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滚动复习1
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·河北石家庄高二期中]已知A＝C，则n＝(　　)
A．6B．7C．8D．9
2．[2023·河南周口高二期中]若C＝C，则n＝(　　)
A．2B．2或3C．3D．4
3．[2023·江西新余高二期末]11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年．七位渔民分在一个小组，各驾驶一艘渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有(　　)
A．96种B．120种C．192种D．240种
4．[2023·河北保定高二期中]某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)
A．12B．20C．24D．30
5．[2023·河南新乡高二期中]一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有(　　)
A．120种B．60种C．40种D．20种
6．[2023·河北唐山高二期中]甲、乙、丙、丁4名大学生分配到3个不同的单位，每人去1个单位，每个单位至少1人，则不同的分配方案共有(　　)
A．24种B．36种C．64种D．81种
7．[2023·河南郑州高二期中]5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为(　　)
A．60B．90C．150D．240
8．[2023·河北石家庄高二期中]某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面(有公共棱的两个面)所涂颜色不能相同．若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(　　)
A．600种B．1080种C．1200种D．1560种
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·黑龙江七台河高二期中]为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　　)
A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法
B．某学生从中选5门，共有6种选法
C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
10．某校计划安排五位老师(包含甲、乙)担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是(　　)
A．若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种
B．若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种
C．若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种
D．若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84种
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
三、填空题(每小题5分，共15分)
11．[2023·广东东莞高二期末]用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有________种不同的着色方法．(用数字作答)
A B C
12.[2023·黑龙江齐齐哈尔高二期中]某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会．晚会组委会计划在原定排好的6个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来6个节目的出场顺序不变，则有________种不同排法．(用数字作答)
13．由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列(由高数位到低数位)，这样的七位数有________个．
四、解答题(共35分)
14．(10分)[2023·山东滨州高二期末]书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书．
(1)从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？
(2)从书架中的第1，2，3层各取2本书，共有多少种不同的取法？
15．(10分)[2023·安徽马鞍山高二期中](1)3名男生和4名女生站成一排，男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排队方法？
(2)3名男生和4名女生站成一排，男生彼此不相邻，有多少种不同的排队方法？
(3)把6个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法？
16．(15分)已知从左到右有5个空格．
(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
(2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
滚动复习1
1．解析：A＝C，即＝，故n－2＝3！＝6，故n＝8.
答案：C
2．解析：因为C＝C，则n＝2或2＋n＝5，所以n＝2或3.
答案：B
3．解析：由题意可知丙必须在最中间(第4位)，则甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有ACA＝192种．
答案：C
4．解析：这2个新节目插入节目单中，
若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选1个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，
此时有CA＝8种插法，
若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中，
选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变，
此时有A＝12种插法，
所以共有8＋12＝20(种)插法．
答案：B
5．解析：首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位置，包括两端，
从5个空位置中选出3个空位置，即C，然后3人全排列为A，
所以不同的坐法共有C·A＝10×6＝60(种).
答案：B
6．解析：由题意，不同的分配方案共有C·A＝36种．
答案：B
7．解析：当每组人数为2，2，1时，方法有×A＝90种．
当每组人数为3，1，1时，方法有C×A＝60种．
所以不同的分配方法种数为90＋60＝150(种).
答案：C
8．解析：若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排列，即A＝720种；
若用4种颜色，从6种颜色任选4种有C＝15种，
再任选一种颜色涂在其中一组对面上有CC＝8种，其它3种颜色作全排列有A＝6种，
所以共有15×8×6＝720(种)；
若用3种颜色，从6种颜色任选3种有C＝20种，
再任选两种颜色涂在两组对面上有A＝6种，余下的一种颜色涂在底面有1种，
所以共有20×6×1＝120(种)；
综上，不同的涂色方案有720＋720＋120＝1560(种).
答案：D
9．解析：先把课程“射”“御”排在前两周共有A＝2种，再排其他四门共有A＝24种，所以共有A·A＝48种排法，故A错误；6门中选5门共有C＝6种，故B正确；课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有AA＝36种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有A＋CCA＝504种排法，故D正确．
答案：BCD
10．解析：对于A，周一必须安排两位老师，从5位老师中取两位周一值班，余下3位全排列，不同的安排方法有CA＝60种，A正确；对于B，甲、乙均值班且在同一天，与余下3位一起的4个元素全排列，不同的安排方法共有A＝24种，B错误；对于C，五位老师都值班一天，则有两位老师在同一天值班，不同的安排方法有CA＝240种，C正确；对于D，如果甲乙都值班，除甲乙外还有两位老师各值班一天，甲必须在乙之前值班的不同安排方法有CA＝36种，D错误．
答案：AC
11．解析：若A和C区域着色相同时，有CC种不同的着色方法；
若A和C区域着色不相同时，有CCC种不同的着色方法；
所以三块区域不同的着色方法有CC＋CCC＝80种．
答案：80
12．解析：6个学生节目形成7个空，
①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：7A＝14种情况；
②当2个教师节目不相邻时有：A＝42种情况，
所以共有14＋42＝56(种)情况．
答案：56
13．解析：因偶数排列顺序固定且0只能排在第6，5，4位，奇数可任意排列，则
当0排在第6位时，共有CA＝60(个)数；
当0排在第5位时，共有CA＝24(个)数；
当0排在第4位时，共有CA＝6(个)数，
故这样的七位数共有60＋24＋6＝90(个).
