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济宁市2024年高考模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
说明:(1)此评分标准仅供参考;
(2)学生解法若与此评分标准中的解法不同,请酌情给分。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。
9.BC 10.ACD 11.AD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
1
12.[3,+∞) 13.11 14.(1,ee ]∪{
-
e e }
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本题满分13分)
解:( 11)f(x)=-2cos2x+ 3sinxcosx
………………………………………………… 2分
3 1
= sin2x- cos2x ………………………………………………………… 3分2 2
π
=sin(2x- )………………………………………………………………… 分6 4
令 π π π-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ
,k∈Z
得, π π- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z …………………………………………………………6 3 5
分
所以,f(x)的单调递增区间为
π
- +kπ,
π
6 3+kπ
(k∈Z) …………………………… 6分

(2)由(1)知,(
A π
f + )
π 3
2 4 =sin
(A+ )3 =2
又A∈(0,π),
π π 4π π
∴A+ ∈( , )所以,3 3 3 A=
………………………………………… 8分3
由正弦定理及b=2c- 2a,得,sinB=2sinC- 2sinA ………………………………… 9分
A+B+C=π
数学试题参考答案 第1页 (共7页 )


(2π 6∴sinB=2sin -B)- ……………………………………………………………… 分3 2 10
整理得, 2cosB= ………………………………………………………………………… 12分2
又, (,2π πB∈ 0 ),3 ∴B=4
所以,角 πB 的大小为 …………………………………………………………………… 分4 13
16.(本题满分15分)
解:(1)设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A,记第i次(i=1,2,3)摸到红
球为事件Bi,
则,事件A=B1∪B1B2∪B1B2B3,……………………………………………………… 2分
显然B1、B1B2、B1B2B3 彼此互斥,
由互斥事件概率的加法公式:P(A)=P(B1∪B1B2∪B1B2B3)
=P(B1)+P(B1B2)+P(B1B2B3)……………………………………………………… 3分
因为每次摸到红球后放回,所以,P(Bi)
2, 1=3 P
(Bi)= ……………………………… 分3 4
所以, ( ) 1 2 1 2 2 1 19P A = + × + …………………………………………… 分3 3 3 3×3×3=27 7
(2)依题意,X 的可能取值为2,3,4,5 …………………………………………………… 8分
P( ) ( )
1
X=2 =P B1 = …………………………………………………………………… 9分3
P(
2 1 2
X=3)=P(B1B2)= × = ……………………………………………………3 3 9 10
分
P(
2 2 1 2 28
X=4)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3B4)= × × +( )4= ……………… 分3 3 3 3 81 11
2 1 8
P(X=5)=P(B1B2B3B4)=( )3× …………………………………………… 分3 3=81 12
所以,一轮摸球游戏结束时,此人总得分X 的分布列为:
X 2 3 4 5
P 1 2 28 83 9 81 81
……………………………………………………………………………………………… 13分
1 2 28 8 260
E(X)=2× +3× +4× ………………………………………… 分3 9 81+5×81=81 15
数学试题参考答案 第2页 (共7页 )
17.(本题满分15分)
解:(1)方法一:以A 为坐标原点,分别以AB→,AD→,AP→ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,
建立如图所示空间直角坐标系.…………………………………………………………… 1分
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),G(1,1,1),E(0,1,0)………………… 2分
所以,BG→=(-1,1,1),BE→=(-2,1,0),BP→=(-2,0,2),PD→=(0,2,-2) ………… 3分
设PF→=λPD→,(0≤λ≤1),平面BEFG 的一个法向量为m→=(x,y,z)
BG→·m→=0 -x+y+z=0 y=2x
所以, ,即 ,→ → 解得 …… 4分BE·m=0 -2x+y=0 z=-x
令x=1,则m→=(1,2,-1)………………………………… 5分
又BF→=BP→+PF→=BP→+λPD→=(-2,2λ,2-2λ),
BF 平面BEFG
所以,BF→·m→=-2+2λ×2-(2-2λ)=0 ……………… 7分
解得 2λ= ,3
所以,PF=2. ………………………………………………………………………………FD 8
分
(2)
→
设平面CEF 与平面BEFG 夹角为θ,另设平面CEF 的一个法向量为n=(x1,y1,z1)
由(1)知CE→=(-2,-1,0),CP→
2 4 4
=(-2,-2,2),PF→= PD→3 =
(0, , )3 -3
∴CF→=CP→+PF→=CP→
2 2 2
+ →3PD=
(-2,- , )………………………………………3 3 10
分
→
CE→·n=0 -2x1-y1=0 y1=-2x1
所以, ,即 2 2 ,解得 ………………………→ → 11分CF·n=0 -2x - + z =0 z =x 1 3y1 3 1 1 1
, →令x1=1 则n=(1,-2,1)……………………………………………………………… 12分
→·→ ( ) (
所以, → m n 1×1+2× -2 + -1
)×1 2
cosθ= cos = → · →
= = . … 14分
m n 6× 6 3
即平面CEF 与平面BEFG 夹角的余弦值为
2
. ……………………………………… 15分3
方法二:取BC 中点Q,连接PQ 交BG 于点S,连接QD,SF.………………………… 1分
∵四边形ABCD 为正方形,E 为AD 中点
∴DE//BQ,DE=BQ.
∴四边形BQDE 为平行四边形
数学试题参考答案 第3页 (共7页 )

