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第八章　　机械能守恒定律
专题16 功能关系
◆ 知识构建 ◆
功能关系
1．内容
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．
2．做功对应变化的能量形式
(1)合外力的功影响物体的动能的变化．
(2)重力的功影响物体重力势能的变化．
(3)弹簧弹力的功影响弹性势能的变化．
(4)除重力或系统内弹力以外的力做功影响物体机械能的变化．
(5)滑动摩擦力的功影响系统内能的变化．
(6)电场力的功影响电势能的变化．
(7)分子力的功影响分子势能的变化．
摩擦力做功与能量转化 1.比较静摩擦力和滑动摩擦力做功 静摩擦力做功滑动摩擦力做功不同点能量的转化方面只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能(1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 (3)摩擦生热：Q=fx相一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数和总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
2几种常见的功能关系及其表达式 各种力做功对应能的变化定量的关系W合：合外力的功（所有外力的功）动能的改变量（ΔEk）合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1WG：重力的功重力势能的改变量（ΔEp）重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2W弹：弹簧弹力做的功弹性势能的改变量（ΔEp）弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2只有重力、弹簧弹力的功不引起机 械能变化机械能守恒ΔE＝0W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功机械能的改变量（ΔE）除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔEFf·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和因摩擦而产生的内能（Q）滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移）
题型　　功能关系
　如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是（　　）
A．小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球的合力等于重力
B．小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D．小球通过N点时速率为
【答案】AD
【分析】在MP之间与PN之间各有一处弹簧弹力为零的位置，在此位置小球的合力等于重力，小球经过P点时弹簧弹力方向与杆垂直，弹簧弹力与杆对小球的弹力相平衡，此位置小球的合力等于重力；小球从M运动到N的过程中，除了小球的重力对其做功外，弹簧弹力还对小球做功，故小球的机械能不守恒；根据弹簧的弹性势能与形变量的关系判断弹性势能的变化；小球从M运动到N的过程中，初末位置弹簧弹性势能相等，小球的重力势能全部转化为它的动能。
【解答】解：A．已知：OM＝ON＝2L，OP＝L，弹簧的原长为，所以小球在MP之间某个位置时弹簧处于原长，在此位置弹簧弹力为零，小球与杆之间无弹力，此位置小球的合力等于重力。同理，小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长，此位置小球合力等于重力。当小球经过P点时弹簧对小球的弹力与杆对小球的弹力等大反向，此位置小球受到的合力等于重力。可知小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球的合力等于重力，故A正确；
B．小球从M运动到N的过程中，除了小球的重力对其做功外，弹簧弹力还对小球做功，故小球的机械能不守恒，但是小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故B错误；
C．小球从M运动到N的过程中，从M到P的过程，弹簧由伸长状态变为原长再变为压缩状态，从P到N的过程，弹簧由压缩状态变为原长再变为伸长状态，可知弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小再增大，故C错误；
D．小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，小球从M运动到N的过程中，小球的重力势能全部转化为它的动能，由几何关系可得MN之间的距离为，设小球通过N点时速率为v，则有：，解得：，故D正确。
故选：AD。
【跟踪练1】如图所示，光滑水平桌面上有一能满足胡克定律的橡皮筋，一端可绕竖直轴O转动，另一端与小球相连。当小球转动稳定后，发现橡皮筋的伸长量等于原长，此时小球的动能为Ek。已知橡皮筋的劲度系数为k，小球可视为质点。橡皮筋的原长为（　　）
A． B． C． D．