答案：90
14．解析：(1)4×5＋4×6＋5×6＝74.
(2)C×C×C＝900.
15．解析：(1)男生全排列的排法有A种，再把女生看成一个整体，女生全排列有A种，再把这两个整体全排列，共有AAA＝288(种)排法．
(2)先排女生，有A种排法，排好后有5个空位，让男生插入5个空位中，有A种排法，故共有AA＝1440(种)排法．
(3)把6个人平均分成3个小组，有＝15(种)不同的分法．
16．解析：(1)根据题意，分2步进行分析：
①第三个格子不能填0，则0有4种选法；
②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A种情况，
则一共有4A＝96种不同的填法．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①将7个小球分成5组，有2种分法：
若分成2－2－1－1－1的5组，有种分法，
若分成3－1－1－1－1的5组，有C种分组方法，
则有种分组方法．
②将分好的5组全排列，对应5个空格，有A种情况，
则一共有A＝16800种放法．滚动复习2
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·江西宜春高二期末]已知C＝C，则m＝(　　)
A．1B．3C．1或3D．1或4
2．[2023·黑龙江七台河高二期中]1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　)
A．1B．－1C．(－1)nD．3n
3．[2023·河北石家庄高二期末]在的展开式中，x－1的系数为(　　)
A．80B．10C．－10D．－80
4．[2023·福建泉州高二期末](1－2x)5的展开式中，常数项是(　　)
A．－9B．－10C．9D．10
5．[2023·北京石景山高二期末]若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　)
A．－32B．－31C．31D．32
6．[2023·广东深圳高二期中]已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为(　　)
A．－120B．－20C．15D．20
7．[2023·河南新乡高二期中]2452023被3除的余数为(　　)
A．2B．1C．0D．不确定
8．[2023·山东青岛高二期末]若的展开式中常数项是10，则m＝(　　)
A．－2B．－1C．1D．2
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·江苏宿迁高二期中]已知(3－)2023，则下列结论正确的是(　　)
A．该二项展开式中各项的二项式系数的和与各项的系数的和相等
B．该二项展开式中的常数项为32023
C．该二项展开式中含x1011的项的系数是－6069
D．该二项展开式中的有理项的二项式系数的和为22022
10．[2023·河北石家庄高二期末]已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则下列结论正确的是(　　)
A．a0＝1
B．a0＋a2＋a4＋a6＝
C．＋＋…＋＋＝0
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＝－14
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
三、填空题(每小题5分，共15分)
11．[2023·河南开封高二期中](1＋ax)5的展开式各项系数的和是－1，则a＝________．
12．若(x＋)n的展开式中含有常数项，则正整数n的一个取值为________．
13．[2023·湖北黄冈高二期中]已知二项式(mx＋1)n的展开式中只有第5项的二项式的系数最大，且展开式中x3项的系数为448，则实数m的值为________．
四、解答题(共35分)
14．(10分)[2023·河北石家庄高二期中]已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，该展开式二项式系数和为32.
(1)求n的值；
(2)求a0＋a1＋a2＋…＋an的值．
15．(10分)[2023·河南洛阳高二期中]已知二项式(5x－)n(n∈N*)的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求n的值及展开式中所有含x的有理项的个数；
(2)求展开式中系数最小的项．
16．(15分)已知在(2x＋)n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x2的项的系数；
(3)用二项式定理证明：996－1能被100整除．
滚动复习2
1．解析：由C＝C可知：m＝2m－1或者m＋2m－1＝8，解得m＝1或m＝3.
答案：C
2．解析：原式＝C(－2)0＋C(－2)1＋C(－2)2＋…＋C(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.
答案：C
3．解析：的展开式的通项公式Tk＋1＝Cx5－k·＝(－2)k·C·x5－2k，k＝0，1，2，3，4，5，
令5－2k＝－1，解得k＝3，
可得T4＝(－2)3·C·x－1＝－80x－1，即x－1的系数为－80.
答案：D
4．解析：∵(1－2x)5＝(1－2x)5＋(1－2x)5，
(1－2x)5第r＋1项为：Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，(r＝0，1，…，5)，
(1－2x)5的第k＋1项为：Tk＋1＝C(－2x)k＝C(－2)kxk－1，(k＝0，1，…，5)
∴展开式中的常数项T＝C(－2)0＋C(－2)1＝1－10＝－9.
答案：A
5．解析：在(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0中，
令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
令x＝0，得－32＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1＋32＝31.
答案：C
6．解析：根据题意可得2n＝64，解得n＝6，
则展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k＝(－1)kCx6－2k，
令6－2k＝0，得k＝3，
所以常数项为：T4＝Cx6－3＝－C＝－＝－20.
答案：B
7．解析：2452023＝(246－1)2023＝C2462023(－1)0＋C2462022(－1)1＋…＋C2460(－1)2023.
因为246被3整除，
所以2452023被3除的余数为－1＋3＝2.
