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(总课时42)§5.3简单的轴对称图形（1）
A组：
1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　D　)
A．40° B．50° C．60° D．70°
2.若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　B　）
A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 10
3.下列说法正确的是（ B ）．
A．轴对称图形是两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴
C．两个全等的三角形组成一个轴对称图形 D．直角三角形一定是轴对称图形
4.如图1，在3×3的网格中，点A，B在格点处，以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有(　D　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5等腰三角形的两内角的比为1：4，则底角的度数为20°或80°．
6.如图2，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，则BE＝9．
7等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是25°或40°；
8.如图3，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝6cm.
9.如图4，AD，CE分别为△ABC的中线与角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是 35° .
10.如图5，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为37度.
11.如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°D是斜边AB上的任意一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD延长线于点F，CH⊥CD于点H，CH交AE于点G，试判断BD与CG的大小关系，并说明理由.
解：BD=CG，理由如下：
∵AE⊥CD∴∠CAE+∠ACE=90°，∠ACB=∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD，CA=CB∴∠CAB =∠CBA=45°，
又CH⊥AN∴∠ACH=∠BCH=45°∴△ACG≌△CBD
∴BD=CG.
12.如图7，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE，求∠CAE的度数．
解：因为△ABC是等边三角形，且D是BC边的中点，
所以AD平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°.
因为△ADE是等边三角形，
所以∠DAE＝60°，
所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°．
13.如图8，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系。
解：∠α=∠B，理由为：
证明：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角），
在△BDF和△CED中，
BD＝CE
∠B＝∠C ∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE（全等三角形对应角相等），
BF＝CD
又∵∠FDC=∠α+∠FDC=180-∠FDB=∠B+∠BFD=∠B+∠FDC
∴∠α=∠B（等式性质）.
B组：
14.如图9，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高；
（）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以说明；
（）若D在底边的延长线上，（）中的结论还成立吗 若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
解：（）；理由如下：
连接，则 ,即 ,
∵ ∴ .
（）当点在延长线上时，（）中的结论不成立，但有；
理由：连接，则 ,即 ,
∵ ∴，即 ,
同理当点D在的延长线上时，则有，说明方法同上．
图4
图5
图1
图3
图2
图6
图7
图8
图9
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(总课时42)§5.3简单的轴对称图形（1）
【学习目标】探索简单图形轴对称性，掌握等腰三角形的性质.
【学习重难点】理解轴对称图形和轴对称的区别和联系.
【导学过程】
一.知识回顾
1.等腰三角形的相关概念:
（1）有两条边相等的三角形叫等腰三角形.
（2）在等腰三角形中：相等的两边叫腰，另一边叫底边.
两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角.
2.如图1，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称.
二.探究新知
1.如图2：将一个等腰三角形纸片对折，B点与C点重合，你能发现等腰三角形有哪些特征？
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)∠B=∠C；等腰三角形的两个底角相等；
(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线；
(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高；
(5)BD=CD，AD为底边上的中线.
(6)将(3)、(4)、(5)用一句话归纳为：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），
它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
2.三边都相等的三角形是等边三角形，也叫做正三角形。
3.思考：(1)等边三角形是轴对称图形吗？若是，请你能找出它的对称轴；
(2)你能发现等边三角形有哪些特征？
等边三角形是轴对称图形,等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
等边三角形的三个内角相等，都等于60°.
三.典例与练习
例1.①等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是75°或30°
②等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是9cm,9cm.
练习1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　D　)
A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80°
例2.已知等腰三角形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数 ．
解：设顶角为x度，则底角为2x度，
则：x+2x+2x=180，
解得：x=36，
所以这个三角形三个内角的度数分别为36°，72°，72°．
练习2.已知一个等腰三角形的两个内角分别为和，求这个等腰三角形各内角的度数．
解：①当和是两个底角时，，，
三个内角分别是，，；
②当是顶角时，，解得，
三个内角分别是，，；
③当是顶角时，，解得，
三个内角分别是，，
例3.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M，如图3，在l上画出一点M，使得AM+BM最小．
解：如图，点M即为所求．
作A点关于直线l的对称点A′，
连接A′B交l于点M，连接AM，此时AM+BM的值最小．
四.课堂小结
1.等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线都是等腰三角形的对称轴。等腰三角形两底角相等.
2.等边三角形是轴对称图形,等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。等边三角形的三个内角相等，都等于60°.
