质即可得解.
【详解】，
当时，，
当时，，
令，则，，
所以，
由对勾函数的值域可知，当时，，
所以，
所以．
综上所述，函数的值域为．
16．
【分析】先将函数变形为，再利用基本不等式求最值即可求得函数的值域.
【详解】∵.
当时，，
当且仅当，即时取等号；
故函数的值域为.
故答案为：.
17．C
【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由可得，
当时，故，当且仅当时等号成立，
而恒成立，故，
故的值域为，
故选：C
18．B
【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值．
【详解】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
19．
【分析】由已知函数可知定义域为，转换成二次方程有根问题，利用判别式法求解即可.
【详解】解：由函数可知
所以，整理得：
当时，，符合；
当时，则关于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且
解得：，
综上得：.
故答案为：.
20．
【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域.
【详解】因为，
所以当时，；
当时，原函数化为，
所以，整理得，
解得即或，
∴综上，函数的值域为.
21．
【分析】先判断出，且.令，利用判别式法求出的最小值.
【详解】因为实数a，b满足，
所以，且.
令，则，所以，
代入，则有，
所以关于b的一元二次方程有正根，
只需，解得：.
此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.
综上所述：.
即的最小值是（此时，解得：）.
故答案为：.
22．
【分析】函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，由此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案.
【详解】函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，
易知动点在以为圆心，1为半径的圆除以外的点上，
易知直线的斜率存在，设为，则直线为即，
则，解得，即值域为.
故答案为：
23．
【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，利用直线与圆的位置关系可求得过的圆的切线的斜率，结合图象可确定结果.
【详解】表示点与点连线的斜率，
的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.
故答案为：.
24．
【分析】将问题化为轴上点到与距离差的范围，利用三角形三边关系及绝对值不等式，讨论端点情况，即可得值域.
【详解】由题设，
所以所求值域化为求轴上点到与距离差的范围，如下图示，
由图知：，即，
当三点共线且在之间时，左侧等号成立；
当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以，即，
所以函数值域为.
故答案为：
25．
【分析】化简可得.令，根据几何意义求出的范围，即可得出答案.
【详解】，
设，，则.
由于，则，且.
设，
由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.
由图知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域为．
故答案为：．
26．
【分析】根据题意，求得，设，求得，得到函数的单调性，进而求得在上单调递减，进而求得的最小值，得到答案.
【详解】因为，可得，
设，则，
令，可得，令，得，
所以函数，即函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以，所以在上单调递减，则．
故答案为：.
27．
【分析】利用导数判断的单调性，从而得解.
【详解】因为，所以，
令，得；令，得；
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故答案为：.
28．
【分析】根据题意，当，得到在上单调递减，求得最小值为，若，求得，得到函数单调性和最小值，进而得到函数的最小值.
【详解】由函数的定义域为，
1.若，函数，此时在上单调递减，
此时函数的最小值为；
2.若，函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以此时的最小值为；
又由，即，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
29．B
【分析】由得，构造函数，利用单调性得，记，求导，利用函数单调性求最值即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
设，则，当时，，
所以函数在上单调递增，由得，
所以，所以，
所以，记，
则，所以，记，
则，
所以函数在上单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
所以，当时，，即的最大值为.
故选：B
30．A
【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.
【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．
所以或，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
31．
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
32．B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
33．D
【分析】注意观察时，，所以让时， 恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解.
【详解】当时，，
又因为的最小值为2，
，所以需要当时， 恒成立，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令 ，则，
原式转化为在恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线，
所以在上 最大值为，
所以，
故选：D.
34．D
【分析】原式整理化简为，可构造函数，使用函数的单调性求解.
【详解】∵
∴原式
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又∵，，
，
∴当时，，
∴当，的取值范围是.
故选：D.
35．C
【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可.
【详解】由，得，
所以函数定义域为，
因为由外层函数和内层函数复合而成，
当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减，
当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：C
36．D
【分析】根据题意令，然后代入所求的表达式，根据对勾函数的单调性即可求解,
【详解】因为，，令．
所以
，因为函数在上单调递增，故，
即的最大值为，
故选：D．
37．A
【分析】利用三角换元将问题转化为求三角函数的最值问题，计算即可.
【详解】由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2，2].
因为，故可设，
则，
（其中有）.
因为，所以.
所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8.
故选：A
38．A
【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
39．AB
【分析】先得到函数的值域，从而得到的范围，结合条件即可求解.
【详解】因为，则，
所以函数的值域是，
则的范围是，
于是的函数值可能是或，
故选：.
40．BC
【分析】可求每个选项函数的值域，然后求出的范围即可得出该函数是否为有界函数．
【详解】对于A：的定义域为,，令，则，
，，
不存在正数，使得总成立，不是有界函数；
对于B：的定义域为，
，所以，
存在，使得，是有界函数；
对于C：，
，
存在，使得，是有界函数；
对于D：，
由于时，单调递增，此时，
故不存在正数，使得总成立，不是有界函数；
故选：BC．
41．
【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.
故答案为：.
42．
【分析】由为增函数，然后根据增函数减函数=增函数，可判断出在上单调递增，进而求出最大值.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，.
故答案为：
43．
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
44．##
【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
45．
【分析】对进行分类讨论，利用导数求得的最小值.
【详解】，
当时，，
所以在区间上单调递增，最小值是.
当时，，
所以在区间上单调递减.
综上所述，的最小值为.
故答案为：
46．
【分析】将化为，利用余弦函数的有界性，即，解不等式即可得答案.
【详解】由，可得，
当时等式不成立，∴，则有，
∵，∴，，或，
∴函数的值域是，
故答案为：
47．
【分析】，令，则，然后用法求解即可.
【详解】由题可得，，令，则，
即，当，即时，；
当，即时，要使方程有解，则需，得.
综上，
故答案为：
48．2
【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到值域，求出最大值.
【详解】，
若，即时，
，
若，即或时，
，
当时，单调递减，故，
当时，单调递增，故，
故或时，，
综上，函数的最大值为2.
故答案为：2
49．##
【分析】分别作，的图象，取点，，则原式可看为两图象上各取一点的距离的平方，可转化为图象上点到圆心的距离减半径的平方.计算结果即可.
【详解】解：分别作，的图象，
分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设为与的交点，
，即.
当且仅当时，取等号.
故得的最小值为.
故答案为：.

50．(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的定义转化为等式恒成立问题，由系数为求值即可；
（2）由换元法，把函数转化为二次函数，然后分类讨论确定函数的最小值，从而求得参数值．
【详解】（1）
则，
因为是定义域为的偶函数，
则，
即对任意恒成立，则；
（2）由（1）知，
则
，
令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
则原函数化为：，，
①当即时，
在上单调递增，
则，即，；
②当，即时，
在单调递减，在单调递增，
则；
即，
综上所述，.
51．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
答案第1页，共2页
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