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2024年中考数学模拟卷（福建）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列有理数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查绝对值，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是；绝对值都为非负数．
【详解】解：，
∴绝对值最大的数为，
故选A．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
【详解】解：从上面看，下层是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
3．年中秋节、国庆节假期，文化和旅游行业恢复势头强劲，全国假日市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，年月日至月日中秋国庆假期天，国内旅游出游人数人次．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
4．下列整式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式，熟练掌握同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式是解题的关键．
5．如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．＋1 D．1－
【答案】B
【分析】首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定m的值．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．
6．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．35° D．20°
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得，再由三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】四边形ABCD内接于⊙O，
，
∠B＝70°，
，
，
D是的中点，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补、三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢 若设甲经过日相逢，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设甲经过x日与乙相逢，根据“甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲经过x日与乙相逢，根据题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9．如图，在中，，，，E为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于F，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，有最小值，
此时：，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
10．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据解析式求与轴交点、的坐标，确定翻折后二次函数的解析式，求直线过边界点时对应的的值，并求直线与新抛物线相切时的值，继而得出的取值范围．
【详解】解：当时，，
，
或，
∴，，，，
∵，
∴沿轴翻折后所得抛物线的解析式为，
如图，作直线，分别过作直线的平行线交轴于点，作直线平行于，且与抛物线有唯一的公共点，设直线：，直线∶，
∵过，，
∴，
∴，
∴直线：，
∵与抛物线有唯一的公共点，
∴即，
∴，
解得，
∴直线∶ ，
结合图形可得直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程与抛物线的关系，待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交点和几何变换问题以及直线的平移，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式，求解即可得到答案．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及解不等式，根据二次根式被开方数是非负数列不等式是解题关键．
12．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的周长为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据勾股定理求出即可得解．
【详解】解：∵菱形，
∴，，
∵，，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得，
∴菱形的周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
13．在分析数据时，小明列出方差的计算公式．则这列数据的中位数是 ．
【答案】
【分析】由方差公式可得出这组数据，然后得出中位数即可．
【详解】解：∵小明列出方差的计算公式，
∴这组数据为：，3，3，3，4，
∴这列数据的中位数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差，中位数，熟练掌握方差公式各部分代表的意义得出这组数据是解本题的关键．
14．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则 ．
【答案】
【分析】连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
∵多边形是正五边形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，圆周角定理等知识．解题的关键是掌握中心角和圆周角定理．
15．如图，正方形的边长为，点O为对角线交点，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，连接点O和的中点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】过点O作交于点F，由题意，结合图形特征，图中阴影部分的面积为，即可列式作答．
【详解】解：过点O作交于点F，如图所示：
∵E是的中点，且四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
那么图中阴影部分的面积为：，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆面积以及正方形面积内容，观察出阴影面积是是解题的关键．
16．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填正确的序号）
【答案】①③④
【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，利用三角形面积公式求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证得是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④．
【详解】解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，，
的图象经过点，
，故①正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故②错误；
如图，过点作轴于．
，，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，，
，
，
，
，故③正确；
，，，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
．故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17．（8分）计算：．
【答案】
【分析】先算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方、化简二次根式、再计算加减即可求解．
【详解】解： 原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方、化简二次根式等，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
18．（8分）如图，已知四边形是平行四边形，点E，F是直线上的两点，且，连接，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形得出，，再利用三角形全等即可得出结论；
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的判定．此题难度适中，注意掌握三角形全等的判定方法．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】先将乘法部分因式分解并约分化简，再通分合并，最后代值计算即可求解．
【详解】解：原式=
当时，原式=
故答案是：．
【点睛】本题考查分式的化简求值、因式分解和分母有理化，题目难度不大，属于基础计算题．解题的关键是掌握分式的计算法则．
20．（8分）某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时间t，按完成时间长短划分为A、B、C、D（A：小时，B：1小时小时，C：小时小时，D：小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息解答问题．
(1)本次共调查了_________名学生，并补全条形统计图；
(2)若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？
(3)完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生．现从中随机抽取两名学生进行“你是怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率．
【答案】(1)200，条形统计图见解析
(2)人
(3)
【分析】（1）根据时段B的人数以及百分比，即可求得调查的学生人数，求得时段C的人数，补全统计图即可；
（2）根据样本中“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比以及全县初中学生人数求解即可；
（3）利用树状图求解概率即可．
【详解】（1）解：由题意可得，时段B的人数为72，所占百分比为36%，
∴总人数为：（人），
时段C的人数为（人），
则条形统计图如图所示：
（2）解：“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比为，
全县初中学生完成作业不超过1.5小时的人数约为（人），
答：全县完成作业不超过1.5小时的学生约有人；
（3）解：用树状图表示选取的情况，如图：
选取的总可能数为12，一男一女的可能数为8，
则刚好选到1名男生与1名女生的概率为．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，条形统计图和扇形统计图，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．
21．（8分）如图是一张矩形纸片，对角线与相交于点．

