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【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册3.1同底数幂的乘法 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·萧山期中）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023七下·石家庄期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（　　）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙
4．（2023七下·茶陵期末）已知，，，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023七下·海曙期中）若m，n均是正整数，且2m+1×4n=128，则m+n的所有可能值为（　　）
A．5或4 B．3或4 C．2或3 D．6或5
6．（2023七下·怀宁期中）若 ，则n为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．（2023七下·义乌期中）甲、乙两人同解方程组时，甲正确解得，乙因为抄错而解得，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
8．从棱长为4a的正方体中，挖去一个棱长为2a的小正方体，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的体积是（　　）
A．4a3 B．8a3 C．56a3 D．58a3
二、填空题
9．（2023七下·麻阳期中）计算：　 　．
10．已知2a·3b·167c=2004， 其中a， b， c均为正整数，则a+b+c的值为　 　
11．（2019七下·丰县月考）已知2m+5n+3=0，则4m×32n的值为　 　.
12．有下列运算：① .其中正确的是　 　（填序号）.
三、解答题
13．（2023七下·仪征期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
（1）计算：
①；
②；
（2）若，请求出的值．
14．阅读材料，根据材料回答：
例1(-2)3×33
=(-2)×(-2)×(-2)×3×3×3
=[(-2)×3]×[(-2)×3]×[(-2)×3]
=[(-2)×3]3
=(-6)3
=-216．
例2：86×0.1256
=8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
=(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)
=(8×0.125)6
=1．
（1）仿照上面材料的方法计算：
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an·bn=　 　(用字母表示)
（3）用(2)的规律计算：
15．（2022七下·江阴期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a =27=32·3b.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的 光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，和不是同类项，无法合并，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘；
合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式
=2a×4b =5×7 =35
故选：A
【分析】 根据同底数幂的乘法法则原式可得，再根据幂的乘方可得，代值计算即可。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，，
∴a＞b，
∴甲的判断正确；
∵，，
∴ab＞c，
∴乙的判断正确；
∵，
又∵，
∴b-c＜0，
∴b＜c，
∴丙的判断正确；
综上所述：甲、乙、丙判断正确；
故答案为：D.
【分析】利用幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法法则等计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：A.
【分析】先利用幂的乘方的计算方法将a、b、c化为底数一样的幂，再比较大小即可.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2m+1×4n=2m+1×22n=2m+2n+1=2128=27，
∴m+2n+1=7.
∵m、n均为正整数，
∴当m=2时，n=2，此时m+n=4；
当m=4时，n=1，此时m+n=5.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则可2m+1×4n=2m+2n+1=27，则m+2n+1=7，然后结合m、n均为正整数可得m、n的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
∴，
故答案为：D．
【分析】利用有理数的乘方、合并同类项的计算方法及同底数幂的乘法计算方法求解即可。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程组的解；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
.
故答案为：C.
【分析】将x=3、y=-2代入方程ax+by=2中可得3a-2b=2；将x=-2、y=2代入ax+by=2中可得-2a+2b=2，联立求出a、b的值，然后根据乘方法则以及同底数幂的乘法法则进行计算.
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据该几何体的体积=大正方体的体积-小正方体的体积可得，
（4a）3-（2a）3=64a3-8a3=56a3；
故答案为：C.
【分析】结合题意和正方体的体积公式即可列出代数式，根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，将代数式化简计算即可求解.
9．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解： -1.5× -1.5×=-1.5；
故答案为：-1.5.
【分析】利用同底数幂的乘法及积的乘方将原式变形为-1.5×，再计算即可.
10．【答案】4
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：∵ 2004=22×3×167= 2a·3b·167c，
∴a=2，b=1，c=1，
∴ a+b+c =4.
故答案为：4.
【分析】由2004=22×3×167= 2a·3b·167c， 可确定a、b、c的值，再代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】4m×32n，
=22m×25n，
=22m+5n，
∵2m+5n+3=0，
∴2m+5n=-3，
∴4m×32n=2-3= .
故答案为 .
【分析】都化成以2为底数的幂的运算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后求出2m+5n=-3，再根据负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数进行计算即可得解.