答案：A
8．解析：＝x＋，
的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx5－k＝C(－1)kx5－2k，
令5－2k＝－1，解得k＝3，则x的展开式的常数项为－C＝－10；
令5－2k＝1，解得k＝2，则的展开式的常数项为mC＝10m，
因为的展开式中常数项是10，
所以10m－10＝10，解得m＝2.
答案：D
9．解析：展开式的二项式系数和为22023，令x＝1，则展开式的各项系数和为(3－1)2023＝22023，故A正确；展开式的通项公式为Tk＋1＝C·32023－k(－)k＝C·(－1)k·32023－kx，k＝0，1，…，2023，令k＝0，则展开式的常数项为32023，故B正确；令＝1011，则k＝2022，所以x1011的系数为C·(－1)2022·3＝6069，故C错误；令为整数，则k＝0，2，4，6，8，…，2022，即展开式的奇数项，所以有理项的二项式系数和为＝22022，故D正确．
答案：ABD
10．解析：在(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，令x＝0，得a0＝1，故A正确；
在(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
在(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，令x＝－1，得37＝a0－a1＋a2－…－a7，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝，故B正确；
在(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，令x＝，得0＝a0＋＋＋…＋，
又a0＝1，所以＋＋…＋＋＝－1，故C不正确；
在(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，两边对x求导，
得7(1－2x)6·(－2)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋7a7x6，
令x＝1，得－14＝a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7，故D正确．
答案：ABD
11．解析：由题意令x＝1，则(1＋ax)5的展开式各项系数的和是(1＋a)5＝－1，∴a＝－2.
答案：－2
12．解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C·xn－k·＝C·xn－k，
的展开式中含有常数项需要满足n－k＝0，
即2n＝3k，所以n只要是3的正整数倍即可．
答案：3(只要是3的正整数倍即可)
13．解析：第5项的二项式系数为C，由于只有C最大，所以n＝8，展开式中x3项的系数为448，即Cm3＝448 m＝2.
答案：2
14．解析：(1)由题意，结合二项式系数的性质可得，2n＝32，解得n＝5.
(2)在展开式中令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋an，
即a0＋a1＋a2＋…＋an＝－1.
15．解析：(1)令x＝1，则展开式中各项系数之和为(5－1)n＝4n，各二项式系数和为2n，则4n－2n＝240，解得n＝4.
二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(5x)4－k＝C·54－k(－1)kx4－，令4－∈Z，且k＝0，1，2，3，4，所以k＝0，2，4，则展开式中含x的有理项有3项．
(2)由Tk＋1＝C·54－k(－1)kx4－(k＝0，1，2，3，4)可知，只需比较k＝1，3时系数最小即可，当k＝3时，T4＝C·5·(－1)3x4－×3＝－20x－，当k＝1时T2＝C·53·(－1)·x4－＝－500x，
故展开式中系数最小的项为T2＝－500x.
16．解析：(1)由题意可得C∶C＝5∶2，解得n＝6.
(2)设的展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝C26－k3kx6－k(0≤k≤6)，
令6－k＝2得，k＝3.
∴含x2的项的系数为C26－333＝4320.
(3)证明：由二项式定理可知，
996－1＝(100－1)6－1＝C·1006－C·1005＋…－C·100＋C－1
＝C·1006－C·1005＋…－C·100
∵C·1006－C·1005＋…－C·100各项都能被100整除，
∴996－1能被100整除．滚动复习3
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·黑龙江大庆高二期末]已知离散型随机变量ξ的概率分布如下，则其数学期望E(ξ)＝(　　)
ξ 1 3 5
P 0.5 m 0.2
A.1B．0.6C．2.44D．2.4
2．[2023·福建厦门高二期中]已知随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)＝10，则n的值为(　　)
A．16B．17
C．18D．19
3．[2023·广东茂名高二期中]随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　　)
ξ 0 1 x
P p
A.0.36B．0.52C．0.49D．0.68
4．[2023·山东聊城高二期末]若X为离散型随机变量，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．[2023·河北石家庄高二期中]在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是(　　)
A．B．C．D．
6．[2023·湖南衡阳高二期中]一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大编号，则E(X)＝(　　)
A．2B．3C．D．
7．[2023·江西吉安高二期末]某校高二年级组织春游，已知该校1～8班每班30人，9～20班每班40人，且1～8班前往“庐山”景区，9～20班前往“武功山”景区．若游客对“庐山”景区的满意度为80%，对“武功山”景区的满意度为75%，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为(　　)
A．B．C．D．
8．[2023·安徽滁州高二期末]设0ξ 0 m 1
P
则当m在(0，1)上增大时(　　)
A．D(ξ)单调递增，最大值为
B．D(ξ)先增后减，最大值为
C．D(ξ)单调递减，最小值为
D．D(ξ)先减后增，最小值为
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·安徽滁州高二期末]随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1 2
P 0.1 0.1 a 0.5
则下列说法正确的是(　　)
A．a＝0.2B．P(|X|＝1)＝0.4
C．E(X)＝1.2D．D(X)＝2.4
10．[2023·河南周口高二期中]甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则(　　)
A．P(B|A1)＝
B．P(B)＝
C．P(A1)P(B)＝P(A1B)
D．P(A2|B)＝
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
三、填空题(每小题5分，共15分)
11．[2023·河南新乡高二期中]已知随机变量η的期望为3，则E(2η－4)＝________．
12．[2023·安徽合肥高二期中]已知离散型随机变量X的分布列如下表，若随机变量Y满足Y＝－2X＋3，则D(Y)＝________．
X －1 0 1 2
P m
13.[2023·安徽合肥高二期末]某工厂的A，B，C车间生产同一产品，产量分别占总产量的20%，30%，50%，且A，B，C车间生产的产品的次品率之比为∶∶，若该工厂整体的次品率为1.5%，则A车间的次品率为________．
四、解答题(共35分)
14．(10分)[2023·黑龙江大庆高二期中]为了备战2024年法国巴黎奥运会(第33届夏季奥林匹克运动会)，中国射击队女子50米步枪(三姿)队员苗婉茹、张琼月两名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析苗婉茹、张琼月技术状况．
15．(12分)[2023·河南驻马店高二期末]代号为01，02，03的三人同时对某一飞行目标进行射击，三人击中的概率分别为0.5，0.6，0.7.若目标被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被2人击中，则被击落的概率是0.4；若被三人击中，则目标被击落的概率是0.9.
