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热点3-2 三角函数的图象与性质
【题型8 三角函数的最值问题】
满分技巧三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域（最值）； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （2）形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）
【例8】（2022·河南·高三校联考专题练习）
1．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）
2．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）
3．对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为1
C．的最小值为4 D．最小值为
【变式8-3】（2024·江西赣州·高三南康中学校联考期末）
4．已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-4】（2024·湖北武汉·高三统考期末）
5．已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 三角函数零点综合】
【例9】（2024·全国·模拟预测）
6．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ．
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）
7．已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）
8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）
9．已知函数（其中）在区间上恰有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-4】（2024·辽宁·高三校联考期末）
10．已知函数恰有5个零点，则的值可能为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【题型10 三角函数图象性质综合】
【例10】（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）
11．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）

A．在上单调递增
B．在上有4个零点
C．
D．将的图象向右平移个单位，可得的图象
【变式10-1】（2024·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）
12．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求在区间内的所有实数解的和．
【变式10-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）
13．函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
【变式10-3】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）
14．已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称．
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【变式10-4】（2024·吉林白城·高三校考阶段练习）
15．已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
（建议用时：60分钟）
（2023·北京延庆·高三北京市延庆区第一中学校考阶段练习）
16．设函数，则下列结论正确的是（ )
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．的图象可以由图像左移得到
（2022·全国·高三校联考专题练习）
17．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
（2024·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）
18．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
（2024·云南昭通·统考模拟预测）
19．函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·青海·高三校联考阶段练习）
20．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是图象的一条对称轴，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建福州·高三校联考期中）
21．函数的两个零点分别为，且，在上仅有两条对称轴，则可以是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）
22．已知函数满足，且在上单调，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）
23．设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）
24．若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·江苏南京·高三期末）
25．已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）
26．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．是函数图象的一条对称轴
D．的图象关于点对称
（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）
27．设函数，则（ ）
A．为奇函数 B．的最小正周期为
C．存在零点 D．存在极值点
（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考期中）
28．已知，下列结论中正确的有（ ）
A．既是奇函数也是周期函数 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称
（2023·安徽·高三校联考期末）
29．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．为偶函数
（2024·陕西西安·统考一模）
30．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为 ．
（2024·山东临沂·高三统考期末）
31．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 ．
（2024·江苏常州·高三校考期末）
32．将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到顶原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ．
（2023·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）
33．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数的最大值与最小值．
（2023·河南·高三校联考期中）
34．设，，已知函数的图象在区间内恰有4条对称轴，且函数为偶函数．
(1)求的值以及的取值范围；
(2)当取得最大值时，将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）
35．已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先得出函数的一个周期为，然后分类讨论去绝对值，分别求出每一段的最小值即可得出答案.
【详解】依题意，
，故函数的一个周期为，
当时，，
，
此时，，；
当时，
，
此时，
故函数的最小值为，
故选：D．
2．C
【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值.
【详解】由题意，解得，所以，
当时，，
所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立.
故选：C.
3．BD
【分析】根据题意，结合基本不等式，以及对勾函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，
当且仅当时，即，显然不成立，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由，令，
可得，则函数在为单调递减函数，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，令，
可得，根据对勾函数的性质，可得在为单调递增函数，
所以，所以D正确.
故选：BD.
4．D
【分析】根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】因为得，则，
所以由题意可得，，解得.
故选：D
5．D
【分析】根据题意分类讨论和两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可.
【详解】若，则，
又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值，
所以当，即时，
只需满足，此时，
当，即时，
函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则，
此时，
综上，，即的取值范围是.
故选：D
6．10
【分析】判断函数的性质与最小值，判断函数的性质，作出函数与的大致图象，判断两个图象在上的交点情况，根据对称性得结果.
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
所以函数的图象关于直线对称，且的最大值为2．
由于的图象和的图象都关于直线对称，
所以先考虑两个图象在上的情形，
易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
易知，，
所以可作出函数与的大致图象如图所示，
所以的图象和的图象在上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线对称，
因此所有交点的横坐标之和为．
故答案为:.