∴QD//BE ………………………………………………… 3分
又∵QD 平面BEFG,BE 平面BEFG
∴QD//平面BEFG ………………………………………… 5分
∵QD 平面PQD,平面PQD∩平面BEFG=SF
∴SF//QD ………………………………………………… 7分
PF PS
∴FD=SQ
又∵G 为棱PC 的中点,PQ∩BG=S
∴点S 为△BCP 的重心
PS ,故PF∴ =2 =2. ……………………………………………………………………… 分SQ FD 8
(2)以A 为坐标原点,分别以AB→,AD→,AP→ 的方向为x 轴,y 轴,z轴的正方向,
建立如图所示空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),G(1,1,1),
E(0,1,0),C(2,2,0)………………………………………… 9分
所以,BG→=(-1,1,1),BE→=(-2,1,0),BP→=(-2,0,2),
PD→=(0,2,-2),CE→=(-2,-1,0),CP→=(-2,-2,2)
设平面BEFG 的一个法向量为m→=(x,y,z)
BG→·m→ =0 -x+ +z=0 =2x所以, → → ,即BE·m=0 y , y解得-2x+y=0 z=-x
令x=1,则m→=(1,2,-1) ……………………………………………………………… 11分
→
另设平面CEF 的一个法向量为n=(x1,y1,z1)
由( 21)知PF→= PD→=(0,
4, 4
3 3 -
)
3
2 2 2
∴CF→=CP→+PF→=CP→+ PD→3 =
(-2,- , )3 3
→
CE
→·n=0 -2x1-y1=0 y =-2x
所以, → → ,
1 1
即
· 2 2
,解得 ……………………… 12分CF n=0 -2x1-3y1+ 3z1=0 z1=x1
→
令x1=1,则n=(1,-2,1)……………………………………………………………… 13分
设平面CEF 与平面BEFG 夹角为θ,
→ →
→ · ( ) ( )
所以, m n 1×1+2× -2 + -1 ×1 2cosθ= cos =
m→
→ = = . … 14分· n 6× 6 3
即平面CEF 与平面
2
BEFG 夹角的余弦值为 . ……………………………………… 15分3
数学试题参考答案 第4页 (共7页 )