12．【答案】②
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：①（-x2）3=-x6，故原计算错误；①不符合题意；
②3xy-3yx=0，故原计算正确；②符合题意；
③3100×（-3）100=3200，故原计算错误；③不符合题意；
④m·m5·m7=m13，故原计算错误；④不符合题意；
⑤3a4+a4=4a4，故原计算错误；⑤不符合题意；
⑥（x4）2=x8，故原计算错误；⑥不符合题意；
故答案为：②.
【分析】根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；同底数幂相乘的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；对各小题进行计算，即可求解.
13．【答案】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方
【解析】【分析】（1）①利用幂相同的两个数相乘，指数不变，把底数相乘，然后进行计算；②利用阅读材料将原式转化为，然后进行计算.
（2）将等式的右边转化为底数为3的幂，再根据底数不变，指数相加，可得到，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
14．【答案】（1）解：原式==1.
（2）（ab）n
（3）解： =
=-1×=.
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；积的乘方
【解析】【解答】解：（2） an·bn= （ab）n，
【分析】（1）利用有理数的乘方及乘法的结合律进行计算即可；
（2）由（1）直接写出结果即可；
（3）利用规律，结合有理数的乘方及乘法的结合律进行计算即可.
15．【答案】（1）解：∵a、b满足3a =27=32·3b，
∴3a =33=32+b，
∴a=3，2+b=3，
∴b=1.
（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t=（20+t）×1
解得t=10；
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）2：3
【知识点】同底数幂的乘法；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
又∠ACD=90°
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BCD：∠BAC=2：3
【分析】（1）由a、b满足的等式和同底数幂的乘法法则可得3a=33=32×3b=32+b，根据等式的性质可得关于a、b的方程，解之可求解；
（2） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，根据平行线的性质可得关于t的方程，解之可求解；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，由角的构成∠BAC=∠BAN-∠CAN可将∠BAC用含t的代数式表示出来，由平行线的性质和角的构成∠BCA=∠CBD+∠CAN可将∠BCA用含t的代数式表示出来，由角的构成∠BCD=∠ACD-∠BCA可将∠BCD用含t的代数式表示出来，然后代入∠BCD：∠BAC计算可求解.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册3.1同底数幂的乘法 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·萧山期中）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，和不是同类项，无法合并，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘；
合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式
=2a×4b =5×7 =35
故选：A
【分析】 根据同底数幂的乘法法则原式可得，再根据幂的乘方可得，代值计算即可。
3．（2023七下·石家庄期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（　　）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，，
∴a＞b，
∴甲的判断正确；
∵，，
∴ab＞c，
∴乙的判断正确；
∵，
又∵，
∴b-c＜0，
∴b＜c，
∴丙的判断正确；
综上所述：甲、乙、丙判断正确；
故答案为：D.
【分析】利用幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法法则等计算求解即可。
4．（2023七下·茶陵期末）已知，，，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：A.
【分析】先利用幂的乘方的计算方法将a、b、c化为底数一样的幂，再比较大小即可.
5．（2023七下·海曙期中）若m，n均是正整数，且2m+1×4n=128，则m+n的所有可能值为（　　）
A．5或4 B．3或4 C．2或3 D．6或5
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2m+1×4n=2m+1×22n=2m+2n+1=2128=27，
∴m+2n+1=7.
∵m、n均为正整数，
∴当m=2时，n=2，此时m+n=4；
当m=4时，n=1，此时m+n=5.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则可2m+1×4n=2m+2n+1=27，则m+2n+1=7，然后结合m、n均为正整数可得m、n的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
6．（2023七下·怀宁期中）若 ，则n为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
∴，
故答案为：D．
【分析】利用有理数的乘方、合并同类项的计算方法及同底数幂的乘法计算方法求解即可。
7．（2023七下·义乌期中）甲、乙两人同解方程组时，甲正确解得，乙因为抄错而解得，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程组的解；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
.
故答案为：C.
【分析】将x=3、y=-2代入方程ax+by=2中可得3a-2b=2；将x=-2、y=2代入ax+by=2中可得-2a+2b=2，联立求出a、b的值，然后根据乘方法则以及同底数幂的乘法法则进行计算.