(1)求目标被2人击中的概率；
(2)求目标被击落的概率．
16．(13分)为丰富中学生校园文化生活，某中学社团联合会设立了“数学社”．在某次社团活动中，数学社组织同学进行数学答题有奖游戏，参与者可从A，B两类数学试题中选择作答．答题规则如下，
规则一：参与者只有在答对所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；
规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限．
(1)小李同学按照规则一进行答题．已知小李同学答对A类题的概率均为0.8，答对一次可得1分；答对B类题的概率均为0.5，答对一次可得2分．如果答题的顺序由小李选择，那么A，B两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；
(2)小王同学按照规则二进行答题，小王同学第1次随机地选择其中一类试题作答，如果小王第1次选择A类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.5；如果第1次选择B类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.8.求小王同学第2次选择A类试题作答的概率．
滚动复习3
1．解析：∵分布列中所有的概率之和等于1，∴0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3，∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
答案：D
2．解析：由题意P(X＝i)＝(i＝1，2，…，n)，E(X)＝＝×＝＝10，得n＝19.
答案：D
3．解析：根据＋p＋＝1，p＝，由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，x＝2，故D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
答案：C
4．解析：由D(aX＋b)＝a2D(X)＝4D(X)，解得a＝±2，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的必要不充分条件．
答案：B
5．解析：方法一　因为第一次抽到数学题条件下，还剩下4道试题，有2道数学题和2道物理题，因此第二次抽到数学题的概率是.
方法二　设第二次抽到数学题为事件A，第一次抽到数学题为事件B，
则P(AB)＝＝，P(B)＝＝，
则P(A|B)＝＝＝.
答案：B
6．解析：由题意，随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为：
X 2 3 4
P
则E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
答案：C
7．解析：设B＝“任抽一名高二学生对所游景区感到满意”，A1＝“抽到1～8班的学生”，A2＝“抽到9～20班的学生”，
P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
P(B|A1)＝80%＝，P(B|A2)＝75%＝，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
答案：D
8．解析：由题知＋＋＝1，解得a＝1，
所以E(ξ)＝0＋＋＝，
所以D(ξ)＝×＋(m－)2×＋(1－)2×＝(m2－m＋1)＝[(m－)2＋]，
由二次函数性质可知，D(ξ)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，
所以当m＝时，D(ξ)有最小值.
答案：D
9．解析：由题意得0.1＋0.1＋a＋0.5＝1，得a＝0.3，所以A错误；P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.1＝0.4，所以B正确；E(X)＝－1×0.1＋0×0.1＋1×0.3＋2×0.5＝1.2，所以C正确；D(X)＝0.1×(－1－1.2)2＋0.1×(0－1.2)2＋0.3×(1－1.2)2＋0.5×(2－1.2)2＝0.96，所以D错误．
答案：BC
10．解析：因为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
若A1发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以P(B|A1)＝＝，故A正确；
若A2发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以P(B|A2)＝，
若A3发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以P(B|A3)＝，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故B正确；
因为P(B|A1)＝，
所以P(A1B)＝P(B|A1)P(A1)＝×＝，
所以P(A1)P(B)≠P(A1B)，故C错误；
P(A2|B)＝＝＝＝，故D正确．
答案：ABD
11．解析：由题意知E(η)＝3，所以E(2η－4)＝2E(η)－4＝2.
答案：2
12．解析：依题意m＋＋＋＝1，解得m＝，
所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝1，
则D(X)＝(－1－1)2×＋(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，
又Y＝－2X＋3，所以D(Y)＝D(－2X＋3)＝(－2)2·D(X)＝.
答案：
13．解析：设A车间的次品率为，则B车间的次品率为，C车间的次品率为，则0.2×＋0.3×＋0.5×＝0.3x＝0.015，解得x＝0.05，所以A车间的次品率为0.025＝2.5%.