7．C
【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围．
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上有2个零点，
所以，解得，
即的取值范围是
故选：C.
8．A
【分析】根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
9．A
【分析】利用余弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解.
【详解】，，
又函数在区间上恰有4个零点，
，，
的取值范围是.
故选：A.
10．BC
【分析】先利用余弦函数的图像性质求得的零点个数，再利用的零点个数列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围 ，进而得到的值可能值.
【详解】由，得.
函数在上的零点个数为2，
又因为函数恰有5个零点，
所以函数在上的零点个数为3.
由，得，
则，解得.
故选：BC
11．ABC
【分析】结合图象，得到函数，根据正弦函数图象和性质，以及图象变化判断四个选项即可.
【详解】由图知，，所以或，
又，所以，所以，又因为图象过，
且为下降零点，所以，，故,
结合图象，即，所以，
所以，
对于A选项，当，，结合正弦函数图像可知，在上单调递增，故A正确；、
对于B选项，当时，，其中，
结合正弦函数图像可知，在上有4个零点，故B正确；
对于C选项，当时，即，即或，
结合图象可知，，所以，故C正确；
对于D选项，将的图象向右平移个单位，得，而，故D错误，
故选：ABC.
12．(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数图象得到，代入，求出，得到的解析式，并根据平移法则计算出的解析式；
（2）求出，故得到，令，画出的函数图象，数形结合得到根的和.
【详解】（1）设函数的最小正周期为，
因为，由函数可得，
因为，所以，解得，
将代入解析式，得，故，
因为，所以，，
故，解得，
故，
的图象向右平移个单位长度，
得到；
（2）
，
令得，即，
当时，，令，
画出在的函数图象，如下：
共有4个解，其中，
即，解得，
.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，
即，由，得，
即，，
而，则，
所以函数的解析式是.
（2）将的图象向左平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，则，
当时，，则，
所以，
因此在上的值域为.
14．(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出和最小正周期，求出，代入，求出，求出解析式，利用整体法求出单调递增区间；
（2）先根据得到，根据得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题知：，函数的最小正周期，
故，解得，
所以，则，
即，
，，
∵，
∴，
故，
令，
解得，
故函数的单调递增区间是；
（2）因为，所以，
故，，
所以，
∵不等式在上恒成立，
，即在上恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是．
15．(1)，
(2).
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，
又，所以，故.
令，得，
所以函数的递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
的两个根对应的点关于直线对称，即，
有，
在上有两个不同的根，
所以；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
16．D
【分析】A根据最小正周期的公式求；B代入，对称轴即取最值；C化简后代入，零点即函数值为0；D根据平移变换可得.
【详解】由，则其最小正周期为，A错误；
当时，，是对称中心，B错误；
，当时，，C错误；
的图象左移，即，
D正确.
故选：D
17．B
【详解】先用三角恒等变换化简得到，再用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.
【分析】因为
，
令，解得，
故的单调递增区间为，
故选：B.
18．B
【分析】将用辅助角公式化为的形式，根据定义域和正弦函数性质求值域.
【详解】，当时，，
则，所以在上的值域为．
故选：B
19．D
【分析】求出平移后的函数，根据新函数是偶函数即可得出的值.
【详解】由题意，
在中，向左平移得到，
所以，
因为为偶函数，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
20．B
【分析】由题意先求出表达式，再根据正弦函数的对称轴即可列出方程求出.
【详解】由题意，
因为直线是图象的一条对称轴，
所以，则，
对比选项可知当时，．
故选：B．
21．A
【分析】根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得，由且可得.由可得，取即可求解.
【详解】因为函数的两个零点为，且在上仅有两条对称轴，
所以，又且，得.
由函数的零点为，得，
得，
当时，，此时.
故选：A.
22．B
【分析】根据已知得出的图象关于点中心对称，进而得出函数单调性，结合正弦函数的图象得出，即可得出答案.
【详解】由，得的图象关于点中心对称．
又且在上单调，且，
所以在上单调，所以，
即，所以．
故选：B.