8．从棱长为4a的正方体中，挖去一个棱长为2a的小正方体，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的体积是（　　）
A．4a3 B．8a3 C．56a3 D．58a3
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：根据该几何体的体积=大正方体的体积-小正方体的体积可得，
（4a）3-（2a）3=64a3-8a3=56a3；
故答案为：C.
【分析】结合题意和正方体的体积公式即可列出代数式，根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，将代数式化简计算即可求解.
二、填空题
9．（2023七下·麻阳期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解： -1.5× -1.5×=-1.5；
故答案为：-1.5.
【分析】利用同底数幂的乘法及积的乘方将原式变形为-1.5×，再计算即可.
10．已知2a·3b·167c=2004， 其中a， b， c均为正整数，则a+b+c的值为　 　
【答案】4
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：∵ 2004=22×3×167= 2a·3b·167c，
∴a=2，b=1，c=1，
∴ a+b+c =4.
故答案为：4.
【分析】由2004=22×3×167= 2a·3b·167c， 可确定a、b、c的值，再代入计算即可.
11．（2019七下·丰县月考）已知2m+5n+3=0，则4m×32n的值为　 　.
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】4m×32n，
=22m×25n，
=22m+5n，
∵2m+5n+3=0，
∴2m+5n=-3，
∴4m×32n=2-3= .
故答案为 .
【分析】都化成以2为底数的幂的运算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后求出2m+5n=-3，再根据负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数进行计算即可得解.
12．有下列运算：① .其中正确的是　 　（填序号）.
【答案】②
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：①（-x2）3=-x6，故原计算错误；①不符合题意；
②3xy-3yx=0，故原计算正确；②符合题意；
③3100×（-3）100=3200，故原计算错误；③不符合题意；
④m·m5·m7=m13，故原计算错误；④不符合题意；
⑤3a4+a4=4a4，故原计算错误；⑤不符合题意；
⑥（x4）2=x8，故原计算错误；⑥不符合题意；
故答案为：②.
【分析】根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；同底数幂相乘的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；对各小题进行计算，即可求解.
三、解答题
13．（2023七下·仪征期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：；
解：原式
（1）计算：
①；
②；
（2）若，请求出的值．
【答案】（1）解：①
；
②
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方
【解析】【分析】（1）①利用幂相同的两个数相乘，指数不变，把底数相乘，然后进行计算；②利用阅读材料将原式转化为，然后进行计算.
（2）将等式的右边转化为底数为3的幂，再根据底数不变，指数相加，可得到，据此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
14．阅读材料，根据材料回答：
例1(-2)3×33
=(-2)×(-2)×(-2)×3×3×3
=[(-2)×3]×[(-2)×3]×[(-2)×3]
=[(-2)×3]3
=(-6)3
=-216．
例2：86×0.1256
=8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
=(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)
=(8×0.125)6
=1．
（1）仿照上面材料的方法计算：
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an·bn=　 　(用字母表示)
（3）用(2)的规律计算：
【答案】（1）解：原式==1.
（2）（ab）n
（3）解： =
=-1×=.
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；积的乘方
【解析】【解答】解：（2） an·bn= （ab）n，
【分析】（1）利用有理数的乘方及乘法的结合律进行计算即可；
（2）由（1）直接写出结果即可；
（3）利用规律，结合有理数的乘方及乘法的结合律进行计算即可.
15．（2022七下·江阴期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a =27=32·3b.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的 光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC　 　.
【答案】（1）解：∵a、b满足3a =27=32·3b，
∴3a =33=32+b，
∴a=3，2+b=3，
∴b=1.
（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t=（20+t）×1
解得t=10；
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）2：3
【知识点】同底数幂的乘法；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
又∠ACD=90°
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BCD：∠BAC=2：3
【分析】（1）由a、b满足的等式和同底数幂的乘法法则可得3a=33=32×3b=32+b，根据等式的性质可得关于a、b的方程，解之可求解；
（2） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，根据平行线的性质可得关于t的方程，解之可求解；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，由角的构成∠BAC=∠BAN-∠CAN可将∠BAC用含t的代数式表示出来，由平行线的性质和角的构成∠BCA=∠CBD+∠CAN可将∠BCA用含t的代数式表示出来，由角的构成∠BCD=∠ACD-∠BCA可将∠BCD用含t的代数式表示出来，然后代入∠BCD：∠BAC计算可求解.
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