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热点4-2 平面向量的数量积及应用
平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.本部分考题综合性较强，强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识，对向量几何模的研究比较透彻.考生在复习过程中，要重点理解向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表示，能灵活运用定义法、坐标法、基底法解决常见的数量积问题.
【题型1 平面向量的数量积运算】
满分技巧求向量数量积的3种常规方法 1、定义法求平面向量的数量积：，其中是两个向量，的夹角；适用于已知或可求两个向量的模和夹角. 2、基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；适用于直接利用定义求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解. 3、坐标法求平面向量的数量积：，，则 适用于：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时.
【例1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）
1．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）
2．已知向量，满足，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式1-2】（2024·北京东城·高三统考期末）
3．已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·山东济南·高三统考期末）
4．平行四边形ABCD中，，，，若，，则（ ）
A．4 B．6 C．18 D．22
【变式1-4】（2024·陕西西安·高三西安中学校考期末）
5．在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F.则 .
【题型2 平面向量的投影向量】
满分技巧解决向量投影问题应注意以下3点 1、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定； 2、向量在方向上的投影向量为； 3、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为
【例2】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）
6．若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·河南·高三校联考期末）
7．已知平面向量满足，，，则在方向上的投影为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【变式2-2】（2024·河北·高三校联考期末）
8．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）
9．已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·江苏南京·高三金陵中学假期作业）
10．在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 平面向量的模长问题】
满分技巧求向量的模或其范围的方法 1、定义法：，； 2、坐标法：设，则； 3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解. 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解.
【例3】（2024·全国·高三校联考竞赛）
11．平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【变式3-1】（2024·山西临汾·统考一模）
12．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A． B． C．3 D．7
【变式3-2】（2024·湖南长沙·统考一模）
13．在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·湖北·校联考模拟预测）
14．已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 .
【变式3-4】（2024·全国·高三专题练习）
15．已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 平面向量的夹角问题】
满分技巧求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角.
【例4】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）
16．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·云南大理·统考模拟预测）
17．已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）
18．已知两个单位向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）
19．已知内的一点M满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【变式4-4】（2024·全国·高三专题练习）
20．已知向量，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为 ．
【题型5 平面向量的垂直问题】
满分技巧两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数，高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数. （1）如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数； （2）如果未知向量的坐标，则可通过向量加法（减法）的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数. 【注意】如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标，从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题，注意方程思想和等价转化思想的运用.
【例5】（2024·江西·高三校联考期末）
21．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）
22．若为非零向量，满足，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式5-2】（2024·浙江·校联考一模）
23．已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式5-3】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）
24．已知非零向量，满足，设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式5-4】（2024·湖南常德·高三统考期末）
25．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 数量积的综合应用】
满分技巧综合问题的求解方法： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决； （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
【例6】（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）
26．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10 B．13 C．18 D．26
【变式6-1】（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）
27．在中，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形
C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形
【变式6-2】（2024·全国·校联考一模）
28．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
【变式6-3】（2024·天津河西·高三统考期末）
29．在中，，，，，，且，则 ；的值为 .
【变式6-4】（2023·全国·模拟预测）
30．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（建议用时：60分钟）
（2024·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期末）
31．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（2024·浙江嘉兴·高三统考期末）
32．已知单位向量，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·山东青岛·高三统考期末）
33．在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）
34．已知、为单位向量，且，则、的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2024·福建厦门·统考一模）
35．已知，为单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2024·北京丰台·高三统考期末）
36．已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2024·湖南邵阳·统考一模）
37．已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（2024·广东深圳·高三统考期末）
38．已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）
39．已知，，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）
40．在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）
41．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北·高三校联考期末）
42．若，，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）
43．在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·江苏·高三统考期末）
44．平面向量，，满足，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2024·天津河北·高三统考期末）
45．如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（ ）

A． B． C． D．
（2022·河南·高三校联考专题练习）
46．已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夹角），则 .
（2022·河南·高三专题练习）
47．已知平面向量，满足，，若，则向量，的夹角的余弦值为 ．
（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末）
48．如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ．
（2023·全国·模拟预测）
49．已知圆上有两个动点，满足，点是圆上的动点，则的取值范围是 ．
（2023·天津·高三天津市第七中学校考阶段练习）
50．如图，在菱形中，，E、F分别为、上的点．，，点M在线段上，且满足， ；若点N为线段上一动点，则的取值范围为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据数量积得运算律计算即可.