23．A
【分析】根据题意，需将看成整体角，由范围求得范围，结合函数的图象，求得使的两个解，由题只需使即可，计算即得.
【详解】
不妨取，由可得：，
由可得，
由图可取要使存在且，使得，
需使，，解得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.
解决的关键在于将看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.
24．C
【分析】利用整体思想，结合余弦函数得图象与性质列出不等式组，解之即可.
【详解】由题可知，解得，．
因为函数在区间上恰有两个零点，
所以或
解得或，即．
故选：C.
25．D
【分析】首先求出，根据题意结合图象，则有，解出即可.
【详解】因为，则，
所以由题意得：，解得.
故选：D.
26．ACD
【分析】由公式计算函数最小正周期验证选项A；代入检验法判断BCD选项中的单调区间对称轴和对称中心.
【详解】函数
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，得，
从而即时，单调递减，故B不正确；
对于C，，
所以是函数图象的一个对称轴，故C正确；
对于D，，
所以的图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
27．BCD
【分析】利用三角函数的性质以及对数型复合函数的单调性，结合函数的周期性，零点、极值点的概念求解.
【详解】对A，由，可得，
解得，
所以函数的定义域为，
且，
所以函数为偶函数，A错误；
对B，因为函数的最小正周期为，所以的最小正周期为，B正确；
对C，令，即，
即，即为函数的零点，C正确；
对D，因为函数在单调递增，单调递减，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以为函数的极大值点，D正确；
故选:BCD.
28．ACD
【分析】利用函数奇偶性和周期性的定义可判断A象限；令，可得出，利用导数求出函数在上的最大值，可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断CD选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，
，
所以，函数既是奇函数也是周期函数，A对；
对于B选项，令，
则，
令，其中，则，
由，可得；由，可得或，
所以，函数的减区间为和，增区间为，
因为，
所以，函数的最大值为，B错；
对于C选项，因为，
所以，函数的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，因为，
所以，函数的图象关于点对称，D对.
故选：ACD.
29．AC
【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可判断C选项；利用余弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，由图可知，，
因为，则，所以，，解得，A对；
对于B选项，由A选项可知，，
当时，，所以，函数在上不单调，B错；
对于C选项，因为，
所以，的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，，
所以，是非奇非偶函数，D错.
故选：AC.
30．
【分析】根据函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为得到周期，从而求得，然后再由函数图象关于点对称求解.
【详解】解：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，则，，
所以，又函数图象关于点对称，
所以，则，即，
因为，所以，
故答案为：
31．##
【分析】首先由函数的解析式求出函数的最小正周期，可得区间为最小正周期的，当区间关于对称轴对称时，可得取得最小值，令，求出t的值，求出的值，进而求出所求的代数式的值．
【详解】函数的最小正周期为，由于，
则区间的长度是周期的，
要使取最小值，则在上不单调，
所以当区间关于其对称轴对称时，取得最小值，
其对称轴为，
所以当 时，函数取得最值±4，
不妨设，则，
解得，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：
32．
【分析】运用三角函数的伸缩平移变换得到函数的解析式，再利用方程与函数的关系将方程的解的情况转化为两个函数的图象交点问题来解决.
【详解】依题意，，则关于x的方程可化为：，
则关于x的方程在内有两个不同的解可转化为：函数的图象与函数的图象在上有两个交点.
由可得：，取,作出函数在上的图象.
由图，要使函数的图象与其有两个交点，须使，即实数m的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题主要考查三角函数的平移伸缩变换和函数的零点与方程的解的转化.
对于方程在给定区间上的解的情况问题的解决，常用方法有两种：
（1）变量分离法：将方程的解转化成两个函数图象的交点情况，通过讨论函数的图像趋势解决；
（2）讨论分析法：直接讨论含参函数的零点分布情况即得.
33．(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为.
【分析】（1）观察图象知函数最小正周期为，为函数单调递减区间上的零点，且过(0，1)点，分别求出的值；
（2）由（1）中，代入并化简求得解析式，再由复合函数单调性列不等式求出单调增区间即可.
（3）由（1）中，代入并化简求得解析式，化简为关于sinx的二次函数求最值.
