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(共26张PPT)
6.4.3 正弦定理
教学目标
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法；
2.掌握正弦定理的变式；
3.熟练应用正弦定理解三角形.
1.余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的 ，等于其他两边 ，减去这两边与它们夹角的 。
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
平方
平方的和
余弦的积的两倍
复习回顾
2.余弦定理的推论（变形式）
cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝ ．
预习教材P45－P48的内容，
思考以下问题：
1.正弦定理的内容是什么？
2.如何证明正弦定理？
3.正弦定理有哪些推论？
在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，
再根据正弦函数的定义，
A
B
C
a
b
c
探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，
已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是
否也有相应的直接解三角形的公式呢？
思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形，钝角三角形两种情况分析.
证明：
过A作单位向量
垂直于
∴ asinC=c sinA.
同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得
B
C
A
则
两边同乘以单位向量
当 是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图
过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为
与 的夹角为
同理可得
1．正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 = = =2R（R为△ABC外接圆的半径）
文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
2.定理解读
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
3. 正弦定理的证明
题型1已知两角及任意一边解三角形
例1 在△ABC 中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
解析：因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2()．
跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，
C＝75°，求A，c的值．
解析：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由＝得，c＝＝＝＝4(＋1)．
所以A＝45°，c＝4(＋1)．
【方法归纳】
(1)正弦定理实际上是三个等式：＝＝＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
题型2已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．
解析：∵＝，∴sin C＝＝＝，
∵0°当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
跟踪训练2　(1)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝，
∵AB答案：B　
【方法归纳】
已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)利用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．
(2)利用三角形内角和为180°求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
题型3正弦定理、余弦定理的综合应用
角度1　三角形形状的判断
例3　在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，试判断△ABC的形状．
解析：由＝
及正弦定理得＝，即＝，
∴sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【方法归纳】
判断三角形的形状就是根据已知条件判断三角形是否为某些三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．这类题目的解答通常有以下两种思路：
(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；
(2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状．
角度2　正弦、余弦定理的综合应用
例4　如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝.
(1)求sin ∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解析：(1)在△ADC中，
因为cos ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝，
所以sin ∠BAD＝sin (∠ADC－B)＝sin ∠ADC cos B－cos ∠ADCsin B＝＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49，所以AC＝7.
【方法归纳】
通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三角形的边角关系进而求值．
跟踪训练3　(1) 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足＝＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：由正弦定理得＝＝，又因为＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
答案：C　
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C.
①求A.
②若a＋b＝2c，求sin C．
解析：①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理的推论，得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，
即cos C＋sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin (C＋60°)＝.
故sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝.
1.知识梳理：
(1)正弦定理.
(2正弦定理变形.
2.边角互化，正余弦定理综合运用.
课堂小结

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