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热点7-4 抛物线及其应用
抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点.这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤.
【题型1 抛物线的定义及概念辨析】
满分技巧1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P（x，y）到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）
1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）
2．动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）
3．焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）
4．设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）
5．设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【题型2 利用定义求距离和差最值】
满分技巧与抛物线有关的最值问题的转换方法 （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）
6．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）
7．点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）
8．已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）
9．已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）
10．设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 抛物线标准方程的求解】
满分技巧1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值（系数p是指焦点到准线的距离），再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px（p>0）和y2＝2px（p>0）两种情况求解． 另一种是设成y2＝mx（m≠0），若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my（m≠0）．
【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）
11．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）
12．已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式3-2】（2023·上海杨浦·统考一模）
13．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）
14．点M为抛物线上点，抛物线焦点为F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若是以为底边的等腰三角形，且，则抛物线方程为 .
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）
15．若点A，B在抛物线上，O是坐标原点，正三角形OAB的面积为，则该抛物线的方程是 ．
【题型4 抛物线的中点弦问题】
满分技巧设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：
【例4】（2023·四川资阳·统考三模）
16．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【变式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考阶段练习）
17．已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ．
【变式4-2】（2023·贵州遵义·统考三模）
18．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）
19．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .
【变式4-4】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）
20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【题型5 抛物线的弦长问题】
满分技巧1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）. 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）（焦点弦长与中点关系） （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值.
【例5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）
21．已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·江西景德镇·统考一模）
22．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式5-2】（2022·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）
23．若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
【变式5-3】（2022·四川内江·统考模拟预测）
24．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
【变式5-4】（2023·湖南邵阳·高三邵东市第三中学校考阶段练习）
25．已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
【题型6 直线与抛物线综合应用】
满分技巧求解抛物线综合问题的方法 （1）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用． （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p（焦点在x轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式．
【例6】（2023·全国·模拟预测）
26．已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围．
【变式6-1】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）
27．已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
(1)求抛物线C的方程：
(2)当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【变式6-2】（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）
28．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.
(1)求的方程；
(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）
29．已知抛物线 的准线经过点 ．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-4】（2023·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）
30．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．
（建议用时：60分钟）
（2023·西藏拉萨·统考一模）
31．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
（2023·全国·模拟预测）
32．已知抛物线，直线与抛物线相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点A作垂直于C的准线于点D．若，则p的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）
33．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
34．设为抛物线的焦点，点为上第四象限的点．若直线的方程为，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
（2023·江苏徐州·高三统考期中）
35．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
36．已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）
37．已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）
38．设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A． B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）
39．直线与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．拋物线的焦点为
C．若为原点，则 D．若，则
（2023上·山东·高三校联考开学考试）
40．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（ ）
A． B．当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C． D．
（2023·天津北辰·高三统考期中）
41．一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且该直线与圆相交于A，两点，则 ．
（2023·全国·高三专题练习）
42．已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ．
（2023上·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）
43．已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ．
（2023·湖南郴州·统考一模）
44．已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.
(1)求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.
（2023·贵州毕节·校考模拟预测）
45．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
(1)设为抛物线上的动点，求的取值范围；
(2)记的面积为的面积为，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据抛物线定义求解即可.
【详解】由题意得，，抛物线中，
所以，所以所求距离为.
故选：B
2．D
【分析】根据题意可知，动点P到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线.
【详解】如图所示，由于动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，
于是动点P在直线的右边，且动点P到直线的距离大于2，
因此动点P到直线的距离等于它到点的距离，
进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．
故选：D
3．A
【分析】先过B点作准线的垂线，再根据定义结合正弦定理，计算倾斜角的正弦最后得出斜率即可.
【详解】过作准线的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可得，由，
在中由正弦定理可知：，
设的倾斜角为，则，
故选:A．

4．C
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合抛物线的定义，列出方程，即可求得结果.
【详解】设直线与轴交点为，
由抛物线的对称性，易知为直角三角形，且，
，即，去绝对值，解得或，
所以抛物线的准线方程为或.
故选：C.
5．D
【分析】由已知及抛物线定义证是正三角形，再求梯形的面积即可.
【详解】由题知，抛物线的焦点F为，准线l为，如图所示.