【跟踪练2】气排球轻，很适合老年人锻炼身体。某退休工人在打气排球时将一质量为的气排球以大小为的初速度竖直向上抛出，落回抛出点时的速度大小为。已知气排球在运动过程中所受空气阻力的大小与其运动速度大小成正比。若选竖直向上方向为正方向，选取抛出点为重力势能的零势能点，已知重力加速度大小为，则下列加速度和速度随时间变化的图象以及动能和机械能随高度变化的图象正确的是　　
A． B．
C． D．
【跟踪练3】如图所示，劲度系数为的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为的小球从弹簧正上方高处自由下落，当弹簧的压缩量为时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为。此过程中　　
A．小球的机械能守恒
B．小球到距地面高度为时动能最大
C．小球最大动能为
D．弹簧最大弹性势能为
【跟踪练4】如图，工人用传送带运送货物，传送带倾角为，顺时针匀速转动，把货物从底端点运送到顶端点，其速度随时间变化关系如图所示。已知货物质量为，重力加速度取。则下列说法中不正确的是　　
A．传送带匀速转动的速度大小为
B．货物与传送带间的动摩擦因数为
C．运送货物的整个过程中摩擦力对货物做功
D．、两点的距离为
【跟踪练5】如图，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于点。一物块由斜面上点上方某位置释放，将弹簧压缩至最低点（弹簧在弹性限度内），则物块由点运动至点的过程中，弹簧弹性势能的　　
A．增加量等于物块动能的减少量
B．增加量等于物块重力势能的减少量
C．增加量等于物块机械能的减少量
D．最大值等于物块动能的最大值
【跟踪练6】弹弓飞箭（如图所示）颇受小孩的喜爱，某次一小孩手拉紧橡皮筋发射器，松开手后将飞箭竖直射向天空。从松开手至飞箭到达最高点的过程中（橡皮筋始终在弹性限度内且不计空气阻力），下列说法正确的是　　
A．飞箭的机械能一直增大
B．飞箭重力做功的功率一直增大
C．飞箭与橡皮筋刚分离时，飞箭的速度最大
D．橡皮筋的弹性势能和飞箭的重力势能之和先减小后增大
【跟踪练7】如图所示，水平光滑长杆上套有小物块，细线跨过位于点的轻质光滑定滑轮，一端连接，另一端悬挂小物块，物块、质量相等。为点正下方杆上的点，滑轮到杆的距离，重力加速度为。开始时位于点，与水平方向的夹角为，现将、由静止释放，下列说法正确的是　　
A．物块运动到点过程中机械能变小
B．物块经过点时的速度大小为
C．物块在杆上长为的范围内做往复运动
D．在物块由点出发第一次到达点过程中，物块克服细线拉力做的功等于重力势能的减少量
1．【答案】A
【分析】小球转动稳定后动能为Ek时橡皮筋伸长量为x，由向心力公式和牛顿第二定律结合动能的表达式求解橡皮筋的原长。
【解答】解：设橡皮筋原长为 l0，转动稳定后动能为Ek时橡皮筋伸长量为x，由向心力公式和牛顿第二定律得
kx＝
根据题意
x＝l0 r＝l0+x
解得l0＝，故A正确，BCD错误；
故选：A。
2．【答案】
【分析】图象的斜率等于加速度，而加速度可根据牛顿第二定律分析，根据动能定理分析图象的斜率，由功能原理分析图象的斜率，从而判断各个图象的对错。
【解答】解：．根据动能定理可得
上升过程中
下降过程中
斜率大小应该越来越小，故错误；
．上升过程中，加速度方向向下，大小为
速度减小，加速度减小，加速度随时间的变化率在减小；
下降过程中，加速度方向向下，大小为
速度增加，加速度减小，加速度随时间的变化率的减小，即加速度和速度随时间的变化率一直减小，故错误；
．由功能关系可知
在上升过程中斜率越来越小，在下降过程中斜率越来越大，故正确。
故选：。
3．【答案】
【分析】根据机械能守恒的条件判断小球机械能是否守恒；根据条件分析小球速度最大即动能最大的位置，根据平衡条件结合胡克定律计算动能最大时弹簧的压缩量，再求此时小球到距地面的高度；根据系统机械能守恒求小球最大动能和弹簧最大弹性势能。
【解答】解：、小球压缩弹簧的过程中，弹力对小球做功，所以小球的机械能不守恒，故错误；
、当小球的加速度为零时，速度最大，动能最大，则有：，可得此时弹簧的压缩量为，而此时小球到距地面高度，是弹簧原长，故错误；
、对于小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒。从开始到小球动能最大位置，由系统机械能守恒得：，则小球最大动能为，故错误；
、从开始到最低点，由系统机械能守恒得弹簧最大弹性势能为：，故正确。
故选：。
4．【答案】
【分析】：根据货物的图像判断传送带的速度；
：根据货物图像求解开始时货物的加速度，再根据牛顿第二定律求解货物与传送带间的动摩擦因数；
：根据动能定理求解摩擦力对货物做的功；
：根据货物的图像求解、两点的距离。
【解答】解：由图像可知，货物先向上匀加速，再向上匀速，所以传送带匀速转动的速度大小为，故正确；
开始时货物的加速度
由牛顿第二定律可知
解得货物与传送带间的动摩擦因数为
，故正确；
由图像可知，、两点的距离为
，故错误；
由动能定理可知
代入数据解得运送货物的整个过程中摩擦力对货物做功
，故正确。
本题选不正确的，故选：。
5．【答案】
【分析】本题可分别对物块与弹簧组成的系统应用功能关系进行分析，下滑过程中物块的重力势能、弹性势能和动能相互转换，但是总机械能不变。
【解答】解：、设物块在点时的动能为，斜面的倾角为，物块由点运动至点的过程中，对物块和弹簧组成的系统由机械能守恒有
可知物块的机械能转化成了弹簧的弹性势能，所以弹簧弹性势能增加量大于物块动能的减少量，同样大于物块重力势能的减少量，而等于物块机械能的减少量，故错误，正确；
