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热点7-3 双曲线及其应用
双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题.题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难.
【题型1 双曲线的定义及概念辨析】
满分技巧（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数a满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数a满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
【例1】
（2023·全国·高三专题练习）
1．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
【变式1-1】
（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）
2．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（ ）
A．或 B． C． D．
【变式1-2】
（2023·河北·模拟预测）
3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在上，且，则 .
【变式1-3】
（2023·全国·高三专题练习）
4．已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ．
【变式1-4】
（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）
5．已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线
【题型2 利用定义求距离和差最值】
满分技巧利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值
【例2】
（2023·天津南开·统考一模）
6．已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【变式2-1】
（2023·江西赣州·统考一模）
7．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】
（2023·四川南充·校考模拟预测）
8．已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】
（2022·天津南开·高三统考阶段练习）
9．已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．10
【变式2-4】
（2023·山东泰安·统考二模）
10．已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 双曲线标准方程的求解】
满分技巧1、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围. 2、待定系数法求双曲线方程的五种类型 （1）与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)； （2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)； （3）与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)； （4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)； （5）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)
【例3】
（2023·全国·高三对口高考）
11．与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】
（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）
12．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】
（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）
13．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】
（2023·甘肃定西·统考模拟预测）
14．已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】
（2023·四川乐山·统考三模）
15．设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 双曲线的焦点三角形问题】
满分技巧求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积. （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题.
【例4】
（2023·全国·校联考模拟预测）
16．已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【变式4-1】
（2023·重庆·高三重庆八中校考期中）
17．设双曲线的左 右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式4-2】
（2023·四川成都·高三校考期中）
18．设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．20
【变式4-3】
（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）
19．已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】
（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）
20．已知双曲线的左 右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为 .
【题型5 求双曲线的离心率与范围】
满分技巧1、求双曲线的离心率或其范围的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围． （3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． （4）通过特殊位置求出离心率． 2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－.
【例5】
（2023·天津北辰·高三统考期中）
21．双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，若原点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】
（2023·全国·模拟预测）
22．双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】
（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）
23．已知双曲线的左 右焦点分别为为坐标原点，圆交双曲线的左支于点，直线交双曲线的右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】
（2023·全国·模拟预测）
24．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-4】
（2023·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）
25．已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 双曲线的中点弦问题】
满分技巧解决中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点A、B，其中AB中点为，则有. 证明：设、，则有，上式减下式得， ∴，∴，∴.
【例6】
（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）
26．已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】
（2024·陕西宝鸡·校考一模）
27．设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】
（2023·陕西渭南·统考二模）
28．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左 右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】
（2023·上海·高三七宝中学校考二模）
29．不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
【变式6-4】
（2023·全国·校联考模拟预测）
30．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为 .
【题型7 直线与双曲线相交弦长】
满分技巧求弦长的两种方法： （1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
【例7】
（2023·山东临沂·统考一模）
31．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】
（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）
32．已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
【变式7-2】
（2023·江苏苏州·校联考三模）
33．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 .
【变式7-3】
（2023·河南·校联考模拟预测）
34．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.
(1)求C的方程；
(2)证明：，求.
【变式7-4】
（2023·山东青岛·高三统考开学考试）
35．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积.
【题型8 直线与双曲线综合问题】
【例8】
（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）
36．如图，双曲线C：－＝1的中心O为坐标原点，离心率，点 在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且，求＋的值．
【变式8-1】
（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）
37．已知双曲线C：的右焦点为，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，且当时，A的横坐标为3.
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线交于点D，P为线段的中点，直线交于点Q，证明：.
【变式8-2】
（2023·全国·高三专题练习）
38．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2.设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限.