【详解】由，
所以，则.
故选：C
2．A
【分析】由向量数量积公式计算即可得.
【详解】因为，，所以.
故选：A.
3．B
【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】非零向量，，满足，且，
对于A，不恒为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，不恒为，故C错误；
对于D，不恒为，故D错误.
故选：B.
4．C
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可知，以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示
因为，
所以.
设，则，
由，得，即，解得，
所以.
设，则，
由，得，
即，解得，
所以.
所以，
.
故选：C.
5．
【分析】利用平行线的性质，确定出点是的几等分点，则都用基底向量来表示，利用数量积的运算律即可求解．
【详解】如图：过作交于点．
由，是的中点得：，,所以，
故，即．
所以．
所以．
．
由已知得．
所以
．
故答案为：．
6．D
【分析】由向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量.
【详解】由，则，
由在上的投影向量.
故选：D
7．A
【分析】首先根据，结合向量数量积公式，求，再代入投影公式，即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，，
则在方向上的投影为.
故选：A
8．D
【分析】根据向量的加法法则，结合投影向量的求解即可求解.
【详解】由可得，
又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形，
故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为，
故选：D．
9．B
【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答
【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由，可得的角平分线与垂直，
所以为等腰三角形，且，
又，得，所以，
又，所以,
所以为等边三角形，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
10．C
【分析】首先利用平面向量基本定理的推理，以向量为基底表示向量，再根据投影向量公式，即可求解.
【详解】如图，，
，
则，得，，
即,
则在上的投影向量为，
，
所以在上的投影向量为.
故选：C
11．B
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
12．B
【分析】根据已知结合投影向量的概念得出，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B.
13．B
【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解.
【详解】连接，，如图，可知.

由，即，可得.
从而，，所以.
故选：B.
14．
【分析】根据数量积的定义和运算律可得，结合二次函数分析求解.
【详解】由题意可知：，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
15．C
【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.
【详解】
如图，设，，，点在圆上，
点在圆上，则，，由可得：，
作矩形, 则.
下证： .
设交于点，连接,因则 ，
同理可得：，两式左右分别相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故选:C．
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
16．A
【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
在上的投影向量为
所以，
所以，
所以为钝角，且.
故选：A
17．C
【分析】将条件等式变形，再结合数量积公式，即可求解.
【详解】因为，且，则，
两边平方可得，即，
所以，，又，
所以与的夹角为.
故选：C
18．A
【分析】根据向量的模长可得向量的数量积，再根据平面向量夹角余弦公式即可得向量的夹角大小.
【详解】由，平方可得，又
所以，
所以，
因为，
所以向量的夹角为．
故选：A.
19．D
【分析】先将转化为向量间的关系即，进而结合向量的运算转化可得，之间的关系，进而求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以向量与向量的夹角为90°．
故选：D.
20．
【分析】利用数量积为负可求参数的取值范围.
【详解】因为与的夹角为钝角，
故且与不共线反向，
由可得，
即即，故或，
若与共线，则存在实数，使得，
而不共线，故即或，
当时，与共线同向；
当时，与共线反向；
故的取值范围为或或，
故答案为：.
21．C
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】因为，所以，即，
所以，所以.
故选：C.
22．B
【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果.
【详解】，，
即，
又,
为非零向量，,
又,
所以.
故选：B
23．D
【分析】先计算平面向量的数量积，再利用，列式解得即可.
【详解】由题意，得，
由，得，即，
∴ ，解得.
故选：D
24．A
【分析】将平方转化为数量积，根据可得乙等价于，即甲、乙互为充要条件.
【详解】乙:等价于，
即，
因为，所以，所以乙等价于，即，
所以甲、乙互为充要条件.
故选：A
25．D
【分析】由题意得，即，代入即可求解．
【详解】已知向量，，
若，则，即，
则的值为．
故选：D．
26．B
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B．
27．D
【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得，分情况考查的正负情况，转化为的正负情况，进一步分析即可.
【详解】因为，
即,
又时，三角形一定不是直角三角形，
则有，
，
若，则，为锐角，但是不能判断的大小，
故A,B错误；
当时，则，中必有一个钝角，
故此时是钝角三角形，C错误，D正确，
故选：D.