、物块由点运动至点的过程中，弹簧弹性势能最大时即弹簧被压缩至最短时，而物块动能最大时，弹簧的弹力等于物块重力沿斜面向下的分力，即此时弹簧已被压缩，具有了一定的弹性势能，而此后物块还要继续向下运动，直至速度减为零，弹簧被压缩至最短，因此弹簧弹性势能的最大值大于物块动能的最大值，而等于物块机械能的减少量，故错误。
故选：。
6．【答案】
【分析】对飞箭进行功能关系分析，可得出机械能的变化情况；对飞箭和橡皮筋进行加速度分析，可得出速度变化情况，结合速度变化情况，得出重力功率变化情况；对整个系统进行分析，可得选项。
【解答】解：飞箭和橡皮筋还没有分离之前，橡皮筋对飞箭做正功，这导致飞箭的机械能增加，飞箭离开橡皮筋后，橡皮筋不再对飞箭做功，飞箭的机械能不再变化，故错误；
飞箭与橡皮筋未分离前，先做加速度逐渐减小的加速运动，接着做加速度逐渐增大的减速运动，离开飞箭后，做竖直上抛运动，当飞箭受到橡皮筋的弹力等于其重力时，即加速度为零时，飞箭的速度达最大。飞箭在最高点速度方向与重力垂直，重力功率为0，所以飞箭重力做功功率先增大再减少，故错误；
把橡皮筋与飞箭看着一个系统，系统的机械能守恒，而飞箭的动能是先增大后减小，则可知橡皮筋的弹性势能和飞箭的重力势能之和先减小后增大，故正确。
故选：。
7．【答案】
【分析】根据细线对物块做功情况，判断的机械能变化情况。物块经过点时，物块的速度为0，根据系统机械能守恒求解物块经过点时的速度大小。物块在水平光滑杆上往复运动，根据对称性求的运动范围。根据功能关系分析物块克服细线拉力做的功与重力势能的减少量关系。
【解答】解：、物块运动过程中，细线对始终做正功，其他力不做功，所以物块的速度始终增大，故错误；
、物块经过点时，细线与物块的运动方向垂直，则物块的速度为0，根据与组成的系统机械能守恒得
解得此时物块的速度为：，故错误；
、由于机械能守恒，物块在水平光滑杆上往复运动，结合对称性可知的运动范围为，故错误；
、在物块由点出发第一次到达点的过程中，物块的动能变化量为0，根据功能关系可知，物块克服细线拉力做的功等于重力势能的减少量，故正确。
故选：。
第1页（共3页） 第八章　　机械能守恒定律
专题16 功能关系
一．选择题（共7小题）
1．弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具，其构造原理如图所示，橡皮筋两端点、固定在把手上，橡皮筋处于时恰好为原长状态，在处连线的中垂线上）放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去，打击目标。现将弹丸竖直向上发射，已知是中点，则　　
A．从到过程中，弹丸的机械能守恒
B．从到过程中，弹丸的动能一直在增大
C．从到过程中，橡皮筋的弹性势能先增大后减小
D．从到过程橡皮筋对弹丸做功大于从到过程
2．现有一质量为的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。如果运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜面倾角为，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离变化的图像如图所示。重力加速度取。以下说法不正确的是　　
A．运动员机械能减少
B．运动员的质量为
C．运动员下滑时加速度的大小为
D．运动员下滑过程中受到的阻力为
3．倾角的光滑斜面固定在水平桌面上，轻质滑轮固定在足够长的斜面顶端，小球和物块用轻绳及轻弹簧连接在滑轮的两侧，小球的质量为、物块的质量为。小球在斜面上处时，弹簧处于原长且轻绳刚好伸直，由静止释放小球，小球从至低低点过程中，物块恰好未离开地面，此过程中小球的最大速度为。已知弹簧的弹性势能表达式，重力加速度为，则　　
A．
B．弹性势能的最大值
C．若物块的质量为，小球的速度会超过
D．若物块的质量为，弹簧弹性势能最大时小球的速度为
4．航天员在地面模拟失重训练的一种方式是在水下进行（如图）。航天员需要穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等，假设其总质量为，训练空间的重力加速度为且不变，在某次出舱作业过程中，给自己一个初速度后竖直向上匀速漂浮，下列说法正确的是　　
A．航天员所受的合力为零，合力不做功，其机械能守恒
B．上升的过程中，动能增加了
C．上升的过程中，重力势能减小了
D．上升的过程中，机械能增加了
5．如图所示，轻质弹簧下端系一重物，点为其平衡位置今用手向下拉重物，第一次把它缓慢拉到点，弹力做功，第二次把它缓慢拉到点后再令其回到点，弹力做功，则这两次弹力做功的关系为　　
A． B． C． D．
6．如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一个定滑轮，小物块、用轻绳连接并跨过定滑轮（不计滑轮的质量和一切摩擦）．初始时刻，用手按住物块使、处于静止状态．松手后下落、沿斜面上滑．则从松手到物块着地前的瞬间　　
A．由于绳子的拉力做功，所以以、为系统机械能不守恒
B．轻绳对物块做的功等于物块的机械能增加量
C．物块的重力势能的减少量等于物块和的动能增加量
D．物块的机械能与物块的重力势能之和是增加的
7．用力拉着一个物体从空中的点运动到点的过程中，重力做功，拉力做功，克服空气阻力做功，则下列判断正确的是　　
A．物体的重力势能一定减少了
B．物体的动能增加了
C．物体的机械能增加了
D．物体的机械能增加了
二．计算题（共3小题）
8．某节目中制作的装置可简化为如图所示。光滑的圆弧轨道竖直放置，其轨道半径为。圆弧左右两侧均连接足够长的粗糙斜面，斜面与圆弧连接处相切，倾角，质量为的小球自左侧圆弧轨道上点处由静止开始运动，由点进入轨道。已知间距离，小球与斜面间的动摩擦因数，不计其他阻力，重力加速度。求：