(1)求的标准方程；
(2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由.
【变式8-3】
（2023·广东广州·高三统考阶段练习）
39．已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.
【变式8-4】
（2023·云南大理·统考一模）
40．已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
（建议用时：60分钟）
圆锥曲线练习
（2023·陕西汉中·统考一模）
41．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（ ）
A．－4 B．4 C． D．
（2023·全国·模拟预测）
42．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河南·高三校联考阶段练习）
43．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
（2023·广东佛山·统考一模）
44．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
（2023·山西临汾·校考模拟预测）
45．已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
46．已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽滁州·校考一模）
47．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）
48．在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹为直线
B．若，则点P的轨迹为圆
C．若，则点P的轨迹为椭圆
D．若，则点P的轨迹为双曲线
（2023·广东广州·统考模拟预测）
49．已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）
50．双曲线的一条渐近线方程为，半焦距为，则下列论述错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为3
B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为
C．直线与双曲线有两个不同的交点
D．过点有两条直线与双曲线相切
（2023·全国·高三专题练习）
51．已知方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，则的取值范围是 ．
（2023·全国·高三专题练习）
52．以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为 .
（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）
53．已知双曲线的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为12．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过作直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
（2023·海南·校联考模拟预测）
54．已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离是．
(1)求p的值；
(2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段的中垂线与E的准线l交于点P，且线段的中点为M，设，求实数的取值范围．
（2023·河北保定·高三校联考开学考试）
55．已知双曲线：的离心率为2，其左、右焦点分别为，，点为的渐近线上一点，的最小值为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且斜率为的直线交的右支于点，与直线交于点，过且平行于的直线交直线于点，证明：点在定圆上.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
2．B
【分析】先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出的值.
【详解】因为，，所以，所以或（舍），
又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，
故选：B.
3．11
【分析】将双曲线化为标准方程，求出该双曲线的渐近线方程，再利用已知条件求出的值，最后利用双曲线的定义求出即可.
【详解】由得双曲线的标准方程为：
，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为：
，
又的一条渐近线过点，
所以，
因为点在上，，为双曲线的上、下焦点，
所以，
由，所以，
所以或（舍去），
故答案为：11.
4．
【分析】设圆的半径为，根据题意可得，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解.
【详解】设圆的半径为，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆与圆、圆外切，
则，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
又，则，
所以其轨迹方程为．
故答案为：．
5．AC
【分析】根据复数模的几何意义，及椭圆、双曲线的定义逐项分析即可.
【详解】由复数模的几何意义知，
表示复平面内点与点之间的距离为定值2，
则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；
由复数模的几何意义知，
表示复平面内点到点和的距离之和为，
又，不满足椭圆的定义，故B不正确；
由复数模的几何意义知，
表示复平面内点到点和的距离之差为1，
又，满足双曲线的定义，故C正确；
对于D，可化为，
表示复平面内点到点和的距离相等，轨迹是直线，
故D不正确，
故选：AC.
6．D
【分析】先根据题意求出点的坐标，设是双曲线的右焦点，根据双曲线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】拋物线的准线为，
则点到准线的距离为，所以，
则，故，
设是双曲线的右焦点，
则，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
7．C
【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
8．A
【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果.
【详解】已知双曲线，可知，则，
所以，分别为的左、右焦点，则，即，
设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.
故选：A.
9．A
【分析】设双曲线左焦点为,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将转化为，利用当三点共线时，取得最小值，即可求得答案.
【详解】由双曲线,可得，,
设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，
作，垂足为E，即，
作,垂足为H，则，
因为点P为C左支上的动点，
所以，可得，
故，
由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，
最小值为，
即的最小值为，
故选：A．
10．B
【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可.
【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线.
又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号.
此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故.
故选：B
11．D
【分析】根据双曲线及渐近线方程的定义求解即可.
【详解】（1）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立，解得，则双曲线方程为；
（2）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立，解得，则双曲线方程为，
所以双曲线的标准方程为：或.
综上，双曲线标准方程为.
故选：D
12．D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
13．D
【分析】根据题意，求得双曲线的右焦点为，得到，再由抛物线的准线方程为，求得，将代入渐近线方程，得到，进而求得的值，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点为，
因为双曲线与抛物线的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，
即，可得，
又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得，
即交点为，代入渐近线方程，可得，可得，
将代入，可得，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
14．D
【分析】由题意可得，则直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，所以，
所以，得，所以双曲线方程为，
故选：D
15．D
【分析】由双曲线定义，的面积，直角中的锐角三角函数和中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，
又∵，∴在直角中，，
且.
在中，，的面积，
∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由双曲线定义，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵为直角，∴易知为钝角，∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又∵，将代入，解得.
∴双曲线的方程为：.
故选：D.
【点睛】本题的解题关键，是建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可以通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.
16．D
【分析】根据双曲线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：，即，
所以的周长.
故选：D.
17．C
【分析】由双曲线定义和余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由题意得，
由双曲线定义可得，，，
由余弦定理得，
即，解得，
又，解得，
故.