答案：2.5%
14．解析：(1)由离散型随机变量的分布的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，苗婉茹的平均得分比张琼月高，但D(ξ)>D(η)，说明苗婉茹得分的稳定性不如张琼月，因此苗婉茹、张琼月两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
15．解析：(1)设事件Bi(i＝0，1，2，3)表示“目标被i人击中”，事件Hi(i＝0，1，2，3)表示“目标被第i人击中”，
由题意可知：P(H1)＝0.5，P(H2)＝0.6，P(H3)＝0.7，
可得P(1)＝1－P(H1)＝0.5，P(2)＝1－P(H2)＝0.4，P(3)＝1－P(H3)＝0.3，
所以P(B2)＝P(H1H23∪H12H3∪1H2H3)
＝P(H1H23)＋P(H12H3)＋P(1H2H3)
＝0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＋0.5×0.6×0.7
＝0.09＋0.21＋0.14＝0.44.
(2)记事件A表示“目标被击落”，则B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，
P(B0)＝P(123)＝0.5×0.4×0.3＝0.06，
P(B1)＝P(H123∪12H3∪1H23)＝P(H123)＋P(12H3)＋P(1H23)
＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.4×0.7＋0.5×0.6×0.3＝0.29，
P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.5×0.6×0.7＝0.21，
由题意可得：P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.4，P(A|B3)＝0.9，
根据全概率公式可得
P(A)＝P(B0)·P(A|B0)＋P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)
＝0.29×0.2＋0.44×0.4＋0.21×0.9＝0.423.
16．解析：(1)小李同学按照规则一进行答题，若先选择答A类题，设小李获得的积分为随机变量X，则X的所有可能取值为0，1，3.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝1)＝0.8×(1－0.5)＝0.4，
P(X＝3)＝0.8×0.5＝0.4，
∴E(X)＝0×0.2＋1×0.4＋3×0.4＝1.6.
若先选择答B类题，设小李获得的积分为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0，2，3.
P(Y＝0)＝1－0.5＝0.5，
P(Y＝2)＝0.5×(1－0.8)＝0.1，
P(Y＝3)＝0.5×0.8＝0.4，
∴E(Y)＝0×0.5＋2×0.1＋3×0.4＝1.4.
∵1.4<1.6，∴小李应该优先选择A类题作答．
(2)因为小王同学按照规则二进行答题，设Ai＝“第i次选择A类试题作答”，B1＝“第1次选择B类试题作答”，则A1与B1互斥．
根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.5，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.5＋0.5×0.8＝0.65.
因此，小王同学第2次选择A类试题作答的概率为0.65.滚动复习4
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·黑龙江牡丹江高二期末]已知随机变量X服从二项分布X～B(4，)，则P(X＝2)＝(　　)
A．B．
C．D．
2．[2023·河南平顶山高二期末]已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，则P(1A．0.5B．0.4
C．0.3D．0.2
3．[2023·河北秦皇岛高二期末]已知X～B(4，)，则E(3X－2)＝(　　)
A．12B．9
C．4D．2
4．[2023·江苏徐州高二期末]某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为(　　)
A．0.618×0.412
B．C0.618×0.412
C．C0.418×0.612
D．C0.618
5．[2023·江西抚州高二期中]我国成功举办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，其中高山滑雪运动给了我们速度与激情的完美展现．已知某选手高山滑雪的速度ξ(单位：km/h)服从正态分布N(100，σ2)，若ξ在(80，120)内的概率为0.7，则该选手的速度不低于120km/h的概率为(　　)
A．0.05B．0.1
C．0.15D．0.2
6．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝(　　)
A．B．C．D．
7．[2023·河南开封高二期末]已知函数f(x)＝x2－2ξx＋3在(－∞，－1)上单调递减的概率为，且随机变量ξ～N(μ，1)，则P(1≤ξ≤2)＝(　　)
(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)
A．0.1359B．0.01587
C．0.0214D．0.01341
8．[2023·河北石家庄高二期末]已知某种疾病的某种疗法的治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中不正确的是(　　)
A．E(X)＝80
B．P(X＝30)＝C(0.8)30(0.2)70
C．D(X)＝16
D．存在k≠50，使得P(X＝k)＝P(X＝100－k)成立
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·河北石家庄高二期中]在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布N(82.5，5.42)，则(人数保留整数)(参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等
C．成绩不超过77分的人数少于150
D．超过98分的人数为1
10．[2023·辽宁朝阳高二期中]某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得－4分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，ξ为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是(　　)
A．E(ξ)＝
B．P(X＝4)＝C×(1－)
C．E(X)＝20
D．D(X)＝160
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
三、填空题(每小题5分，共15分)
11．[2023·河北邯郸高二期中]已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<3)＝P(ξ>7)＝0.12，则P(3≤ξ<5)＝________．
12．[2023·河南驻马店高二期末]若随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝2，则P(X＝3)＝________．
13．[2023·湖南衡阳高二期中]已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖________次．(参考数据：lg2≈0.3)
四、解答题(共35分)
14．(10分)[2023·福建泉州高二期末]为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算，
(1)求；
(2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y).
附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.
15．(12分)[2023·河北邯郸高二期中]随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户．某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 10 20 50 12 8
(1)若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取5个，求恰好有2个水果是二等级别的概率；
(2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y表示抽取的优级水果的数量，求Y的分布列及数学期望E(Y).