（1）小球第一次到达点时的速度大小；
（2）整个过程中，小球在斜面上运动的总路程。
9．如图所示，质量为的长木板放在光滑水平面上，在木板左端施加的水平推力，当木板向右运动的速度达到时，在其右端轻轻放上一个大小不计、质量为的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数，木板足够长，取．求：
（1）当二者达到相同速度时，木板对铁块以及铁块对木板所做的功；
（2）当二者达到相同速度时，木板和铁块之间因摩擦所产生的热量．
10．在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为的木块相连，系统处于平衡状态。若在木块上再加一个竖直向下的力，使木块缓慢向下移动，力做功，此时木块再次处于平衡状态，力的大小为，如图所示。求在木块下移的过程中弹性势能的增加量。取
一．选择题（共8小题）
1．航天员在地面模拟失重训练的一种方式是在水下进行，如图所示。航天员在某次出舱作业过程中穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其匀速上浮，则航天员上浮过程中　　
A．所受的合力做正功 B．所受的合力做负功
C．其机械能减少 D．其机械能增加
2．如图（甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图象如图（乙所示，则　　
A．时刻小球动能最大
B．从的过程中，小球的动能一直在增大
C．从的过程中，小球的动能先增大后减少
D．段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
3．质量为的物体以初速度沿水平面向左开始运动，起始点与一轻弹簧端相距，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为　　
A． B．
C． D．
4．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是　　
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
D．动能和弹性势能之和保持不变
5．如右图所示，靠在竖直粗糙墙壁上的物块在时被无初速释放，此时开始受到一随时间变化规律为的水平力作用，、、和△分别表示物块所受的摩擦力、物块的加速度、动能和重力势能变化量，下列图像能正确描述上述物理量随时间变化规律的是　　
A． B．
C． D．
6．水平地面上方有水平向右、范围足够大的匀强电场，从地面上的点竖直向上抛出一个带电的小球，运动轨迹如图所示，点为轨迹的最高点，空气阻力可忽略。则小球在从到过程中　　
A．电势能增大 B．机械能先增大后减小
C．速度先减小后增大 D．相同时间内速度变化量不同
7．如图所示，质量均为的木块和，用一个劲度系数为的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为，现在用力向上缓慢拉直到刚好要离开地面，则这一过程中弹性势能的变化量△和力做的功分别为　　
A．， B．，
C．0， D．0，
8．如图所示，下列关于撑杆跳高运动员在上升过程中的说法正确的是　　
A．运动员受到杆的作用力等于重力
B．运动员经历先超重后失重的过程
C．运动员的重力势能全部由杆的弹性势能转化而来
D．分析运动员肌肉做功放能过程可将其看成质点
二．填空题（共3小题）
9．如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一质量为的小球，若将小球从弹簧原长由静止释放，小球能够下降的最大距离为，则小球在到达最低点的过程中，弹簧的弹性势能增加量为 　　，克服弹力做功为 　　，小球所受合外力做功为 　　。
10．如图所示，一固定斜面倾角为，一质量为的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小。若物块上升的最大高度为，则此过程中，物块动能的变化量为 　　，机械能的变化量为 　　。
11．某球员定点罚球，篮球刚好水平越过篮筐前沿。已知罚球点离篮筐前沿的水平距离为，罚球的出球点与篮球运动最高点间的高度差为，篮球质量为，这次罚球该球员对篮球做的功为，不计空气阻力，则篮球从出球点运动到最高点，重力势能增加了 　　，篮球从罚球点篮球员手中到最高点时的机械能增加 　　。
三．计算题（共2小题）
12．如图所示，质量的金属块放在水平地板上，在与水平方向成角斜向上，大小为的拉力作用下，以速度向右做匀速直线运动。，，取求：
（1）金属块和地板之间的动摩擦因数；
（2）若在作用了一段时间后撤去了拉力，直到金属块停止的过程中因摩擦产生的热量为，求作用的时间是多少？
13．如图所示，为固定的竖直光滑半圆弧轨道，与水平滑道相切于点，轨道半径为，为水平半径。在水平滑道上有一轻弹簧，其一端固定在竖直墙上，自由端位于滑道的点，长为，小物块与水平滑道间的动摩擦因数为。一质量为的小物块自处以某一竖直向下的初速度滑下，进入水平滑道后压缩弹簧，若小物块运动过程中弹簧的最大弹性势能为，且小物块被弹簧反弹后恰能通过点。已知重力加速度为。求：
（1）小物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力的大小；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）小物块从处开始下滑时的初速度。
一．选择题（共7小题）