【详解】（1）解：由图知：
的最小正周期为，
故，所以，
又为单调递减区间上的零点，
故，又解得：.
又图象过(0，1)点，所以，解得.
所以函数的解析式为：.
（2）由（1）知
令
解得：
故函数的单调递增区间为：
（3）
当时，最小值为；
当时，最大值为；
故：最大值为，最小值为.
34．(1)，
(2)
【分析】（1）根据为偶函数得到的取值，依据图象在区间内恰有4条对称轴，即可求解的取值范围；
（2）根据图形变换规则得到函数的图象，然后讨论其在区间上的值域即可．
【详解】（1）依题意得，
因为为偶函数，
所以，故．
因为，所以，
．
令，则，
则，解得，
即的取值范围为．
（2）依题意得，
将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象．
当时，，
故的值域为，
即在区间上的值域为．
35．(1)；
(2).
【分析】（1）根据求，由题求周期，然后可得，即可得解析式；
（2）先求的范围，然后分离参数，利用基本不等式可得.
【详解】（1）由题知，，即，
又，所以，
因为时，的最小值为，
所以，即，
所以，
（2）当时，，
所以，所以，
令，则当时，恒成立，
等价于时，恒成立，
，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
又当时，，
所以
所以，即实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页热点3-2 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的热点，函数的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心.随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数.高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下.
【题型1 三角函数的识图问题】
满分技巧 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” （1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； （2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； （3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； （4）判断单调性：可取特殊值判断单调性.
【例1】（2024·湖南长沙·统考一模）
1．下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）

A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·天津宁河·高三统考期末）
2．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·统考一模）
3．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）
4．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（ ）
A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④②
【变式1-4】（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）
5．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 由三角函数的图象求解析式】
满分技巧 已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： （1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出； （2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【例2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）
6．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·四川攀枝花·统考二模）
7．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为（ ）
A．y2x B．2x C． D．
【变式2-2】（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）
8．函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（ ）

A．2， B．2， C．2， D．4，
【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）
9．函数的部分图象如图，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-4】（2024·河南信阳·统考二模）
10．已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的值为3 B．的值为2 C．的值可以为 D．的值可以为
【题型3 三角函数的图象变换问题】
满分技巧 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同.
【例3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）
11．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【变式3-1】（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）
12．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·福建·高三校联考期末）
13．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式3-3】（2024·天津和平·高三统考期末）
14．已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）
15．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【题型4 三角函数的单调性及应用】
满分技巧 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
【例4】（2023·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）
16．已知函数，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递增
C．在单调递减 D．在单调递增
【变式4-1】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）
17．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·山东威海·高三统考期末）
18．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
【变式4-3】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）
19．已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【变式4-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）
20．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 三角函数的周期性及应用】
满分技巧 周期的计算公式： 函数的周期为， 函数的周期为求解.
【例5】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）
21．下列函数中，以为周期的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）
22．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）
23．函数的最小正周期为 .
【变式5-3】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）
24．“的最小正周期为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-4】（2024·山东德州·高三统考期末）
25．设函数在的图象大致如图，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 三角函数的奇偶性及应用】
满分技巧 与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）
26．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2024·河南·模拟预测）
27．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）
28．若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·河南周口·高三统考阶段练习）
29．已知函数为偶函数，则（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【变式6-4】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）
30．若为奇函数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式6-5】（2023·北京海淀·高三专题练习）
31．函数，则（ ）
A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数
C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数
【题型7 三角函数的对称性及应用】
满分技巧 三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
【例7】（2024·重庆·高三统考期末）
32．下列函数中，其图象关于点对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）
33．“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-2】（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期末）
34．已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）
35．已知是函数的一条对称轴，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式7-4】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）
36．若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的最大值是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用图象易得值和周期，从而可求，代入最值点坐标确定，即得.
【详解】由图可得：，即，即，
观察各选项可知，本题考虑即可，则，
把点代入中，可得：，
故，即，
所以.
故选：C.
2．D
【分析】根据条件，利用函数的奇偶性和函数的取值，结合图象即可求出结果.