18.(本题满分17分)
解:(1)①当直线l斜率不存在时,由椭圆的对称性,不妨设直线l在y 轴右侧,
直线OA 的方程为y=x, ………………………………………………………………… 1分
x2 y2
8+4=1由 ,解得 26 x= ,
26
3 y= 3
y=x
所以,A(
26,26)
3 3
所以,直线 26 26AB 的方程为x= ,此时P( ,0)3 3 .
同理,当直线l在y 轴左侧时, (
26
P - ,0).……………………………………………3 2
分
②当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)
y=kx+m
由 x2 y2 消去y 整理得,(1+2k
2)x2+4kmx+2m2-8=0 …………………… 4分
8
+4=1
-4km 2m2-8
∴Δ=64k2-8m2+32>0,且x1+x2= 2,x1x2= 2,……………………… 5分1+2k 1+2k
又∵OA⊥OB, ∴OA→·OB→=0即:x1x2+y1y2=0…………………………………… 6分
所以,x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0
(1+k2)x 21x2+km(x1+x2)+m =0
(1+k2)(2m2-8) 4k2m2 m2(1+2k2)
- + =0
1+2k2 1+2k2 1+2k2
所以3m2=8(k2+1)满足Δ>0…………………………………………………………… 7分
2 (
所以, m m 8k
2+1) 26
|OP|= = 2 = 2 =
k2+1 k +1 3(k +1) 3
.
综上, 26|OP|= ,所以,点P 的轨迹方程为 2
8
x +y2= . ……………………………3 3 8
分
(2)①由(1)可知,当直线l斜率不存在或斜率为
8
0时,SΔABC= .………………………3 9
分
②当直线l斜率存在且不为0时,
64k2-8m2+32
AB = 1+k2 x1-x2 = 1+k2 1+2k2
32k2+8
2 ( 2)( 2)
= 1+k2·
3 46· 1+k 1+4k=
1+2k2 3 (1+2k2)2
数学试题参考答案 第5页 (共7页 )

46· 4k
4+5k2+1 46· k
2
= 3 4 = 1+4k +4k2+1 3 4k4+4k2+1
46· 1= 1+ …………………………………………………………3 1 12
分
4k2+4+
k2
2 1∵k >0, ∴4k2+ 2≥4,当且仅当
2 1k = ,即
2
k=± 等号成立.………………… 13分
k 2 2
1
∴1+ 1 ∈2 ,91 4k + +4 8
k2
∴ AB ∈ 46 ,23 …………………………………………………………………… 15分3
1
∴S 8 ΔABC= OP · AB ∈ ,22 ………………………………………………… 分2 3 16
综上,S 8ΔABC∈ ,22 .………………………………………………………………… 17分 3
19.(本题满分17分)
2
(1)解:函数f(x)的定义域为 0,
1 1-ax
+∞ ,f'(x)=x-ax=
…………………… 分
x 1
①若a≤0,f'(x)>0恒成立,f(x)在 0,+∞ 上单调递增.…………………………… 2分
②若a>0,x∈ 10, 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;a
x∈ 1,+∞ 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.…………………………… 4分a
综上,当a≤0时,f(x)在 0,+∞ 上单调递增;
当a>0时,f(x)在 10, 上单调递增,在 1, 上单调递减.………… 5分a a +∞
() : () () f
(x )-f(x )
2 证明 令F x = 2 1f'x - ,(x -x x>0
)…………………………………… 6分
2 1
1
lnx - ax 2
1
2 2 -lnx1+ ax 21
则 1 2 2F(x)=x-ax- x2-x1
1 lnx -lnx 1
=x-ax-
2 1
x -x + a
(
2 x2+x1
)
2 1
因为a>0
所以, () 1 lnx -lnx 1F x = -ax- 2 1+ a(x2+x1)在区间 x1,x x -x 2 x2
上单调递减. …… 7分
2 1
( 1 lnx -lnx 1 1 lnx -lnx 1F x 2 11)=x -ax1- x -x +2a
(x +x 2 12 1)= (x - + ax2-x1
)
1 2 1 1 x2-x1 2
数学试题参考答案 第6页 (共7页 )