1．如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为，原长为。质量为的铁球由弹簧的正上方高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为时，铁球下落到最低点。不计空气阻力，重力加速度为，则下列说法正确的是　　
A．小球下落高度时具有的动能最大
B．小球下落到最低点时速度为0，加速度为0
C．当弹簧压缩量时，小球的动能最大，弹性势能最小
D．小球的整个下落过程，其重力势能一直减小，机械能先不变，后减小
2．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离，如图所示。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法不正确的是　　
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
D．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
3．2023年12月10日17时07分，北京星际荣耀空间科技股份有限公司研制的双曲线二号可重复使用液氧甲烷火箭（代号在酒泉卫星发射中心圆满完成第二次垂直起降飞行试验，实现国内首次可复用火箭的复用飞行。若忽略空气阻力，在火箭起飞和降落的整个过程中　　
A．火箭的动能先增加后减少 B．火箭的机械能守恒
C．火箭的机械能先增加后减少 D．火箭的推力始终做正功
4．“神舟15号”载人飞船安全着陆需经过分离、制动、再入和减速四个阶段。如图，在减速阶段，巨型的大伞为返回舱提供足够的减速阻力，设返回舱做直线运动，则在减速阶段　　
A．伞绳对返回舱的拉力大于返回舱对伞绳的拉力
B．伞绳对返回舱的拉力小于返回舱对伞绳的拉力
C．合外力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化
D．除重力外其他力的合力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化
5．质量为的跳伞运动员做低空跳伞表演。他从离开悬停的飞机后到落地前的运动过程可以大致用如图所示的图像描述，已知，由图像可以推测出　　
A．打开降落伞时运动员距地面的高度为
B．打开降落伞后运动员的加速度小于
C．内运动员受到的空气阻力大于
D．内运动员的机械能先增大后减小
6．如图所示，一劲度系数为的轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接置于粗糙水平面的物块。此时弹簧自然伸长，物块位于点。现用外力向左推动物块，当弹簧压缩量为时，使物块静止，然后由静止释放物块，物块到达点时速度刚好为0。已知此过程中向左推动木块的外力所做的功为。则此过程中弹簧的最大弹性势能为　　
A． B． C． D．
7．某同学将质量为的铅球以初速度水平推出，在下落高度后速度大小变为，重力加速度大小为。则铅球下落过程中，机械能的减少量为　　
A． B．
C． D．
二．计算题（共3小题）
8．如图，一根劲度系数为的轻质弹簧上端固定在光滑斜面顶端，斜面倾角为。下端连接一物块，下面用轻绳连接一质量为的物块，物块距离解面底端为1。开始系统处于静止状态，现在剪断细线使自由下滑，当滑到斜面底端时，物块刚好向上运动第一次到达最高点，此时弹簧对的拉力为。已知弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为，求：
（1）弹簧与组成的系统振动周期为多少？
（2）物块的质量为多少？
（3）从最低点运动到最高点的过程中，弹簧的弹性势能减少了多少？
9．如图所示，倾角为的光滑斜面底端固定一劲度系数为的轻弹簧，弹簧上端连接质量为的物块，与平行斜面的轻绳相连，轻绳跨过轻质光滑定滑轮与套在光滑竖直杆上的质量为的物块连接，图中、两点等高，间距。初始时在外力作用下，在点静止不动，、间距离，此时轻绳中张力大小为。现将由静止释放，取，，。求：
（1）上升至点时的速度大小；
（2）上升至点的过程中，克服轻绳拉力做的功。
10．如图所示，弹簧左端系于点，右端与质量为的小球接触但不连接。现用外力推动小球将弹簧压缩至点保持静止，此时弹性势能为为一已知常量），、之间的距离为。小球与水平轨道的动摩擦因数为。是固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端点的切线水平，圆心与轨道下端的连线与竖直墙面的夹角为。静止释放小球，小球进入圆弧轨道后恰好能沿着轨道运动，一段时间后从轨道下端处脱离，已知重力加速度为，求：
（1）小球运动到点的速度大小；
（2）轨道的半径；
（3）在点下方整个空间有水平向左、大小为的恒定风力，求小球从点运动到点正下方时的动能。
基础练
一．选择题（共7小题）
1．【答案】
【解答】解：、从到，橡皮筋的弹力对弹丸做功，所以弹丸的机械能增大，故错误。
、橡皮筋恰好处于原长状态，在处橡皮筋的拉力为0，在连线中的某一处，弹丸受力平衡，所以从到，弹丸的合力先向上后向下，速度先增大后减小，弹丸的动能先增大后减小，故错误。
、从到，橡皮筋对弹丸一直做正功，橡皮筋的弹性势能一直减小，故错误。
、从到橡皮筋作用在弹丸上的合力大于从到橡皮筋作用在弹丸上的合力，两段位移相等，所以段橡皮筋对弹丸做功较多，机械能增加也多，故正确；
故选：。
2．【答案】
【解答】解：．运动员加速下滑的过程中，动能增大，机械能减小，由图像可知，运动员的机械能减小，故正确；
．运动员克服阻力做功等于机械能的减少量，则
△
得