【详解】因为，，，
所以，图像关于原点对称，故选项A和B错误，
又，，，所以选项C错误，选项D正确，
故选：D.
3．C
【分析】根据函数的定义域即可排除求解.
【详解】由于函数的定义域为，故可排除ABD，
故选：C
4．A
【分析】判断已知的四个函数的奇偶性，结合它们的函数值正负情况以及零点情况，即可判断出答案.
【详解】设，定义域为R，满足，
即为偶函数，对应的图象为图，
设，定义域为R，满足，
即为奇函数，且当时，，对应的图象为图；
设，定义域为R，满足，
为奇函数，且零点为，对应的图象为图；
设，定义域为R，满足，
为奇函数，且零点为0和，对应的图象为图4.
故选：A.
5．B
【分析】利用函数奇偶性和余弦函数、对数函数的性质分析即可.
【详解】解法一：因为，，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D；
当时，，，，故，排除C，故选B．
解法二：当时，，排除A，C；
又当时，，，，则，排除D，
故选：B．
6．D
【分析】根据点在图象上求出的值，根据五点作图法求出的值，进而得到函数解析式，从而算出.
【详解】由图可知，点在图象上，所以，则，
又知点在的增区间上，所以；
由五点作图法可知，，解得，
所以，
则，
故选：D．
7．D
【分析】先根据题意求得、、的值，得到函数的解析式，然后通过平移变换得到所求的解析式．
【详解】由图象得，
，
．
∵点在函数的图象上，
，
，
，
又，，．
将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的解析式为．
故选：D．
8．B
【分析】根据三角函数图像与性质求，的值即可.
【详解】设的周期为，
则由图像知，
所以，则，
因为在处取得最大值，
所以，
得，
因为，
所以.
故选：B
9．A
【分析】代入两点坐标，结合2为函数在原点右边的第一个最大值点，求出相应的答案.
【详解】由图象可得，故，
因为，故或，
将代入解析式得，即，
由图象可知2为函数在原点右边的第一个最大值点，
故，
当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，不合要求，舍去，
故选：A
10．AD
【分析】根据函数图像直接确定A，设结合，确定，利用点的坐标确定的表达式，然后代入求值即得答案.
【详解】由函数的图象可知,
设，由可得，
令，即，
结合图像可得，
则，即，故A正确，B错误；
将代入，即有，且为函数下降零点，
所以，故，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，故C错误，D正确；
故选：AD.
11．B
【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.
【详解】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象.
故选：B
12．B
【分析】先将函数的解析式变形为同名三角函数，然后根据三角函数图象的平移变换法则求解．
【详解】依题意，函数，把的图象向右平移个单位长度，
得的图象，而，
于是，而，则，，
所以的最小值为.
故选：B
13．D
【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用图象的平移解决问题.
【详解】，
，
故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.
故选：C
14．A
【分析】首先求出周期则得到，再根据平移压轴的原则即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，所以，
则将图象上所有的点向左平移个单位长度变为，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为.
故选：A.
15．B
【分析】利用三角函数的平移规则即可得解.
【详解】因为，
，
所以将的图象向左平移个单位可得到的图象.
故选：B.
16．C
【分析】根据题意整理可得，结合余弦函数单调性逐项分析判断.
【详解】因为，
对于选项A：因为，则，
且在内不单调，所以在内不单调，故A错误；
对于选项B：因为，则，
且在内不单调，所以在内不单调，故B错误；
对于选项C：因为，则，
且在内单调递减，所以在内单调递减，故C正确；
对于选项D：因为，则，
且在内单调递减，所以在内单调递减，故D错误；
故选：C.
17．A
【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，函数的增区间为，且，
解得.
由题意可知：.
于是，解得.
又，于是.
故选：A.
18．
【分析】根据正切函数的单调性，结合题意，列出满足的条件，求解即可.
【详解】根据题意，，解得，又，则；
当，，
由题可得，解得；
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
19．
【分析】先将函数降幂，由题设求出的值，再根据后续条件，考查所得函数在相应区间上的单调性，比较区间的包含关系计算即得.