16．(13分)[2023·河南周口高二期中]W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布N(80，0.25)，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：
产品尺 寸/mm [76， 78．5] (78.5， 79] (79， 79．5] (79.5， 80．5] (80.5， 81] (81， 81．5] (81.5， 83]
件数 8 54 54 160 72 40 12
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]以内为正品，以外为次品．P(μ－σ(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的数学期望及方差．
滚动复习4
1．解析：P(X＝2)＝C··(1－)2＝.
答案：C
2．解析：因为μ＝3，所以P(1答案：C
3．解析：因为X～B(4，)，E(X)＝4×＝2，所以E(3X－2)＝3E(X)－2＝3×4×－2＝4.
答案：C
4．解析：设X为射手在30次射击中击中目标的次数，则X～B(30，0.6)，故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为P(X＝18)＝C0.618×0.412.
答案：B
5．解析：由题意可得μ＝100，且P(80<ξ<120)＝0.7，所以P(ξ≤80或ξ≥120)＝1－P(80<ξ<120)＝1－0.7＝0.3，P(ξ≥120)＝P(ξ≤80或ξ≥120)＝0.15，即该选手的速度不低于120km/h的概率为0.15.
答案：C
6．解析：由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0，1，2，
且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
因此，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：B
7．解析：根据题意f(x)在(－∞，－1)上单调递减，可得ξ≥－1，故P(ξ≥－1)＝，∵ξ～N(μ，1)，∴μ＝－1，所以P(1≤ξ≤2)＝P(－1≤ξ≤2)－P(－1≤ξ≤1)＝×[P(－4≤ξ≤2)－P(－3≤ξ≤1)]≈×(0.9973－0.9545)＝0.0214.
答案：C
8．解析：由题意可得X～B(100，0.8)，由二项分布的概率公式得P(X＝30)＝C(0.8)30(0.2)70，即B正确；
P(X＝k)＝C·(0.8)k·(0.2)100－k，P(X＝100－k)＝C·(0.8)100－k·(0.2)k，若P(X＝k)＝P(X＝100－k)，则C·(0.8)k·(0.2)100－k＝C·(0.8)100－k·(0.2)k (0.8)2k－100＝(0.2)2k－100 k＝50，与条件矛盾，即D错误；
由二项分布的期望与方差公式得：E(X)＝100×0.8＝80，D(X)＝100×0.8×(1－0.8)＝16，即A、C正确．
答案：D
9．解析：由Z～N(82.5，5.42)，可知μ＝82.5，σ＝5.4，所以平均分为μ＝82.5，故A对；
由于＝82.5，可知95，70关于μ＝82.5对称，根据正态分布的对称性可知，成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对；
P(Z≤77)≈P(Z≤μ－σ)≈＝0.15865，
因为1000×0.15865≈159>150，所以C错误；
P(Z≥99)≈P(Z≥μ＋3σ)＝＝0.00135，
因为1000×0.00135≈1，
所以超过98分的人数为1，故D正确．
答案：ABD
10．解析：因为小明每次踢进的概率为，每次射门相互独立，所以ξ服从二项分布ξ～B(5，)，
因此E(ξ)＝5×＝，所以选项A正确；
X＝－20，－8，4，16，28，40，
P(X＝－20)＝C··(1－)5＝，
P(X＝－8)＝C·()1·(1－)4＝，
P(X＝4)＝C·()2·(1－)3＝，所以选项B不正确；
P(X＝16)＝C··(1－)2＝，
P(X＝28)＝C··(1－)1＝，
P(X＝40)＝C··(1－)0＝，
E(X)＝－20×－8×＋4×＋16×＋28×＋40×＝20，所以选项C正确；
D(X)＝(－20－20)2×＋(－8－20)2×＋(4－20)2×＋(16－20)2×＋(28－20)2×＋(40－20)2×＝160，因此选项D正确．
答案：ACD
11．解析：根据正态分布的概率密度函数的对称性可知μ＝＝5，则P(3≤ξ<5)＝P(ξ<5)－P(ξ<3)＝0.5－0.12＝0.38.
答案：0.38
12．解析：因为随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝2，
所以6p＝2，解得p＝，
则P(X＝3)＝C··(1－)3＝.
答案：
13．解析：若投掷飞镖n次中靶X次，则X～B(n，)，且P(X≥1)>90%，
所以P(X＝0)＝C·(1－)n<10%，即<，
两边取对数有n(2lg2－1)<－1，则n>≈2.5次，n∈N*，
所以至少需要投掷飞镖3次．
答案：3
14．解析：(1)由题意得＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56.
(2)因为＝56，故s2＝(xi－)2＝×1690＝169，
所以μ＝56，σ＝13.
因为P(30≤X≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.9545，
故Y～B(100，0.9545)，所以E(Y)＝100×0.9545＝95.45.
15．解析：(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为A，
则P(A)＝＝，
随机抽取5个，设抽到二等级别水果的个数为X，则X～B(5，)，
所以恰好抽到2个二等级别水果的概率为P(X＝2)＝C＝.
(2)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，
则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．
现从中抽取3个，则优级水果的数量Y服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3.
则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝.
所以Y的分布列如下：
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
16．解析：(1)∵产品p尺寸服从正态分布N(80，0.25)，
∴μ＝80，σ＝0.5，且正常产品尺寸范围为(78.5，81.5].