故正确；
．运动员下滑到底端的动能为
又
联立解得
，
故正确，错误。
本题选择不正确的，故选：。
3．【答案】
【解答】解：、小球由到的过程，小球减少的重力势能等于弹簧增加的弹性势能，则有：
小球在点时，物块恰好未离开地面，对物块由平衡条件得：
联立解得：，故错误；
、在最低点时弹簧伸长最长，有最大弹性势能，则弹簧的最大弹性势能为，故错误。
、物块的质量为时，小球达到最大速度为时，其加速度为零，设此时弹簧伸长量为，则有：
，解得：
小球、弹簧组成的系统机械能守恒，小球达到最大速度的过程有：
若物块的质量为时，当弹簧弹力为，解得：，故当小球运动到距离点之后物块离开桌面，此后小球、物块、弹簧组成的系统机械能守恒，小球达到最大速度时弹簧伸长量仍等于，弹性势能仍为，而物块增加了机械能，小球的最大动能会小于，故小球的速度不会超过，故错误；
、物块的质量为时，当小球达到最大速度为时，弹簧弹力为，即此时弹簧弹力恰好的等于物块的重力，此后弹簧继续伸长，物块离开桌面，因物块的重力与小球重力沿斜面的分力相等，故沿着轻绳的方向系统动量守恒，弹簧弹性势能最大时物块与小球速度大小相等（设为，则有：
，解得：，故正确。
故选：。
4．【答案】
【解答】解：．航天员在上升过程中，浮力对其做的正功，根据功能关系，机械能增加，故错误，正确；
．匀速上升过程，根据动能定义，动能不变，故错误；
．上升的过程，重力做负功，根据功能关系，重力势能增加了，故错误。
故选：。
5．【答案】
【解答】解：根据功能关系可知，弹簧弹力对物体做的功等于弹性势能的减小量，两次对应的弹簧的形变量一样，两次弹簧对物体做功相等，故错误，正确。
故选：．
6．【答案】
【解答】解：、对、系统来说，绳子的拉力属于内力，故绳子的拉力需要不考虑，由于整体只有重力做功，故系统的机械能守恒，故错误；
、对分析可知，除重力之外的力只有绳子拉力做功，故绳子对做的功等于物块的机械能增加量，故正确；
、根据系统的机械能守恒知，的重力势能的减小量等于和动能的增加量以及重力势能的增加量之和，故错误；
、由于总机械能守恒，则可知，的机械能与物体的机械能之和不变，由于的动能增加，故物块的机械能与物块的重力势能之和减小，故错误。
故选：。
7．【答案】
【解答】解：、重力做功，则重力势能增加，故错误；
、合力做功，由功能关系可知物体的动能增加，故正确；
、，由功能关系可知物体的机械能增加，故错误；
故选：。
二．计算题（共3小题）
8．【答案】（1）小球第一次到达点时的速度大小为；
（2）整个过程中，小球在斜面上运动的总路程为。
【解答】解：（1）设小球第一次到达点时的速度为，对过程分析，由动能定理可得：
解得：；
（2）由于在斜面上摩擦力做功，机械能转化为内能，小球机械能会越来越小，而在间没有摩擦力做功，故小球最终会在间做往返运动，在、两处的速度均为零，对由到最终小球在间运动时到达任一点进行分析，由动能定理有：
解得：。
答：（1）小球第一次到达点时的速度大小为；
（2）整个过程中，小球在斜面上运动的总路程为。
9．
【解答】解：（1）根据牛顿第二定律得
木板的加速度；
铁块的加速度；
设经过时间二者达到相同速度，则有
解得，
此过程中，木板的位移为
铁块的位移为
木板对铁块做的功为
铁块对木板所做的功为
（2）木板和铁块之间相对位移大小△
木板和铁块之间因摩擦所产生的热量△
答：
（1）当二者达到相同速度时，木板对铁块以及铁块对木板所做的功分别为和；
（2）当二者达到相同速度时，木板和铁块之间因摩擦所产生的热量是．
10．
【解答】解：木块缓慢下移的过程中，与重力的合力始终与弹簧弹力等大反向，所以力和重力做的总功等于克服弹簧弹力做的功，即为：
由弹力做功与弹性势能变化的关系知：△。
答：木块下移的过程中弹性势能的增加量为4.5 。
能力练
一．选择题（共8小题）
1．【答案】
【解答】解：、航天员上浮过程中做匀速运动，动能保持不变，根据动能定理，可知所受的合力不做功，故错误；
、由于航天员上浮过程受到重力与浮力作用，而浮力对航天员做正功，根据功能关系，可知航天员的机械能增加，故错误，正确。
故选：。
2．【答案】
【解答】解：、小球落到弹簧表面后，开始压缩弹簧，此后弹簧的弹力开始增大，小球受到的合力减小，但方向仍然向下，当重力等于弹力时合力为零，速度达最大，故时刻小球动能没有达到最大，故错误；
、这段时间内，弹簧处于开始压缩到达到最大压缩量的过程，小球受到的弹力开始时小于重力，后来大于重力，所以小球的动能先增大，后减小，在时刻小球的动能是0，故错误；
、这段时间内，小球的弹力从最大开始减小，说明小球在由最低点上升，小球受到的弹力开始时大于重力，小球向上做加速运动，后来小于重力，小球做减速运动，所以小球的动能先增大，后减小。故正确；
、这段时间内，小球在由最低点上升，弹性势能转化为小球的动能和重力势能，故小球增加的动能小于弹簧增加的弹性势能，故错误；
故选：。
3．【答案】
【解答】解：物体受到的滑动摩擦力大小为，对物体与弹簧及地面组成的系统，由动能定理可得：
，
解得：
故选：。
4．【答案】
【解答】解：、对于小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能这三种形式的能量相互转化，没有与其他形式的能发生交换，也就说小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变。对于小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，弹簧是一直被压缩的，所以弹簧的弹性势能一直在增大。因为小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变，重力势能和动能之和始终减小。故错误。