由题知，因为，所以，
则.
因为，所以，
由抛物线的定义知，所以是正三角形，
所以，则.
故选：D
6．A
【分析】先用焦点坐标将抛物线方程计算出来，再根据抛物线的定义得到点到焦点的距离等于其到准线的距离，结合线段间的不等关系，即可得到.
【详解】由是抛物线的焦点，得，即，
故，其准线方程为，
当时，有，即，故点在抛物线上方，
由抛物线定义可知，点到焦点的距离等于其到准线的距离，
则.
故选：A.
7．A
【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.
【详解】如图所示：
由知，抛物线焦点，
由，化为，
即为以为圆心，1为半径的圆，
又，得，恒过定点，
过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接，
则，
当三点共线时，最小,此时为3，
所以的最小值为：，
故选：A.
8．
【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
【详解】
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
9．C
【分析】由题意，的最小值为，的最小值为，可求的最小值.
【详解】圆：，圆心坐标，半径为1，
抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示，
点到直线的距离比点到准线的距离大2，即，
的最小值为，当三点共线时的最小值为，
所以.
故选：C.
10．A
【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.
【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，
所以
.
当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.
故选：A
11．C
【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案．
【详解】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：
又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，
所以，
所以在中，，则，所以抛物线的方程为.
故选：C.
12．A
【分析】设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.
【详解】设为，则，
又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．
故选：A．
13．
【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
因为都在第一象限，所以，
又因为且，
所以，所以，所以抛物线方程为，
故答案为：.
14．
【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出关系求解即可.
【详解】因为是以为底边的等腰三角形，且，
所以，设点M到抛物线准线的距离为，
则由抛物线的定义知，，
即：，且，所以，解得：，
所以抛物线的方程为.
故答案为：
15．
【分析】根据对称性可知轴，所以根据正三角形OAB的面积为，可以得到AB长，以及三角形OAB的高，进一步得到点A的坐标，将A点坐标代入抛物线方程解得p，即可得到抛物线的方程.
【详解】根据对称性，可知轴，
由于正三角形OAB的面积是，故，
故，正的高为，
故可设点A的坐标为，代入抛物线方程得，解得，
故所求抛物线的方程为．
故答案为：
16．A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
17．
【分析】先由题意判断得，再由点差法求得，由此得到，从而利用点斜式即可求得直线AB的方程.
【详解】依题意，设，
若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故，
因为A，B是抛物线上的两点，
所以，两式相减得，，整理得，
因为线段AB的中点为，
所以，即，
又，所以，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：.
18．2
【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.
【详解】设，代入抛物线，得，
则①，
因为两点A，B关于点对称，则，
所以由①得，
直线AB的斜率为2.
则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.
所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
19．
【分析】设、中点，分析可得直线过定点，即，点差法可得，代入可得，与抛物线联立可得的范围
【详解】设，中点，
则.
，
过定点，
.
又，（1），（2）
得：，
. 于是，即.
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦的中点轨迹方程是
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；
（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.
【详解】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：

则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．
21．C
【分析】设直线l的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，根据其判别式为零，结合可求得的值，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值.
【详解】如下图所示：
易知抛物线的焦点为，
设直线l的方程为，
因为直线与抛物线相切，联立，可得，
则，因为，解得，
设点、，联立，可得，
，由韦达定理可得，，
故选：C.
22．B
【分析】由题设及抛物线性质求出直线的倾斜角，由即可求弦长.
【详解】由四边形为菱形，如下图示，，，
由抛物线性质知：，则，故，
又，故，
所以.
公式，证明如下：
令直线（斜率存在）为，代入，则，
整理得，若，
而，若直线倾斜角为（不为直角），则，
所以.
故选：B
23．8
【分析】求出焦点坐标，设出直线方程为，并设，直线方程代入抛物线方程，由韦达定理得，由中点纵坐标求得值，由弦长公式得结论．
【详解】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设的方程为，，
则由得，
，，
又，所以，即，，
所以．
故答案为：8．
24．(1)或
(2)
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解；
（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解.
【详解】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，
①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
所以，解得：；
综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．
（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，
所以过点且斜率为的直线方程为：，
设，，
联立，消去，得：，
则由韦达定理得：，，
所以，
所以.
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的准线方程求出得解；
（2）联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系及弦长公式建立方程即可得解.
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以抛物线的方程为.
（2）如图，