五.分层过关
1.(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( D )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
2.（2020·福建）如图5，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（ B ）
A.10 B.5 C.4 D.3
3.（2020·聊城）如图6，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　B　）
A．120° B．130° C．145° D．150°
4．（2020·襄阳）如图7，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝40°．
5.如图8，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：DE=DF；
（2）如果S△ABC=14，AC=7，求DE的长．
解(1）∵AB=AC，点D是BC边上的中点，∴BD=CD，∠B=∠C
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴△BED≌△CFD(AAS)∴DE=DF；
（2）∵AB=AC，点D是BC边上的中点，S△ABC=14，∴S△ACD=7，
∴DF=，∴DE=2．
6．如图9，在△ABC中，AB＝BC，点D是AC的中点，∠ABD＝50°，∠ADE＝40°.
(1)试说明DE∥BC；
(2)求∠AED的度数．
解：(1）∵AB＝BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=50°
∴∠A=∠C=40°
∵∠ADE＝40°∴∠C=∠ADE，∴DE∥BC
(2）∵∠A=∠ADE=40°∴∠AED=100°
图1
顶角
底角
腰
底边
图2
图3
图6
图5
图8
图9
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(总课时42)§5.3简单的轴对称图形（1）
A组：
1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)
A．40° B．50° C．60° D．70°
2.若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 10
3.下列说法正确的是（ ）．
A．轴对称图形是两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴
C．两个全等的三角形组成一个轴对称图形 D．直角三角形一定是轴对称图形
4.如图1，在3×3的网格中，点A，B在格点处，以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5等腰三角形的两内角的比为1：4，则底角的度数为______________．
6.如图2，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，则BE＝____．
7等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是____________；
8.如图3，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____cm.
9.如图4，AD，CE分别为△ABC的中线与角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是____.
10.如图5，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为____度.
11.如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°D是斜边AB上的任意一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD延长线于点F，CH⊥CD于点H，CH交AE于点G，试判断BD与CG的大小关系，并说明理由.
12.如图7，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE，求∠CAE的度数．
13.如图8，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系。
B组：
14.如图9，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高；
（）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以说明；
（）若D在底边的延长线上，（）中的结论还成立吗 若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
图4
图5
图1
图3
图2
图6
图7
图8
图9
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(总课时42)§5.3简单的轴对称图形（1）
【学习目标】探索简单图形轴对称性，掌握等腰三角形的性质.
【学习重难点】理解轴对称图形和轴对称的区别和联系.
【导学过程】
一.知识回顾
1.等腰三角形的相关概念:
（1）有两条边_____的三角形叫等腰三角形.
（2）在等腰三角形中：相等的两边叫_____，另一边叫_____.
两腰的夹角叫_____，腰和底边的夹角叫_____.
2.如图1，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称.
二.探究新知
1.如图2：将一个等腰三角形纸片对折，B点与C点重合，你能发现等腰三角形有哪些特征？
(1)等腰三角形是__________图形；
(2)∠B=∠_____；等腰三角形的两个底角_____；
(3)∠BAD＝∠_____，AD为顶角的__________；
(4)∠ADB=∠__________=_____°，AD为底边上的_____；
(5)BD=_____，AD为底边上的_____.
(6)将(3)、(4)、(5)用一句话归纳为：
等腰三角形顶角的__________、底边上的_____、底边上的____重合（也称“__________”），
它们所在的直线都是等腰三角形的__________。
2.三边都相等的三角形是_____三角形，也叫做_____三角形。
3.思考：(1)等边三角形是轴对称图形吗？若是，请你能找出它的对称轴；
(2)你能发现等边三角形有哪些特征？
等边三角形是__________图形,等边三角形每个角的__________和这个角的对边上的__________重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的__________。等边三角形共有_____条对称轴。
等边三角形的三个内角_____，都等于_____°.
三.典例与练习
例1.①等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是_______________.
②等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是__________.
练习1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80°
例2.已知等腰三角形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数 ．
练习2.已知一个等腰三角形的两个内角分别为和，求这个等腰三角形各内角的度数．
例3.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M，如图3，在l上画出一点M，使得AM+BM最小．
四.课堂小结
1.等腰三角形是_____图形,顶角的_____、底边上的_____、底边上的_____所在的直线都是等腰三角形的_____。等腰三角形两底角_____.
2.等边三角形是_____图形,等边三角形每个角的_____和这个角的对边上的__________所在的直线都是等边三角形的_____。等边三角形共有____条对称轴。等边三角形的三个内角_____，都等于_____°.
五.分层过关
1.(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
2.（2020·福建）如图5，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（ ）
A.10 B.5 C.4 D.3
3.（2020·聊城）如图6，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）
A．120° B．130° C．145° D．150°
4．（2020·襄阳）如图7，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝_____°．
5.如图8，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：DE=DF；
（2）如果S△ABC=14，AC=7，求DE的长．
6．如图9，在△ABC中，AB＝BC，点D是AC的中点，∠ABD＝50°，∠ADE＝40°.
(1)试说明DE∥BC；
(2)求∠AED的度数．
图1
图2
图6
图5
图8
图9
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