【详解】由的最小正周期为，得,则，
因当时，，此时函数单调递减，即在上单调递减；
当时，，此时函数单调递增，即在上单调递增.
由题知在上单调递减，在上单调递增，故须使，解得.
故答案为：.
20．C
【分析】由正弦函数的性质求出函数的单调区间，从而得到不等式组，即可求出参数的取值范围.
【详解】由，解得，
的单调增区间为.
在上单调递增，，.
由，解得，
的单调减区间为，
又函数在上单调递减，
，.
综上，，即实数的取值范围为.
故选：C
21．C
【分析】根据正弦型、正切型函数的性质可判断选型A、B；根据图像变换可判断选项C；根据图象可判断选项D.
【详解】对于A，因为函数的最小正周期为，
所以函数的最小正周期为，故选项A错误；
对于B，因为函数的最小正周期为，
所以函数的最小正周期为，故选项B错误；
对于C，因为函数的最小正周期为，
所以根据图象变换可知函数最小正周期为，所以也是它的一个周期，故选项C正确；
对于D，作出函数的图象：
根据图象可知该函数不是周期函数，故选项D错误.
故选：C．
22．B
【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.
【详解】因为.
所以，函数的最小正周期为：.
故选：B
23．##
【分析】由函数周期性与诱导公式求解，
【详解】由诱导公式可知，，
当时，与不恒相等，故的最小正周期为，
故答案为：
24．B
【分析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可的解.
【详解】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立；
当时，的最小正周期为，即必要性成立；
所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
25．C
【分析】根据题意，得到且，可排除A，D；再由，得到，结合B、C项，验证即可求解.
【详解】由函数的图象，
函数的最小正周期且，可排除A，D；
又由，即，
若选B，则，此时，此时不为整数，排除B项；
若选C，则，此时，此时，排除C项.
故选：C.
26．C
【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意可知：的定义域为，
若，可得，
若为偶数，则为奇函数；
若为奇数，则为奇函数；
即充分性成立；
若为奇函数，则，即必要性成立；
综上所述：“”是“为奇函数”的充要条件.
故选：C.
27．A
【分析】由余弦函数的性质，分别验证充分性与必要性即可.
【详解】函数，
当时，，为偶函数，所以充分性成立；
为偶函数时，，解得，不能得到，所以必要性不成立.
故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
28．C
【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若0在定义域内，由时，得，；
若0不在定义域内，由时，无意义，得．
综上，．
故选：C．
29．A
【分析】利用偶函数的性质进行求解即可.
【详解】由且，
由，
因为该函数是偶函数，
所以定义域关于原点对称，因此有，
即，定义域为，
因为，
所以该函数是偶函数，符合题意，
故选：A
30．D
【分析】根据奇函数的定义可求得实数的值.
【详解】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，
即对任意的恒成立，
所以，，
所以，，解得，.
故选：D.
31．B
【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.
【详解】的定义域为，
对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；
对B：若，，
，故为偶函数，B正确；
对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；
对D：若，，
若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；
故选：B
32．BCD
【分析】利用三角函数的性质，把代入验证即可判断得解.
【详解】对于A，当时，，A不是；
对于B，当时，，B是；
对于C，当时，，C是；
对于D，当时，，正切值不存在，D是.
故选：BCD
33．B
【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可.
【详解】当函数的图象关于对称时，
有，，得，，
易知 ，
所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
34．B
【分析】利用余弦函数对称中心求出的表达式，再赋值求得结果.
【详解】函数的图像关于原点中心对称,则，解得，因为，当时，取得最小值.
故选：B
35．B
【分析】根据对称轴过最值点可知，利用可求得，由此可得，代入即可.
【详解】由是函数的一条对称轴，
知，
∵，
，
，
，
，
又，
，
，
.
故选：B.
36．
【分析】化简解析式，根据三角函数对称轴和对称中心的知识和定义域列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由题意，得，
令，解得，
令，得；
令，解得，
令，得．
根据题意，得，解得，所以实数的最大值是．
故答案为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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