、在刚接触弹簧的时候这个时候小球的加速度等于重力加速度，在压缩的过程中，弹簧的弹力越来越大，小球所受到的加速度越来越小，直到弹簧的弹力等于小球所受到的重力，这个时候小球的加速度为0，要注意在小球刚接触到加速度变0的工程中，小球一直处于加速状态，由于惯性的原因，小球还是继续压缩弹簧，这个时候弹簧的弹力大于小球受到的重力，小球减速，直到小球的速度为0，这个时候弹簧压缩的最短。所以小球的动能先增大后减小，所以重力势能和弹性势能之和先减小后增加。故错误。
、对于小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能这三种形式的能量相互转化，没有与其他形式的能发生交换，也就说小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变。故正确。
、小球下降，重力势能一直减小，所以动能和弹性势能之和一直增大。故错误。
故选：。
5．【答案】
【解答】解：、物块在时被无初速释放，由于，则开始阶段，物块对墙壁的压力较小，物块所受的滑动摩擦力小于重力，物块加速下滑；后来，滑动摩擦力大于重力，物块减速下滑，直到速度为零，物块静止在墙壁上。
取竖直向下方向为正方向。
物块在向下运动过程中，滑动摩擦力大小为，与成正比；
当物块静止时，，保持不变，
所以摩擦力的图象如图所示：
故错误。
、在物块向下做加速运动的过程中，由牛顿第二定律有：
又，得，随着增大而线性减小，物块做加速度减小的变加速运动，图象的斜率减小。在向下减速运动的过程中：由于，由牛顿第二定律得：，可知，随着增大，向上增大，物块做加速度增大的变减速运动，图象的斜率应增大。由于与时间是非线性关系，动能，则知动能与时间也是非线性关系，其图象应曲线，故正确，错误；
、物体下落时做变加速直线运动，很显然高度变化不随时间线性变化，由于重力势能变化大小对应重力做功，且最后物块静止，重力势能不再变化，故错误。
故选：。
6．【答案】
【解答】解：、由运动轨迹可知，小球带正电，则小球在从到过程中电场力做正功，电势能减小，机械能增大，故错误；
、开始过程中，小球所受合力与速度夹角为钝角，合外力做负功，根据动能定理可知小球动能减小，后小球所受合力与速度夹角为锐角，合外力做正功，根据动能定理可知小球动能增大，所以小球在从到过程中动能先减小后增大，即速度先减小后增大，故正确；
、小球的合外力固定不变，则加速度固定不变，根据△△可知相同时间内小球的速度变化量相同，故错误。
故选：。
7．【答案】
【解答】解：开始时，、都处于静止状态，弹簧的压缩量设为，由胡克定律有，解得：
物体恰好离开地面时，弹簧对的拉力为，设此时弹簧的伸长量为，由胡克定律有，解得：
由于弹簧的压缩量和伸长量相等，则弹簧的弹性势能变化为零；
这一过程中，物体上移的距离为：，
根据功能关系可得拉力做的功等于的重力势能的增加量，则有：，故正确，错误。
故选：。
8．【答案】
【解答】解：、撑杆跳高运动员在上升过程中做变速运动，受力不平衡，运动员受到杆的作用力不等于重力，故错误；
、运动员先加速上升，再减速上升，竖直方向上加速度先向上后向下，故运动员经历先超重后失重的过程，故正确；
、运动员的重力势能主要由动能转化而来，故错误；
、分析运动员肌肉做功放能过程，不能忽略运动员的姿势和动作，不可将其看成质点，故错误。
故选：。
二．填空题（共3小题）
9．【答案】，，0。
【解答】解：小球在到达最低点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增加量等于小球重力势能的减小量，即；
由功能关系得，克服弹力做功等于弹性势能的增加量，即；
由动能定理得，合外力做功等于动能的变化量，小球的动能变化量为零，则所受合外力做功为0。
故答案为：，，0。
10．【答案】；
【解答】解：物块向上滑动的合外力，位移为，合外力的功为，根据动能定理，△，则物块动能的变化量为；
由牛顿第二定律：，所以，摩擦力对物块做的功为，根据功能关系，摩擦力对物块的功等于物块机械能的变化量，
则物块机械能的变化量为
11．
【解答】解：篮球从出球点运动到最高点，重力势能增加了△△；
由功能关系得，这次罚球该球员对篮球做的功即为篮球从罚球点篮球员手中到最高点时的机械能增加量
△
故答案为：4.8；38。
三．计算题（共2小题）
12．【答案】（1）金属块和地板之间的动摩擦因数为0.5；
（2）若在作用了一段时间后撤去了拉力，直到金属块停止的过程中因摩擦产生的热量为，作用的时间是。
【解答】解：（1）由于滑块做匀速直线运动，有
解得
（2）产生的热量等于物体克服摩擦力所做的功，即，则对整个过程应用动能定理，有：
解得
匀速运动的位移为：
则作用时间。
答：（1）金属块和地板之间的动摩擦因数为0.5；
（2）若在作用了一段时间后撤去了拉力，直到金属块停止的过程中因摩擦产生的热量为，作用的时间是。
13．【答案】（1）小物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力的大小为；
（2）弹簧的最大压缩量为；
（3）小物块从处开始下滑时的初速度为。
【解答】解：（1）小物块恰能通过点，重力完全提供向心力，则有：
解得：
从到，由动能定理得：
解得：
在点，由牛顿第二定律可得：
解得：
由牛顿第三定律得小物块刚进入半圆轨道时对轨道的压力大小为；
（2）物块从弹簧压缩最短到点，由能量守恒定律得：
解得：；
（3）物块从开始运动到压缩弹簧到最短再返回到过程中，由能量守恒定律可得：
解得：。
