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第五章　一元函数的导数及其应用
5.1.1　变化率问题
[学习目标]　
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.
3.体会极限思想．
一、平均速度
问题1　在一次跳水中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.2,1≤t≤1.5，0≤t≤内的平均速度吗？
例1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
反思感悟　求物体运动的平均速度的主要步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)，
(2)再计算时间的改变量t2－t1，
(3)得平均速度＝.
跟踪训练1　一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　)
A．－1 B．－ C．－2 D．2
二、瞬时速度
问题2　我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？
知识梳理
1．瞬时速度：物体在__________________的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
3．瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为________________________．
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
延伸探究　若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
三、抛物线的切线的斜率
问题3　在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P有什么变化趋势？
知识梳理
1．抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线．
2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
例3　求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程．
延伸探究　本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程．
跟踪训练3　求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．
1．知识清单：
(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)曲线在某点处的切线方程．
2．方法归纳：无限趋近法、定义法．
3．常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位．
1．某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
2．一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
3．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2.若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
4．抛物线y＝x2＋4在点(1,5)处的切线的斜率为________．
§5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
问题1　提示　当0≤t≤0.2时，
＝＝1.82(m/s)；
当1≤t≤1.5时，＝＝－9.45(m/s)；
当0≤t≤时，＝＝0(m/s)；
虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
例1　解　(1)物体在区间上的平均速度为
1＝＝＝＝.
物体在区间上的平均速度为
2＝＝＝.
(2)由(1)可知1－2＝>0，所以2<1.作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．
跟踪训练1　B　[＝＝－1＝－.]
问题2　由＝可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2，则平均速度可记为＝＝，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0.
知识梳理
1．某一时刻
3．
例2　解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究　解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
即物体的初速度为1 m/s.
跟踪训练2　解　∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
又质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，
∴ ＝4a＝8，
即a＝2.
问题3　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置．
例3　解　由
＝＝Δx，
可得切线的斜率为k＝Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，
即y＝2.
延伸探究　解　设切点(x0，x－2x0＋3)，
故
＝
＝2x0－2＋Δx，
所以k＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2,3)，
所求切线方程为2x－y－1＝0.
跟踪训练3　解　f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2
＝3Δx＋(Δx)2，
所以切线的斜率
k＝
＝ ＝ (3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，
即3x－y－4＝0.
随堂演练
1．D　2.C　3.C　4.2

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