设，.
将代入，
消去整理得 .
当时，
， .
，
化简得：，解得，
经检验，此时，故.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义分析可得，进而可得；
（2）设直线的方程为，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理整理得，利用基本不等式运算求解.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
设点到准线的距离为．
由抛物线的定义，得，解得，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以抛物线的标准方程为．
（2）设，
由题意可知，的斜率存在且均不为0，
设直线的方程为，
将其代入，得，则有．
同理可得：设直线的方程为，则．
所以，
所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
又易知，
所以的取值范围为．
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：
（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；
（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；
（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
27．(1)
(2)．
【分析】（1）根据准线方程得到方程，求出，得到抛物线方程；
（2）求出过M，N的切线方程，从而，均在直线上，联立，根据弦长公式结合求出，表达出的面积，，构造函数，求导，得到单调性，求出最值.
【详解】（1）因为准线方程为，所以，解得，
抛物线C的方程为．
（2）设，，则，
对求导可得，
故过M的切线方程为，即，
故，
故MP：，
同理可得NP：，
因为两切线均经过，
所以
，均在直线上，
可知MN：，当得，，解得，
则MN与y轴的交点坐标为．
联立，整理得，
由韦达定理，，，
则，
又因为在圆，则，
代入可得，
，
因为，所以，．
构造，，，
易知在上恒成立，故在上单调递增，
当时，取得最小值，此时取到最大值，点P的坐标为．
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
28．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点的坐标为，根据直线的斜率为，得到，再根据的面积为求出，即可得解；
（2）设直线的斜率为，，，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，即可求出，同理求出，从而得到，再由斜率公式求出即可.
【详解】（1）由题意知，设点的坐标为，
则直线的斜率为．
因为直线的斜率为，所以，即，
所以的面积，
解得或（舍去），
故抛物线的方程为．

（2）依题意直线的斜率存在且不为，
设直线的斜率为，点，，．
则直线的方程为，
由消去整理得，
由，所以且，
，是方程的两个根，
，，
依题意，直线的斜率为，同理可得，
，
，
所以直线的斜率为定值．

29．(1)
(2)存在，两个定点的坐标分别为和.
【分析】（1）由抛物线的几何性质可知，求出值从而得出抛物线方程；
（2）设直线的方程为 ，联立直线与抛物线 的方程，由韦达定理可得,设以为直径的圆上任一点 , 则 ,令 ,再结合即可解得以为直径的圆经过轴上的两个定点的横坐标，从而求得两个定点
【详解】（1）依题意知, , 解得 , 所以抛物线 的方程为 .
（2）存在, 理由如下.
设直线的方程为 .
联立直线与抛物线 的方程得 消去 并整理, 得 .
易知 , 则
由直线的方程 , 可得 ,
由直线的方程 , 可得 .
设以为直径的圆上任一点 , 则 ,
所以以为直径的圆的方程为 .
令 , 得 .
将 代入上式，得 , 解得 .
故存在以为直径的圆经过轴上的两个定点, 两个定点的坐标分别为和.
30．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义表示的长，然后求出，即得到抛物线C的方程.
（2）由已知条件可求出直线的方程，再设出直线的方程并代入抛物线中化简求出，两点横坐标之间关系，从而设出直线，并与直线联立求出，同理可得，从而可得的表达式，化简可得，即可得证.
【详解】（1）
过点D作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义得，，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）
证明：直线l：，令得，所以点，
因为直线平行于直线l：，且过点，
所以直线：，
设直线：，联立，得，
所以，设点，，
由韦达定理可得，，
所以直线PB的方程为，直线QB的方程为，
联立解得，
同理可得，
所以
，
因为，所以，即A是线段MN的中点．
所以．
31．B
【分析】根据抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.
【详解】设，由得，又，得，
所以，.
故选：B
32．B
【分析】易得点的横坐标为，再利用抛物线的定义得到，再根据，得到是等边三角形，结合，得到，由求解.
【详解】解：如图所示：
根据题意，得点的横坐标为．
由抛物线的性质，得．
又因为，所以，
所以是等边三角形．
而 ，则，
所以，
解得．
故选：B．
33．C
【分析】设，由取得最小值，则最大，最小求解.
【详解】解：如图所示：
因为，
设，
则，
，
当时，取得最小值，
此时，最大，最小，
且，
故选：C
34．C
【分析】先根据焦点位置求出抛物线方程，再将直线和抛物线方程联立求出点坐标，再根据焦半径公式可得答案.
【详解】由题意可知，，则，所以，．
将代入，得，解得，，
则，．
因为点为上第四象限的点，所以．
根据抛物线的定义可知，．
故选：C．
35．C
【分析】设AB的中点为H，A、B、H在准线上的射影分别为，由题意和抛物线的定义可得，即，设，设直线AB方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出直线AB的斜率，求得H的坐标，进而求出其中垂线方程，可得D的坐标，结合弦长公式和三角形面积公式计算即可求解.
【详解】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，
设A、B、H在准线上的射影分别为，
则，由抛物线的定义可知，
，
所以，得,
即点H的横坐标为2，设直线AB：，代入抛物线方程，
得，由，得且.
设，则，解得或（舍去）.
所以直线AB：，，
所以AB的中垂线方程为，令，解得，即，
则，
又，所以，
所以.
故选：C.
36．B
【分析】根据抛物线的简单几何性质、直线的斜率求解.
【详解】由抛物线的性质，得，所以，则.
设，则，所以，所以，解得，
所以直线的斜率.
故选:B.
37．C
【分析】易知直线l的斜率存在，设，则，两式相减即可得出直线的斜率的值．
【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，
则，两式相减得，整理得，
因为MN的中点为，则，
所以，即直线l的斜率为3．
故选：C．
38．AD
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，令，由已知结合抛物线的定义可得，计算判断AD；举例说明判断BC.
【详解】依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确；
令，显然，即，
取，则，即点，此时，
以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径，
因此该圆与准线不相切，B错误；
以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，，
此时，C错误；
线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确.
故选：AD
39．BC
【分析】根据抛物线的方程即可得准线和焦点坐标，进而可判断AB，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，结合向量垂直的坐标运算即可判断C，由焦半径公式即可判断D.
【详解】
由，则其焦点为，准线方程为A错，B对；
联立直线与拋物线得，设，则
，而，
由，即，故C对，
显然直线不过焦点，由拋物线定义有，所以D错.
故选：BC
40．ACD
【分析】对于A选项：由焦点到准线的距离为2即可验证；
对于B选项：设点的坐标为，根据中点坐标公式以及线段的中点在抛物线上即可验证；
对于C选项：可转换为相应的斜率的乘积是否为即可验证；
对于D选项：表示出相应的线段长度即可验证.
【详解】如下图所示：

