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(总课时45)§5.4复习
【学习目标】梳理全章内容，建立知识体系；掌握简单的轴对称图形的性质并灵活应用．
【学习重难点】了解一些简单的轴对称图形（等腰三角形、线段、角）的性质并应用.
【导学过程】
一.知识网络
二.基础知识复习
1.下列剪纸作品中,是轴对称图形的为( C )
2.下列说法中，正确的是 (　D　)
A．等腰三角形底边上的中线就是它的对称轴，B．角的平分线就是它的对称轴。
C．两个三角形能够重合，它们一定是轴对称；D.圆有无数条对称轴。
3.下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的是（　C　）
A、上海自来水来自海上 B、有志者事竞成 C、清水池里池水清 D、蜜蜂酿蜂蜜
4.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（ C ）．
A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对
5.下列图形不一定是轴对称图形的是（ D ）
A.角 B.线段 C.直线 D.三角形
6.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是4:3．
7.已知等腰三角形有一个角为70°，那么它的底角为70°或55°
8.如图1，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是1000米
9.如图2，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝87°.
10.如图3，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为m＋n．∠C=70°
11.如图4，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，求
∠CDE的度数.
解∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=180-∠CDB=180°-(180°-∠CDA）=50°，∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°-25°)÷2=77.5°.
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°，
12.如图5，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用直尺和圆规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接BD，试说明：BD平分∠CBA.
解：(1)如图所示DE就是要求作的AB边上的垂直平分线：
(2)∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°.
∴∠ABD＝∠CBD.即BD平分∠CBA.
三.课堂小结
本章内容可概括为：
两个概念：①轴对称，②轴对称图形，
五个性质：①轴对称性质，②等腰三角形的性质，③等边三角形的性质，④线段垂直平分线的性质，
⑤角平分线的性质，
两个应用：①线段垂直平分线的应用，②最短与最长路径的应用，
两种思想：①方程思想，②分类讨论思想．
四.分层过关
1.以下微信图标 不是轴对称图形的是( D )
A B C D
2.如图6，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列说法错误的是( B )
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
3.如图7所示，△ABC中，AB+BC=10，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是（ C）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 无法确定
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°
5.如图8，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为30cm．
6.(1)如图9，△ABC为等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM交于点Q，猜测∠BQM等于多少度，并说明理由；
(2)若点M是BC延长线上任意一点，点N是CA延长线上任意一点，且BM＝CN，BN与AM的延长线交于点Q，(1)中结论还成立吗？画出相应图形，说明理由．
解：(1)∠BQM＝60°.理由如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°.
又∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN.
∵∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝60°，∴∠BAM＋∠ABN＝60°，∴∠AQB＝120°，∴∠BQM＝60°
(2)成立，所画图形如图所示．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°.
又∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM＝∠NBC.
∵∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠NBA＝∠CAM.而∠CAM＋∠QAB＝180°－∠BAC＝120°，
∴∠NBA＋∠QAB＝120°.
∴∠BQM＝180°－(∠NBA＋∠QAB)＝60°.
生活中的轴对称
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
如果两个平面图形沿一条直线折叠后，能够完全重合，那么这两个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这两个图形对称轴.
轴对称现象
轴对称的性质
①对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
②对应线段相等；③对应角相等.
简单的轴对称图形
等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、高线重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
线段是轴对称图形；线段的垂直平分线和线段所在的直线是线段的对称轴；线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等.
角是轴对称图形；角平分线所在的直线是角的对称轴；角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
利用轴对称进行设计
图3
图2
图1
图4
图5
图7
图6
图8
图9
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(总课时45)§5.4复习
A组
1.下列四个图形中，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(　C　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2.下列图形中，所有轴对称图形的对称轴条数之和为(　B　)
A．13 B．11 C．10 D．8
3.如图1，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（　B　）
A．23° B．46° C．67° D．78°
4.如图2，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ A ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5.如图3，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处，如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为 65° .
6.如图4，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，
若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是6cm2．
9.已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF=60°．
（1）如图5.1，若∠1=50°，求∠2；
（2）如图5.2，连接DF，若∠1=∠3，求证：DF∥BC．
解（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠A=∠C=60°，
∵∠B+∠1+∠DEB=180°，∠DEB+∠DEF+∠2=180°，
∵∠DEF=60°，∴∠1+∠DEB=∠2+∠DEB，∴∠2=∠1=∠50°；
（2）由（1）知：∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，
∴DF∥BC．
10.用四块如图所示的两色正方形瓷砖，拼成一个新的正方形，使拼成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法：
解：根据轴对称要求，设计出利用两色磁砖拼成的正方形如图所示．
B组
11.如图6，在△ABC中，∠ACB=110°，，，为边上的两个点，且，．
（1）若∠A=30°，求∠DCE的度数；
（2）∠DEC的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．
解：（1）设∠DCE=x，∠ACD=y，
则∠ACE=x+y，∠BCE=110-∠ACE=110-x-y．
∵AE=AC，∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠ECD=110-y．
在△DCE中，∠DCE+∠CDE+∠DEC=180，
∴x+(110-y)+(x+y)=180，
解得x=35，
∴∠DCE=35；
（2）由（1）知，∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化．
12.如图7所示，在不等边△ABC中，AB=2，AC=3，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）若BC边长为整数，则△AEN的周长为___4___．
（2）①若∠BAC=70°，则∠EAN的度数为___40°___．
②若∠BAC=100°，则∠EAN的度数为__20°__．
③若∠BAC≠90°，请直接写出∠BAC与∠EAN之间的数量关系，并画出相应的图形．
解（1）∵ AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N；
∴AE=BE，AN=CN；∴△AEN的周长=BC，∵AB+AC>BC，∴1﹤BC﹤5，∵△ABC是不等边三角形，∴BC=4
（2）①∵AE=BE，AN=CN∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN,∵∠BAC=70°，∴∠B+∠C=180°-70°=110°，
∴∠CAN+∠BAE=110°，∴∠EAN=∠CAN+∠BAE-∠BAC∴∠EAN=110°-70°=40°.