1
= (
x2 x2) 1 (
x -x x -1-lnx +2ax2-x1
)………………………………………… 9分
2 1 1 1
令g(t) , ,则 ()
1 t-1
=t-1-lntt>0 g't =1-t= t
所以,t∈ 0,1 时,g'(t)<0,g(t)单调递减,t∈ 1,+∞ 时,g'(t)>0,g(t)单调递增
所以,g(t)min=g(1)=0
x x x
又02>1,所以 2x x -1-ln
2 恒成立
1 1 x
>0
1
又因为a>0,x2-x1>0,
所以,F(x1)>0. ………………………………………………………………………… 10分
同理可得,F(x2)
1 x x 1
= (x -x 1-
1
x -ln
2)
x + a
(
2 x1-x2
)
2 1 2 1
由 1 1t-1-lnt≥0(t=1时等号成立)得,t-1-lnt≥0
,
即, 11-t-lnt≤0
(t=1时等号成立)
x x x
又01<1,所以 1x 1-x -ln
2 恒成立
2 2 x
<0
1
又因为a>0,x1-x2<0,x2-x1>0,
所以,F(x2)<0 …………………………………………………………………………… 11分
所以,区间(x1,x2)上存在唯一实数ξ,使得F(ξ)=0
所以,对任意a∈(0,+∞),存在唯一的实数ξ∈(x1,x2),
f(() x2
)-f(x )
使得f'ξ =
1 成立;……………………………………………………… 分
x2-x
12
1
(3)证明:当
1 1
a=1时,由(1)可得,f(x)=lnx- x2 在2 +2 1
,+∞ 上单调递减.
所以, 1 1x>1时,f(x)令 n+1 n+1 1 n+1 1x= ,n n∈N
*,则ln - ( )2+ <0 ………………………………… 分n 2 n 2 14
即,(n+1)2
n -1>2ln
(n+1)-2lnn
即,2n+12 >2ln(n+1)-2lnnn
令bn=2ln(n+1)-2lnn,n∈N*,则an>bn, ………………………………………… 16分
所以,a1+a2+a3+…+an>b1+b2+b3+…+bn
所以,Sn>2ln(n+1)……………………………………………………………………… 17分
数学试题参考答案 第7页 (共7页 )济宁市2024年高考模拟考试
数学试题
2024.03
注意事项：
】、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题耳的答案标号涂黑。如需
政动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答荣写在答題卡上。写在本
试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.抛物线y-女的焦点坐标为
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(1,0)
D.(2,0)
2.已知i为虚数单位，复数x满足x(1十)一1十2i=0,则x=
13
G
13
B.-2+21
D.2-2
3.已知等差数列{am}的前n项和为S.,且S2=2,S6=9,则S1n=
A.14
B.16
C.18
D.20
4.(a8一a十b)5的展开式中ab2的系数为
4.-60
B.-30
C.30
D.60
5.已知O为坐标原点，直线：x=my十3与圆C:x2+y2一6x+8=0相交于A,B两点，
则OA·OB=
A.4
B.6
C.8
D.10
6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,a cosB=(2c一b)cosA,则△ABC
面积的最大值为
4.9g
B.9/3
4
2
c
号
7.设函数f(x)定义域为Rf(2x一1)为奇函数，f(π一2)为偶函数，当x∈「0,1门时，
f(x)=x8-1,则f(2023)-f(2024)=
A.-1
B.0
C.1
D.2
数学试题第1页（共4页）

Q夸克扫描王
极速扫描，就是高效
巧
8已知双曲线C:-为1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,P,过P,的直线与y轴相
交于M点，与双曲线C在第一象限的交点为P,若F,M=2M币，F,户。F户=0，刚双曲线C
的离心率为
A.2
3.③
吗
D.3+1
二、多项选拌题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的是
A线性回归分析中可以用决定系数R来刻画回归的效果，若R的值越小，则模型的拟合效
果越好
B.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=20,D(X)=10,则n=40
C.已知随机变量e服从正态分布N(2,2),若P(>1)=力，则P(≥3)=1一
D已知随机率件A,B清足P(B)-号，PAB)-号期P百B)-号
10.已知函数f(x)=sin(ax+)(w>0),则下列说法中正确的是
A若x-号和x=看为函数f)图象的两条相邻的对称轴，则=2
B若w=子，则题数f(红)在(0，x)上的值城为（分号
22
C.将函数f(x)的图象向左平移。个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，
则w的最小值为5
D.若函数fx)在0，x)上怡有-个零点，则<<号
11
1I.如图，在棱长为2的正方体ABCD一AB:C:D1中，M是棱BC的中点，N是校DD:上的
动点（含端点），则下列说法中正确的是
A.三棱锥A,一AMN的体积为定值
B.若N是棱DD,的中点，则过A,M,N的平面截正方体
ABCD-A,B,CD,所得的截面图形的周长为2
C.若N是棱DD1的中点，则四面体D,一AMN的外接球的
表面积为？r
D.若CN与平面AB,C所成的角为6，则sin∈气，]
数学试题第2页（共4页）

Q夸克扫描王
极速扫描，就是高效
巧

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