28．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标系表示向量，写出的解析式，再求的取值范围即可.
【详解】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形的边长为，所以，
则、，则，
设的中点为，则，，所以，，
因为是半圆上的动点，设点，
则，其中，则，
所以，，
由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、），
，
当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为，
可设点，其中，则，
，则，
同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、），
.
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
29．
【分析】根据平面向量的基本定理、向量的数量积定义及数量积运算即可求解.
【详解】因为，，，
所以,
又，在中，，，
所以，
,
即，解得或（舍去），
故的值为：.
又,,

，
故的值为：.
故答案为：
30．A
【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.
【详解】
因为，
则，所以，即B，O，C三点共线．
因为为的外心，即有，
所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角．
如图，过点作，垂足为．
因为在上的投影向量为，所以，
所以在上的投影向量为．
又因为，所以．
因为，所以，
故的取值范围为．
故选：A．
31．C
【分析】将平方转化为数量积计算即可.
【详解】得，即
所以，所以.
故选：C
32．B
【分析】根据题意可得，，，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】由题意可知：，，，
所以.
故选：B.
33．A
【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.
【详解】由题意，
则，，
.
故选：A
34．B
【分析】设、的夹角为，则，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，即可得出角的值.
【详解】设、的夹角为，则，由已知可得，，
所以，，即，
即，即，
解得，故，
故选：B.
35．B
【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求即可判断夹角大小.
【详解】由题意，则与的夹角为.
故选：B
36．A
【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.
【详解】当，且时，
，充分性满足；
当时，
，当，时，
是可以大于零的，
即当时，可能有，，必要性不满足，
故“，且”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
37．D
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算法则求解.
【详解】由题意：，，，
所以.
故选：D
38．C
【分析】根据可得，再由向量夹角计算公式可求得与的夹角为.
【详解】由题意可得，
将两边平方可得；
可得，可得；
设与的夹角为，则，
所以.
故选：C
39．D
【分析】借助平面向量的数量积公式与投影向量公式计算即可得.
【详解】
.
故选：D.
40．B
【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量在向量上的投影向量.
【详解】由题设，
向量在向量上的投影向量为.
故选：B
41．A
【分析】根据投影向量的定义运算求解.
【详解】，又，
所以在向量上的投影向量为.
故选：A.
42．A
【分析】（法一）设与夹角为．因为，对其两边同时平方结合三角函数的性质即可得出答案；（法二）因为，如图设，，由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，结合图形即可得出答案.
【详解】（法一）设与夹角为．因为，
得
，
当时，最大值9，的最大值3，故选：A．
（法二）因为，如图设，，
由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，
当点B与O、A在一条直线，位于图中位置时，的最大值3.
故选：A.
43．D
【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解.
【详解】因为D为AB的中点，则，
可得，即，解得，
又因为P为CD上一点，设，
则，
可得，解得，即，
则，
可得，即.
故选：D.
【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得；
2.设，根据平面向量基本定理求得；
3.以为基底表示，进而运算求解.
44．B
【分析】设，计算得到，求出，利用求出答案.
【详解】设，
则，
而，
因为，所以.
故选：B.
45．C
【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用，表示，计算即可得到结果．
【详解】平行四边形，，，，，
可得，
是线段的中点，
可得，
；
，
则
．
故选：C
46．8
【分析】利用平面向量的线性运算求解即可.
【详解】依题意，，解得，
则.
故答案为：8.
47．##0.725
【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律计算即得.
【详解】依题意，两边平方得，而，，
因此，解得，
所以向量，的夹角的余弦值为.
故答案为：
48．18
【分析】表达出，，利用数量积运算法则求出答案.
【详解】因为平行四边形中，，
所以，，
，，
故
.
故答案为：18
49．
【分析】取的中点，连接，根据题意分析可知，根据向量的运算可得，结合圆的性质分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径；
连接，取的中点，连接，
由得，
因为，
注意到与为相反向量，
因此．
又因为，，
即，可得，所以．
故答案为：.
50． ,．
【分析】根据模长公式即可由数量积的运算律求解空1，用基底，表示，，然后求数量积，再由函数性质得出取值范围．
【详解】由可得，
所以,
设，,，
，
所以，
，
所以
，
因为,，所以,，
故答案为：；,．
答案第1页，共2页
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