故选：C
18．A
【分析】由题设可得，进而确定的位置，易知为直角三角形，最后利用双曲线定义结合勾股定理，即可求面积.
【详解】由，
所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，
又，即它们也在点所在的圆上，且为直径，
所以为直角三角形，，

如上图，，且，
所以，
则，故的面积为.
故选：A.
19．D
【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再根据及M点坐标即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
因为该双曲线的一条渐近线方程是，则，
又由，可得，
由过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，可知M的横坐标为，
代入椭圆方程即可得：，，
又有，可知，
所以.
故选：D
20．
【分析】由双曲线定义可以首先求出，然后由可以求出，最终由直角三角形内切圆半径公式即可求解.
【详解】如图所示：

设内切圆半径为，切点分别为，
由题意，则，所以，
由双曲线定义有；
又因为，即，所以，
因此，
从而直角三角形的内切圆半径是，
所以的内切圆周长为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：熟练双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式，并合理转换已知条件是解题的关键.
21．A
【分析】运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理得出关于、的齐次方程，即可解得双曲线的离心率的值.
【详解】作图如下：

∵原点到直线的距离等于实半轴的长，
∴直线的距离为，
又∵以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，
∴，
由双曲线定义的，
∴直线的距离为，
故，即，
∴，解得（舍去）或.
故选：A.
22．B
【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解.
【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，
即:，
所以：，解得：，
所以：，故，
由，解得：，
所以：，故B项正确.
故选：B.
23．D
【分析】设，据双曲线的定义可用表示，由直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.
【详解】设，则，因为为的中点，
所以，则由双曲线的定义可知，
因为圆交双曲线的左支于点，所以，
所以，即，
则化简可得，即，
则，所以，
所以，即，
则化简可得，即，
故选：D.
24．B
【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到，设，结合双曲线的定义得到，则，构造函数，利用导数法求解.
【详解】解：因为，，
∴，
又，∴．
设，则，，
∴，
∴，则，
∴．
∴，则，
设，则，
∴在上单调递增，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
故选：B．
25．A
【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可.
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.