生产线正常工作，次品不能多于400×(1－0.9973)＝1.08(件)，
而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作．
(2)尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为＝.
记这3件产品中次品件数为Y，则Y服从二项分布B(3，)，
X＝20(3－Y)＋30Y＝10Y＋60，
则E(Y)＝3×＝，D(Y)＝3××＝，
所以X的数学期望是E(X)＝10E(Y)＋60＝(元)，
方差是D(X)＝100D(Y)＝100×＝.滚动复习5
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·江苏宿迁高二期末]下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是(　　)
2．[2023·江西萍乡高二期中]已知变量y关于x的经验回归方程为＝x＋，相关系数为r，则下列选项正确的是(　　)
A．若>0，则x与y是正相关
B．若|r|接近0，则表示x与y的相关性很强
C．若r>0，则>0
D．若变量x增大一个单位，则变量y就一定增加个单位
3．[2023·河南开封高二期末]根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974.已知P(χ2≥3.841)＝0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，以下结论正确的是(　　)
A．变量x与y独立
B．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y不独立
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
4．[2023·河北石家庄高二期末]下列命题中正确的为(　　)
A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好
5．[2023·河南焦作高二考试]已知变量y与x线性相关，且变量x，y之间有如下对应数据：
x 2 3 4 5 6
y 7 6 9 12 11
若回归方程为y＝1.4x＋a，则a的值为(　　)
A．3.4B．6.2
C．7.5D．8.6
6．[2023·辽宁锦州高二期末]某商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
月平均气温x(℃) 17 13 8 2
月销售量y(件) 24 33 40 55
由表中数据算出经验回归方程＝bx＋a中的b＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为8℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为(　　)
A．40件B．42件
C．46件D．48件
7．[2023·江西吉安高二期末]通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数的最小整数为(　　)
A．150B．170
C．240D．180
8．[2023·福建泉州高二期末]已知由样本数据点集合{(xi，yi)|i＝1，2，…，n}，求得的经验回归方程l1为＝1.5x＋0.5，且＝3.现发现两个数据点(1.3，2.1)和(4.7，7.9)误差较大，去除这两点后重新求得的经验回归方程l2的斜率为1.2，则正确的是(　　)
A．变量x与y具有负相关关系
B．去除后y的估计值增加速度变快
C．去除后回归方程为＝1.2x＋1.6
D．去除后相应于样本点(2，3.75)的残差为－0.05
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·安徽滁州高二期末]下列说法错误的是(　　)
A.χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当χ2的值很小时可以推断两个变量相关性比较小
B．在残差图中，残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越大
D．已知一组样本点(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，20，根据最小二乘法求得的经验回归方程是＝x＋，若所有样本点都在回归直线＝x＋上，则变量间相关系数为1
10．[2023·河北石家庄高二期末]某公司过去五个月的广告费支出x(万元)与销售额y(万元)之间有下列对应数据：
x 2 4 5 6 8
y ▲ 40 60 50 70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有(　　)
A．销售额与广告费支出x正相关
B．丢失的数据(表中▲处)为30
C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D．若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
三、填空题(每小题5分，共15分)
11．[2023·山西太原高二期中]已知回归方程＝2x＋1，而试验中的一组数据是(2，5.1)，(3，6.9)，(4，8.9)，则其残差平方和是________．
12．[2023·河北保定高二期中]已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的经验回归方程为Y＝6X－8，则a＝________．
X 1 4 9 16 25
Y 2 a 36 93 142
13.[2023·河南焦作高二考试]某中学统计了一个班40名学生中每一个学生的英语成绩与语文成绩，并制成了一个不完整的2×2列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20
语文成绩不及格 11
总计 25 40
则________(填“有”或“没有”)99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
四、解答题(共35分)
14．(10分)[2023·河北保定高二期末]为考察某种药物M对预防疾病N的效果，进行了动物实验，根据200个有放回简单随机样本的数据，得到的数据如下表：
单位：只
药物M服用情况 疾病N
未患疾病N 患疾病N
未服用 60 40
服用 80 20
(1)估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率；
(2)根据α＝0.005的独立性检验，能否认为药物M对预防疾病N有效果？
附临界值表及参考公式：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
15.(12分)[2023·河南驻马店高二期末]市场监管部门对线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
净利润y(万元) 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；(参考：若|r|≥0.75时，则线性相关程度较高，0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般，计算r时精确度为0.01)
(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估9月份的利润．
附：对于一组数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线＝＋u的斜率
16．(13分)[2023·江西萍乡高二期末]2023年，5月18日至19日，中国—中亚峰会在陕西省西安市举办．多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣．报道中指出“中国—中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益．”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下：
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份代码x 1 2 3 4 5
产值y(亿元) 16 20 23 31 40
(1)求电动汽车产值y(亿元)关于(x月份)的经验回归方程；
(2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人．请问是否有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关．
滚动复习5
1．解析：对于A，由图象可知，两个变量是确定的函数关系，不是相关关系，故A不正确；对于B，由散点图可知，散点呈带状分布，所以两个变量具有线性相关关系，故B正确；对于C，D，由散点图可知，散点不呈带状分布，所以两个变量不具有线性相关关系，故CD不正确．
答案：B
2．解析：若>0，则x与y是正相关，故A错误；若|r|接近1，则表示x与y的相关性很强，故B错误；若r>0，则x与y是正相关，则>0，故C正确；经验回归方程为估计值，不是准确值，故D错误．
答案：C
3．解析：由于χ2＝2.974<3.841，故变量x与y独立，A正确，BCD均错误．
答案：A
4．解析：相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，A不正确；相关系数的绝对值越小，线性相关性越弱，B不正确；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，C不正确；残差平方和越小，R2越大，模型拟合的效果越好，D正确．
答案：D
5．解析：因为＝＝4，＝＝9，因回归方程过定点(，)，将其代入y＝1.4x＋a，得9＝1.4×4＋a，解得a＝3.4.