答：（1）小物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力的大小为；
（2）弹簧的最大压缩量为；
（3）小物块从处开始下滑时的初速度为。
拓展练
一．选择题（共7小题）
1．【答案】
【解答】解：对小球受力分析可知，从开始下落过程为自由落体运动，接着开始压缩弹簧，在弹力小于重力的过程中，弹力与重力的合力竖直向下，小球做加速度减小的加速运动，当弹力与重力相等时，小球速度最大，动能最大，小球继续下落，弹力大于重力，两者合力竖直向上，小球做加速度增大的减速运动直到速度为零，故错误；
当弹力与重力相等时，小球速度最大，动能最大，根据平衡条件
解得
，小球下落高度为刚要开始压缩弹簧时，弹簧弹性势能最小，故错误；
小球自由下落过程中，重力做正功，重力势能减小，机械能不变；压缩弹簧到最低点，重力做正功，弹力做负功，重力势能减小，机械能减小，故正确。
故选：。
2．【答案】
【解答】解：运动员到达最低点前重力始终做正功，重力势能始终减小，故正确；
蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向与位移方向始终相反，弹力做负功，弹性势能增加，故正确；
重力势能的改变与重力做功有关，取决于初末位置的高度差，与重力势能零点的选取无关，故错误；
以运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，故正确。
本题选错误选项；
故选：。
3．【答案】
【解答】解：火箭上升时先向上加速后减速，下降时先向下加速后减速，故动能都是先增加后减小，再增加，再减小；故错误；
由于火箭发动机做功且不为0，故火箭整个过程不满足机械能守恒的条件，故错误；
火箭上升时发动机推力做正功，下降时火箭的推力做负功，故机械能先增加后减少，故正确，错误；
故选：。
4．【答案】
【解答】解：．由牛顿第三定律可知，伞绳对返回舱的拉力等于返回舱对伞绳的拉力，故错误；
．由动能定理可知，合外力对返回舱做的功等于返回舱的动能变化量；由功能关系可知除重力外其他力的合力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化，故错误，正确。
故选：。
5．【答案】
【解答】解：、由图像可知，运动员在时打开降落伞，在时达到地面，打开降落伞时运动员距地面的高度就等于时间内运动员运动的位移。根据图象与坐标轴围成的面积表示位移可得打开降落伞时运动员距地面的高度为：，故错误；
、根据图象的斜率表示加速度可得打开降落伞后运动员的加速度大小为：，故错误；
、设内运动员受到的空气阻力大小为，根据牛顿第二定律可得：，解得：，由于，则，故正确；
、内运动员只受重力，机械能守恒；内运动员受到的空气阻力对运动员做负功，根据功能关系可知运动员的机械能减小，故错误。
故选：。
6．【答案】
【解答】解：设物块的质量为，物块与地面间的动摩擦因数为，设弹簧的最大弹性势能为，
物块从点到弹簧压缩量为过程，由功能关系得：，
物块从释放到回到点过程，由功能关系得：
解得：，故正确，错误。
故选：。
7．【答案】
【解答】解：以抛出点所在水平面为重力势能的零势能面，从抛出到下落高度过程，由能量守恒定律得：△
解得机械能的减少量△，故正确，错误。
故选：。
二．计算题（共3小题）
8．【答案】（1）弹簧与组成的系统振动周期为；
（2）物块的质量为；
（3）从最低点运动到最高点的过程中，弹簧的弹性势能减少了。
【解答】解：（1）设滑到斜面底端过程时间为，有，，解得，
剪断细线后向上运动第一次到达最高点时间为弹簧与组成的系统振动周期的一半，知周期为；
（2）设质量为，剪断细线前，对整体，由平衡条件有，
剪断细线时，对由牛顿第二定律，
运动到达最高点时，其中，
根据简谐运动的对称性知，
联立解得；
（3）由胡克定律，结合（2）中结论知，，
解得，
由能量守恒可知从最低点运动到最高点的过程中，弹簧的弹性势能减少量为
△；
答：（1）弹簧与组成的系统振动周期为；
（2）物块的质量为；
（3）从最低点运动到最高点的过程中，弹簧的弹性势能减少了。
9．【答案】（1）上升至点时的速度大小是；
（2）上升至点的过程中，克服轻绳拉力做的功是。
【解答】解：（1）物体位于点时，假设弹簧伸长量为，轻绳的张力，对物块，由平衡条件得：
代入数据解得弹簧的伸长量：
上升到点时，垂直于竖直杆，，此时物块速度为0，
根据勾股定理得：
从到过程，下降距离：△，
此时弹簧压缩量：△
在点与点时弹性的形变量相同，弹性势能相同，
从到过程，对物块、及弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：
△
代入数据解得：
（2）在点时的速度为零，在点时的速度为零，
在、两位置时弹簧的形变量相等，从到过程弹簧对做功为零，
从到过程，设轻绳对做功为，对，由动能定理得：
△
代入数据解得：
克服轻绳拉力做功为
答：（1）上升至点时的速度大小是；
（2）上升至点的过程中，克服轻绳拉力做的功是。
10．【答案】（1）小球运动到点的速度大小为得；
（2）轨道的半径为得；
（3）小球从点运动到点正下方时的动能为。
【解答】解：（1）根据功能关系
解得
（2）在点由牛顿第二定律
解得
（3）在点及其下方，小球受水平向左的风力和竖直向下的重力，由角度关系可知，小球所受合力方向沿着小球速度方向，即沿点切线方向。从点到点正下方由动能定理可得
解得
答：（1）小球运动到点的速度大小为得；
（2）轨道的半径为得；
（3）小球从点运动到点正下方时的动能为。
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