(1)如图1中，在边上求作一点，使得沿着折叠后，点落在线段上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2中，在（1）的条件下，点的对应点为点，若，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）点的对应点为，则有，以为圆心，长为半径画弧，交线段于，折痕是对应点的连线段的垂直平分线，作的垂直平分线即可求解；
（2）可证，从而可得，设，，可得，从而可求解．
【详解】（1）解：
如图，是所求作的点．
（2）解：如图，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
设，，则有
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
．
【点睛】本题考查了尺规作图，折叠的性质，矩形的性质，三角形相似的判定及性质，解一元二次方程，掌握作法，相关判定方法及性质是解题的关键．
22．（10分）在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A）和工程车模型（记作B）共100台，若售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元．
(1)求两种模型的售价各是多少元；
(2)已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值．
【答案】(1)A、的售价分别是30元和20元
(2)型66台，型34台，收入最大值为2660元
【分析】（1）设A、的售价分别是元和元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设准备A型台，总收入为w元，根据（1）的答案即可求得w关于m的一次函数，根据A模型的数量不超过B模型的2倍建立不等式，可求出m的取值范围，再结合一次函数的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：设A、的售价分别是元和元，
根据题意得：
解方程组得：，
答：A、的售价分别是30元和20元；
（2）解：设准备A型台，总收入为w元，则
，
解不等式得：，且取整数，
根据题意得：，
，随增大而增大，
当时，有最大值：．
此时，，
型66台，型34台，收入最大值为2660元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确二元一次方程和掌握一次函数的性质．
23．（10分）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）连接，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，进而得出，再利用平行的性质得到，从而得到，推出平分，最后利用角平分线的性质得到，即可证明结论；
（2）根据，可设，则，利用勾股定理求出，得到，，设的半径为，则，，
根据得到，即可求出的半径．
【详解】（1）证明：连接，过点O作交于点G，
，点D是边的中点，
，
，
，
，
，
平分，
点O在边上，，，
，
是的半径，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
，，
设的半径为，则，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，直接三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关键．
24．（12分）如图（1），四边形和四边形都是正方形，其中点在对角线上
(1)求证：
(2)将正方形绕着点顺时针旋转
①当正方形旋转到图（2）的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由
②在正方形绕着点顺时针旋转的过程中，当，，三点共线时，直线与射线相交于点，若，，请求出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①成立，理由见解析②或
【分析】（1）根据正方形的性质，平行线分线段成比例，推出，即可得证；
（2）①证明，即可得证；②分点在之间，以及点在点之间，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②当点在之间时：如图：
同①法可得：，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，三点共线，
∴ ，
∴，
∴三点共线，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
∴；
当点在之间时，如图：
同法可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题的综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形相似．
25．（14分）根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素 材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任 务 1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任 务 2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度．
任 务 3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
【答案】任务一：，顶点D 的坐标为；任务二： ；任务三：叶片此时的长度为，最大宽度为
【分析】任务一：利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可；
任务二：先求出，得到，再求出，得到，由对称性可得，证明是等腰直角三角形，求出，则；
任务三： 先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为：，则，求出抛物线解析式为，进而求出，作交延长线于点H，利用勾股定理求出，再求出直线的解析式为，作轴交抛物线和直线分别于点N，M，作交曲线于．则，即可得到，证明，求出，，则叶片此时的长度为，最大宽度为．
【详解】解：任务一：把=代入得：
∴，
∴抛物线解析式为
∴顶点D 的坐标为；
任务二：∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E、是叶片上的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
任务三：∵直线与x 轴成角
∴可设直线的解析式为，
把点代入得，．
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴，同理可求出直线的解析式为：，
∴，
把代入，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
联立，解得．
∵幼苗是越长越张开，
∴不合题意，舍去
∴，
作交延长线于点H，
∴，
设直线的解析式为，
把点和代入得，
∴直线的解析式为，
作轴交抛物线和直线分别于点N，M，
作交曲线于．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
∴叶片此时的长度为，最大宽度为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
2024年中考数学模拟卷（福建）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列有理数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．4
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．年中秋节、国庆节假期，文化和旅游行业恢复势头强劲，全国假日市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，年月日至月日中秋国庆假期天，国内旅游出游人数人次．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列整式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．＋1 D．1－
6．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．35° D．20°
8．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢 若设甲经过日相逢，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，，E为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的周长为 ．
13．在分析数据时，小明列出方差的计算公式．则这列数据的中位数是 ．
14．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则 ．
15．如图，正方形的边长为，点O为对角线交点，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，连接点O和的中点E，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填正确的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，已知四边形是平行四边形，点E，F是直线上的两点，且，连接，求证：．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时间t，按完成时间长短划分为A、B、C、D（A：小时，B：1小时小时，C：小时小时，D：小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息解答问题．
(1)本次共调查了_________名学生，并补全条形统计图；
(2)若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？
(3)完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生．现从中随机抽取两名学生进行“你是怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率．
21．（8分）如图是一张矩形纸片，对角线与相交于点．
(1)如图1中，在边上求作一点，使得沿着折叠后，点落在线段上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2中，在（1）的条件下，点的对应点为点，若，求的值．
22．（10分）在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A）和工程车模型（记作B）共100台，若售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元．
(1)求两种模型的售价各是多少元；
(2)已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值．
23．（10分）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
24．（12分）如图（1），四边形和四边形都是正方形，其中点在对角线上

(1)求证：
(2)将正方形绕着点顺时针旋转
①当正方形旋转到图（2）的位置时，（1）中的结论是否成立，请说明理由
②在正方形绕着点顺时针旋转的过程中，当，，三点共线时，直线与射线相交于点，若，，请求出线段的长．
25．（14分）根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素 材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任 务 1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任 务 2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度．
任 务 3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．

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