答案：A
6．解析：＝＝10，＝＝38，
回归直线必过样本点中心(，)，则38＝－2×10＋a，则a＝58，
所以回归直线方程＝－2x＋58，
当x＝8时，＝－2×8＋58＝42.
答案：B
7．解析：设男、女大学生各有m人，根据题意画出2×2列联表如下：
看 不看 合计
男 m m m
女 m m m
合计 m m 2m
所以χ2＝＝，
因为有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，所以>6.635，解得2m>179.145，所以总人数的最小整数为180.
答案：D
8．解析：因为去除前回归直线l1的斜率为1.5，重新求得的回归直线l2的斜率为1.2，两者均大于0，所以变量x与y具有正相关关系，所以选项A错误；去除前回归直线l1的斜率为1.5，去除后回归直线l2的斜率为1.2，去除前的斜率大于去除后的斜率，所以去除后y的估计值增加速度变慢，所以选项B错误；去除前＝3，则可得＝5，设x1＝1.3，x2＝4.7，y1＝2.1，y2＝7.9，则去除后样本中心设为(0，0)，所以0＝＝＝＝3，0＝＝＝＝5，
又因为经验回归方程l2的斜率为1.2，所以去除后的经验回归方程为＝1.2x＋1.4，所以选项C错误；
由C选项可知，去除后的经验回归方程为＝1.2x＋1.4，当x＝2时，＝3.8，则残差为3.75－3.8＝－0.05，所以选项D正确．
答案：D
9．解析：χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当χ2的值很小时可以推断两个变量相关性比较小，故A正确；在残差图中，残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故B正确；残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小，说明模型的拟合精度越高，故C错误；已知一组样本点(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，20，根据最小二乘法求得的经验回归方程是＝x＋，
若所有样本点都在回归直线＝x＋上，则变量间相关系数为±1，故D错误．
答案：CD
10．解析：由经验回归方程＝6.5x＋17.5，可知＝6.5>0，
所以销售额y与支出的广告费x呈正相关，所以A正确；
设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，
＝，把(5，)代入经验回归方程，
可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以B正确；该公司支出的广告费每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；当x＝8时，＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以D正确．
答案：ABD
11．解析：∵残差i＝yi－i，当x＝2时，＝5，当x＝3时，＝7，当x＝4时，＝9，
∴残差平方和为(5.1－5)2＋(6.9－7)2＋(8.9－9)2＝0.03.
答案：0.03
12．解析：因为＝＝11，
＝＝，
所以＝6×11－8，解得a＝17.
答案：17
13．解析：由题意可得2×2列联表如下：
英语成绩及格 英语成绩不及格 总计
语文成绩及格 20 4 24
语文成绩不及格 5 11 16
总计 25 15 40
则χ2＝≈11.111>6.635，
因此有99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
答案：有
14．解析：(1)由列联表知，未服用药物M的动物有100只，其中患疾病N的有40只，所以估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率为＝.
(2)零假设为H0：认为药物M对预防疾病N没有效果，
χ2＝＝≈9.524>7.879，
所以根据α＝0.005的独立性检验，可以推断H0不成立，
所以认为药物M对预防疾病N有效果，此推断犯错误的概率不大于0.005.
15．解析：(1)由条件可知＝＝3.5，
6()2＝73.5，6·＝6×3.5×1.78＝37.38，
x＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91.
根据相关系数公式得
r＝
＝
＝＝≈0.98>0.75.
因此可以用经验回归模型拟合x与y的关系．
(2)根据(1)则变量x，y线性相关，设所求的经验回归方程为＝＋x.根据回归方程的回归系数公式得
＝＝＝＝≈0.28.
又因为＝－＝1.78－0.28×3.5＝0.8.
从而可得变量x，y经验回归方程为＝0.8＋0.28x，
当x＝9时，y＝0.8＋0.28×9＝3.32，
因此预测9月份的利润为3.32万元．
16．解析：(1)设所求经验回归方程为＝＋x，
则＝＝3，＝＝26，
(xi－)(yi－)＝(－2)×(－10)＋(－1)×(－6)＋0×(－3)＋1×5＋2×14＝59，
＝＝＝＝5.9，
＝－＝26－5.9×3＝8.3，
故所求经验回归方程为＝5.9x＋8.3.
(2)根据题意，得2×2列联表如下：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计
男性 45 5 50
女性 35 15 50
合计 80 20 100
χ2＝
＝＝6.25>3.841，
故有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关．

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