对于A选项：由题意焦点的坐标以及准线方程分别为，
所以焦点到准线的距离为，因此A选项符合题意；
对于B选项：由题意设点的坐标为，又由A选项分析可知，抛物线方程为，
所以线段的中点坐标为，将其代入抛物线方程得，
解得，此时点的坐标为，因此B选项不符合题意；
对于C选项：由题意设点的坐标为，切线的方程为，
将其代入抛物线方程得，整理得，
所以，
因为，所以解得，所以切线的斜率为，
又因为点的坐标为，，所以直线的斜率为，
所以，所以，因此C选项符合题意；
对于D选项：由C选项分析可知，又，
所以有，解得，
将其代入切线的方程，解得，
所以切点的坐标为，又因为，，，
所以，，，，
所以，即，因此D选项符合题意.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题AB两选项常规验证即可，对于C选项关键是要将所验证的转换为相应的斜率的乘积是否为，对于D选项关键是要想办法表示所有线段的长度，然后作差验证是否恒为0即可.
41．
【分析】求出直线方程和抛物线焦点坐标，再利用直线被圆所截弦长公式即可得到答案.
【详解】由题意得，抛物线的焦点为，
则直线方程为，即，
圆化为，则圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则，
故答案为：.
42．
【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解.
【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，
所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为．
故答案为: .

43．
【分析】结合抛物线的定义，结合几何性质，即可求直线的倾斜角.
【详解】如图，直线为抛物线的准线，过点分别作垂直于，作，
因为，，且，所以,
则，，
所以，则，即直线的倾斜角为.

故答案为：
44．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）将点代入抛物线方程可得，设直线的方程为：，联立方程根据中垂线性质和韦达定理分析证明；
（2）利用弦长公式结合韦达定理整理得，进而可得，换元令，得到函数，利用导数判断原函数的单调性和最值.
【详解】（1）将点代入抛物线方程，可得，解得，所以抛物线方程为，
设直线的方程为：，
联立方程，消去y得，
由韦达定理得：，
根据抛物线定义：，可得，
此时，解得或，
设的中点坐标为，则，
可得的垂直平分线方程为：，
将代入整理得：，
故的垂直平分线过定点.
（2）由（1）可得，
且点到直线的距离，
则的面积为，
可得，
设，设，则
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减
所以当时，的面积取最大值，此时，即.

【点睛】关键点睛：
1.动直线l过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将m用k表示为，得，故动直线过定点；
2.与圆锥曲线有关的最值问题的解法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．
45．(1)；
(2).
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设点，求出关于的函数关系，再利用二次函数性质求解作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，设，
则，
因此，
而，即有，则当，即时，，
当，即时，，
所以的取值范围是.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去并整理得，显然，
设，，则，即，

令为点，于是的面积为，的面积为，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
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