26．D
【分析】设，由，利用点差法求解.
【详解】解：设，
则，两式相减得，
即，化简得，
又，解得，
所以双曲线的方程为： .
故选：D.
27．C
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，设直线的斜率为，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；
对于选项D：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.
28．D
【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率.
【详解】设,
由均在上，为的中点，
得，则，
∴，
∴，
设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，
∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.
∴，
∴，解得，
∴由对称性知直线的斜率为.
故选：D
【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点）
此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.
29．
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故，则.
故答案为：
30．
【分析】设，进而根据点差法得，再根据得，进而得，再求渐近线的斜率之积即可得答案.
【详解】解：设，
因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，
所以①，②，③，④，
所以，②③得，整理得
所以，
因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，
所以，，
因为，
所以，即，整理得：，
所以，整理得，
所以，即，
所以，整理得，
因为的两条浙近线分别为，
所以，的两条浙近线的斜率之积为
故答案为：
31．D
【分析】由，设，利用双曲线的定义得到，然后设，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
由双曲线的定义得，
解得，
则，
设，，，
联立，消去x得，
由韦达定理得：，
由，得，解得，
所以，
，
解得，
则，
故选：D
32．
【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式列式求解的值，即可求出直线的方程，令即可得出答案.
【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为，
而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，
与双曲线方程联立，化简可得，
由，得或．
设，，则，，
则，所以，
，解得：（舍去）或，
所以直线的方程为，令，可得.
故点P的坐标为.
故答案为：.
33．
【分析】记，分析可知双曲线的实轴长和通径长不可能同时为，可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程由四个不等的实数解，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】记，若直线与轴重合，此时，；
若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，
当时，则，此时，；当，可得，则，
所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；
当直线与轴不重合时，记，则点，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
由题意可得，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，即，
所以，关于的方程由四个不等的实数解.
当时，即当时，可得，
可得，整理可得，因为，解得；
当时，即当，可得，
可得，整理可得，可得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
34．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意，表示出两交点的坐标，然后结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果；
（2）当直线的斜率存在时，设l的方程为，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，再由弦长公式，即可得到结果；
【详解】（1）根据题意有，C的渐近线方程为，
将代入两个渐近线方程得到交点坐标为，，
l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为，
所以，C的方程为.
（2）
设，，其中，，
由（1）可知，，
当轴时，显然MN与不垂直.
当l不垂直于x轴时，设l的方程为时，代入C的方程有：
，故，，
，，
当时有：①，
由得到，代入，
整理有②，
由①，②可得.
所以.
35．(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标为，根据题意结合斜率公式求解即可；
（2）显然直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的值，再求出和到直线的距离即可求解.
【详解】（1）设点的坐标为，
因为，，所以，
化简得：
所以的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，
解得或（舍去），
所以直线为，
所以，
所以，
点到直线的距离，
所以.
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；
（5）代入韦达定理求解.
36．(1)－＝1
(2)
【分析】（1）依题意双曲线的离心率，且点在双曲线上，所以可以得到两个关于的方程，再根据，就可解出，求出双曲线的方程．（2）因为，所以，设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，分别代入双曲线方程，即可得的坐标用含的式子表示，再代入＋，化简即得.
【详解】（1）因为，所以，从而，所以双曲线C的标准方程为－＝1，
即，.因为点在双曲线C上，所以，解得，
所以双曲线C的标准方程为－＝1
（2）设，
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
.联立与－＝1，得，
所以，同理有，
所以.
37．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求坐标，代入双曲线方程，可得，联立可解；
（2）设，，分别由题意表达点坐标将长度关系证明问题转化为坐标关系，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理代入坐标关系化简证明.
【详解】（1）当时，：，把代入得，即，
将A代入C的方程有，①，
且由双曲线的几何性质可知②，
由①，②得，，，
故C的方程为.
（2）设，，且：，
由，得，
则，，①
所以，②
.③
直线的方程为，故，.
的方程为，与方程联立有：，
将①代入得，即.
方法1：所以，，
要证，
只需证，即证，④
由②③知④成立，所以.
方法2：由题设可知A，B，F，Q四点共线，
且
，
故，即.
由可知，，
故，.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程 ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为坐标和及积的形式；（5）代入韦达定理求解.
38．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据离心率，以及，结合，即可求得曲线方程；
（2）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可.
【详解】（1）由题可得，故可得，则，
故的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，
对曲线，令，解得，
故点的坐标为，此时，
在三角形中，，故可得，
则存在常数，使得成立；
当直线斜率存在时，
不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，，
假设存在常数，使得成立，即，
则一定有：，也即；
又；；
又点的坐标满足，则，
故；
故假设成立，存在实数常数，使得成立；
综上所述，存在常数，使得恒成立.
39．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用距离公式结合已知条件化简可得出曲线的方程；
（2）设，则，设点、、，利用向量的坐标运算可得出，，结合平方差公式以及双曲线的方程计算出，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：由题意可得，整理可得.
所以，曲线的方程为.
（2）证明：如下图所示：
因为，设，则，
设点、、，
由可得，
即，所以，，
由可得，
即，所以，，
所以， ，，
所以，，即，
所以，点在定直线上.
【点睛】方法点睛：本题使用向量方法得到若干方程后，将这些方程进行整体处理，已达到消元的目的，这个方法比联立方程的计算量要小，不失为一中巧妙的方法.
40．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的渐近线与过一点列方程组即可得的值，从而得双曲线方程；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆得交点坐标关系，再根据斜率与坐标运算从而得的关系来确定直线定点即可.
【详解】（1）∵，，依题意，
解得：，，
所以双曲线C的方程为
（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，
则，即①，
所以
设直线AP，AQ的斜率分别为，，由题意知：，故有：
，
整理得
当，，过舍去，
当，，过点，
此时，将代入①得，得，满足题意.
∴直线PQ过定点
41．A
【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出的值.
【详解】根据,得到,
则焦点在轴，故渐近线为，
则，故.
故选：A
42．B
【分析】利用由双曲线上的点到焦点的最近距离为2得，再由离心率、可得答案.
【详解】由离心率，得，由双曲线上的点到焦点的最近距离为2，
得，根据这两个方程解得，
则，得，所以双曲线的方程为.
故选：B.
43．A
【分析】由为等腰三角形，可得，证得，有，又，得，利用面积法求点到轴的距离.
【详解】设双曲线的右焦点为，由题意可得，连接，
则有，，
若为等腰三角形，则（线段与显然不相等），
所以，又为的中点，所以，
则有．
由双曲线的定义得，
所以，
设点到轴的距离为，则．
故选：A．
44．C
【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用以及勾股定理建立等量关系即可求解.
【详解】因为的面积为4，所以的面积为8.
又，所以，
所以为直角三角形，且.
设，，
所以，，
所以，
所以，
又，所以.
故选：C.