②同理可得：∠B+∠C=180°-100°=80°∴∠CAN+∠BAE=80°∴∠EAN=100°-80°=20°;
③如图7.1，若∠BAC为钝角，则∠EAN=2∠BAC-180°；如图7.2若∠BAC为锐角，则∠EAN=180°-2∠BAC．
图4
图3
图2
图1
图5.1
图5.2
图6
图7.2
图7.1
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(总课时45)§5.4复习
A组
1.下列四个图形中，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2.下列图形中，所有轴对称图形的对称轴条数之和为(　　)
A．13 B．11 C．10 D．8
3.如图1，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（　　）
A．23° B．46° C．67° D．78°
4.如图2，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5.如图3，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处，如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为 _____ .
6.如图4，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，
若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是_____cm2．
9.已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF=60°．
（1）如图5.1，若∠1=50°，求∠2；
（2）如图5.2，连接DF，若∠1=∠3，求证：DF∥BC．
10.用四块如图所示的两色正方形瓷砖，拼成一个新的正方形，使拼成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法：
B组
11.如图6，在△ABC中，∠ACB=110°，，，为边上的两个点，且，．
（1）若∠A=30°，求∠DCE的度数；
（2）∠DEC的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．
12.如图7所示，在不等边△ABC中，AB=2，AC=3，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）若BC边长为整数，则△AEN的周长为______．
（2）①若∠BAC=70°，则∠EAN的度数为______．
②若∠BAC=100°，则∠EAN的度数为____．
③若∠BAC≠90°，请直接写出∠BAC与∠EAN之间的数量关系，并画出相应的图形．
图4
图3
图2
图1
图5.1
图5.2
图6
图7
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(总课时45)§5.4复习
【学习目标】梳理全章内容，建立知识体系；掌握简单的轴对称图形的性质并灵活应用．
【学习重难点】了解一些简单的轴对称图形（等腰三角形、线段、角）的性质并应用.
【导学过程】
一.知识网络
二.基础知识复习
1.下列剪纸作品中,是轴对称图形的为( )
2.下列说法中，正确的是 (　　)
A．等腰三角形底边上的中线就是它的对称轴，B．角的平分线就是它的对称轴。
C．两个三角形能够重合，它们一定是轴对称；D.圆有无数条对称轴。
3.下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的是（　　）
A、上海自来水来自海上 B、有志者事竞成 C、清水池里池水清 D、蜜蜂酿蜂蜜
4.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（ ）．
A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对
5.下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A.角 B.线段 C.直线 D.三角形
6.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是_____．
7.已知等腰三角形有一个角为70°，那么它的底角为__________
8.如图1，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是________.
9.如图2，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝_____°.
10.如图3，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长为_____．∠C=_____°
11.如图4，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，求
∠CDE的度数.
12.如图5，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用直尺和圆规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接BD，试说明：BD平分∠CBA.
三.课堂小结
本章内容可概括为：
两个概念：①轴对称，②轴对称图形，
五个性质：①轴对称性质，②等腰三角形的性质，③等边三角形的性质，④线段垂直平分线的性质，
⑤角平分线的性质，
两个应用：①线段垂直平分线的应用，②最短与最长路径的应用，
两种思想：①方程思想，②分类讨论思想．
四.分层过关
1.以下微信图标 不是轴对称图形的是( )
A B C D
2.如图6，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列说法错误的是( )
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
3.如图7所示，△ABC中，AB+BC=10，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 无法确定
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为__________
5.如图8，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为_____cm．
6.(1)如图9，△ABC为等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM交于点Q，猜测∠BQM等于多少度，并说明理由；
(2)若点M是BC延长线上任意一点，点N是CA延长线上任意一点，且BM＝CN，BN与AM的延长线交于点Q，(1)中结论还成立吗？画出相应图形，说明理由．
生活中的轴对称
如果_______________沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够_______，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做_____.
如果两个平面图形沿一条直线折叠后，能够________，那么这两个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这两个图形______.
轴对称现象
轴对称的性质
①对应点所连的线段被对称轴________；
②对应线段_____；③对应角_____.
简单的轴对称图形
等腰三角形是______图形；等腰三角形顶角的_______、底边上的_____、_____重合，它们所在的直线都是等腰三角形的______.
线段是______图形；线段的垂直平分线和线段所在的直线是线段的______；线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离_____.
角是______图形；角平分线_______________是角的对称轴；角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
利用轴对称进行设计
图3
图2
图1
图4
图5
图7
图6
图8
图9
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