45．D
【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为，结合弦长可得，运算求解即可.
【详解】设双曲线的半焦距为，
则，解得，
且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为，
因为圆的圆心为，半径，
可知圆关于x轴对称，不妨取渐近线为，即，
则圆心到渐近线的距离，可得，
又因为圆与双曲线C的一条渐近线相交弦长为，
由题意可得，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D.
46．B
【分析】设，，由得到，的关系，结合韦达定理得到，，之间的关系式，进而求出离心率.
【详解】设，，则，．
由，得．
直线l的方程为，即，
代入双曲线的方程中，得，
即，
∴，，
∴，，
∴，
整理得．又，∴．
故选:B．
47．B
【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范围.
【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，
可得，，
又，由余弦定理得，
可得，
得，即，
可得，即，
又时，可得，
即，亦即，
得.
故选：B
48．AD
【分析】设点，由，求出点P的轨迹可判断A；设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由可得，由两点的斜率公式和两角差的正切公式代入求可判断B；根据椭圆、双曲线的定义可判断C，D.
【详解】选项A：设点，，
化简可得：，所以点P的轨迹为直线，故A正确；
选项B：当或不存在时，动点为，
当、存在时，设点，，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
当时，由可得：，即，
所以，即，
化简可得：，
同理当时，由可得：，即，
所以，即，
化简可得：，
因此点P轨迹为圆上的一段弧（）或上的一段弧（），故B错误；
选项C：由，可知点P轨迹为线段AB，故C错误；
选项D：由，根据双曲线的定义可知，
点P轨迹为双曲线，且，即，
所以点P轨迹方程为，故D正确．
故选：AD.
49．ACD
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；
B选项，若的离心率为，
解得，所以实轴长，故B错误；
C选项，若，则，
整理得，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知，，
两式相加得，
所以周长为，
当时，取得最小值，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为，故D正确.
故选：ACD
50．ABD
【分析】根据渐近线得出离心率判断A选项，根据点到直线距离判断B选项，结合渐近线斜率可以判断交点判断C选项，结合双曲线对称性判断D选项.
【详解】由题易得，所以错误；
顶点到渐近线的距离为与焦点到渐近线的距离，距离之比为，B错误；
因为直线与渐近线平行，所以直线与双曲线的左支仅有1个交点，与右支没有交点.又直线与直线都过点，
且直线的倾斜角比直线的倾斜角小，直线与双曲线有两个不同的交点，正确；
因为，所以点位于双曲线右支的右侧位置，显然过点的直线不可能与双曲线相切，D错误.
故选:ABD.
51．
【分析】利用双曲线的定义即可求解.
【详解】因为方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，
则，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
52．
【分析】利用点差法先求得弦所在直线的斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程，再验算一下与双曲线是否有两个交点可保万无一失.
【详解】设是双曲线的弦的中点，且，
则，
因为在双曲线上，所以，
两式相减，得，故，
所以，故以中点的双曲线的弦所在的直线方程为，即，
联立，消去，得，
因为，
所以以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为.
故答案为：.
53．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据双曲线的通径公式即可求得和的值，即可求得双曲线的方程；
（2）假设存在点满足条件，设其坐标为，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得，根据比例关系，即可求得的值，即可求得点坐标.
【详解】（1）由题意知：，，，
故，故，解得或，
，，
则，故双曲线的标准方程为.
（2）假设存在点满足条件，设其坐标为，设，，
当斜率存在时，设方程为，
，
即，且，
，，
，，
，
当为定值时，，则，
此时，
当斜率不存在时，，，，，，
成立，
存在满足条件的点，其坐标为，此时为0.
【点睛】方法点睛：本题第二问主要考查直线与圆锥曲线相交问题，
利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或，）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
54．(1)
(2)
【分析】（1）求出双曲线的渐近线，由点到直线距离公式得到方程，求出；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，进而由弦长公式求出，求出M点的坐标和线段的中垂线方程，得到，，求出，得到答案.
【详解】（1）E的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，不妨取，即．
由点到直线的距离公式得，
得．
（2）由（1）知，，：．
设直线的方程为，
联立消去x并整理，得，
设，，则，，
，
∴．
易得M点的坐标为，
∴的中垂线方程为，
令得，
∴，
从而，
∴，
∴实数的取值范围为．
55．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点到直线距离公式求解；
（2）根据题意做出几何图形，求出点的坐标，利用斜率公式求出，进而可得，从而有，即可证明求解.
【详解】（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线的方程为，
因为的最小值为，
所以右焦点到渐近线的距离为，
所以，
又因为离心率，所以，
所以的方程为：.
（2）由题得，的左顶点，右焦点，
所以直线为线段的垂直平分线，

所以的斜率分别为，
所以直线的直线方程为与联立有，
，
设，则有，即
所以，
当轴时，，则有
为等腰直角三角形，
所以,故直线的方程为：，故，
当不垂直于轴时，，
所以，，
所以，
所以，
因为，
所以
所以为定值，
所以点在定圆上.
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答案第1页，共2页

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