资源简介

专题3-4 平面向量及其应用
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（三大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·5分）
命题点1 平面向量的数量积运算
命题点2 平面向量的线性运算
命题点3 平面向量综合应用
高考猜题
04创新好题·分层训练（精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）
解三角形是新高考中必考点，一般以一道小题 形式出现，一般作为选择题或者是填空题的形式出现，难度不大.
真题多维细目表
考点 考向 考题
解三角形 ①平面向量的数量积运算②平面向量的线性运算 ③平面向量综合应用 2023新全国Ⅰ卷T3 新高考Ⅱ卷T13 全国乙卷（文）T6 全国甲（文）T3 (理) T4 2022 新高考Ⅱ卷T4 全国乙卷T3 全国甲T13 2021 新高考Ⅱ卷T15 新全国Ⅰ卷T10（多选） 全国乙卷（文）T13 （理）T14 全国甲（文）T13 （理）T14 2022 新全国Ⅰ卷T3 2023乙卷（理）T12
命题点1 平面向量数量积运算
典例01
（2023·全国新课标Ⅰ卷）
1．已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
典例02
（2021·全国高考Ⅰ卷）
2．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 平面向量的线性运算
典例01
（2022·全国新高考Ⅰ卷）
3．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
典例02
（2020·新高考Ⅱ卷）
4．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
命题点3 平面向量综合应用
典例01
（2023·全国高考乙卷）
5．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
预计2024年高考会向量数量积运算问题，并以单选或者是多选的形式出现
一、单选题
6．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
8．已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．存在，使得
C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为
（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
（2022上·山西运城·高三统考期中）
9．已知向量，且，则等于（ ）
A．5 B． C． D．
（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）
10．如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）

A． B． C． D．
（2023·杭州·模拟预测）
11．已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山东烟台·高三统考期中）
12．在平行四边形ABCD中， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
（2023·河北沧州·校考三模）
13．在中，若，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2023上·云南楚雄·高三统考期中）
14．设非零向量，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）
15．已知平面向量满足：，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．平面向量的夹角为
B．与向量共线的单位向量为
C．
D．的最大值为
（2023上·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）
16．已知，，，A，B两点不重合，则（ ）
A．的最大值为2
B．的最大值为2
C．若，最大值为
D．若，最大值为4
一、单选题
（2023·福建漳州·福建省漳州第一中学统考模拟预测）
17．已知，，均为单位向量，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西晋城·统考三模）
18．已知向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·河北·联考模拟预测）
19．在菱形中，，，设，则（ ）
A． B． C． D．0
（2023·河北唐山·高三阶段练习）
20．若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）
21．如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）
22．已知，下列结论正确的是（ ）
A．与向量垂直且模长是2的向量是和
B．与向量反向共线的单位向量是
C．向量在向量上的投影向量是
D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是
（2023·安徽淮南·统考二模）
23．已知单位向量，则下列命题正确的是（ ）
A．向量不共线，则
B．若，且，则
C．若，记向量，的夹角为，则的最小值为
D．若，则向量在向量上的投影向量是
（2023·浙江·统考一模）
24．已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
2．AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
3．B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4．C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
5．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
6．B
【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解.
【详解】由题意有，
又因为与垂直，
所以，
整理得，解得.
故选：B.
7．A
【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可.
【详解】点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点的三等分点，
则
，
故选：A.
8．BCD
【分析】根据向量关系依次计算判断即可.
【详解】对A，若，则，则，故A错误；
对B，要使，则，则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；
对C，因为，所以，又，所以向量是与共线的单位向量，故C正确；
对D，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
9．A
【分析】根据得到，再计算即可.
【详解】因为，，
所以，解得.
所以，，.
故选：A
10．A
【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得答案.
【详解】在中，设，由，可得，故．
又是的中点，，所以，所以．
由点三点共线，可得，解得，
故．
故选：A．
11．D
【分析】根据向量垂直求出后，利用向量的坐标运算写出的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.
【详解】依题意得，所以，解得，
所以，所以，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
12．A
【分析】根据题意，将与都用与表示，再求数量积即可.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图所示：

因为，所以是的中点，即，
，,
因为，所以，
因此，.
故选：A.
13．B
【分析】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以为的外心，且为外接圆上一动点，
又，，
所以外接圆的半径.
如图，作，垂足为，则.
所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6，
在处取最小值，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是由确定点的轨迹.
14．BC
【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据数量积的运算律得到，即可判断CD选项.
【详解】因为，所以，
即，所以，A错误，B正确.
因为，所以，所以，C正确，D错误.
故选：BC.
15．AC
【分析】根据条件，得到，再对各个选项逐一分析判断即可求出结果.
【详解】因为，所以，又，得到，
对于选项A，因为，又，所以，所以选项A正确；
对于选项B，因为，所以与向量共线的单位向量为，所以选项B错误；
对于选项C，因为，得到，所以选项C正确；
对于选项D，，所以选项D错误，
故选：AC.
16．AD
【分析】A选项，由几何意义可得A，B为单位圆上任意两点，从而得到；B选项，取中点，得到，数形结合得到，进而求出；C选项，；D选项，分两种情况，得到.
【详解】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点，，，A正确；

B选项，设D为的中点，则，
由于A，B两点不重合，所以，则，故B错误；
C选项，当P，A，B共线时，，故C错误；
D选项，当P，A，B共线时，若坐标分别为与或与时，
两点重合，此时，
若坐标不同时为与时，此时⊥，则，

故，故D正确.
故选：AD
17．C
【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可．
【详解】，，则，即，则
故选：C
18．A
【分析】利用向量平行的坐标公式计算，得出，进而利用充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】若，则，解得或，则是的充分不必要条件；
故选：A
19．B
【分析】作出菱形的草图，根据图形和已知条件，可知各向量之间夹角，再利用向量的数量积公式，及可求出结果.
【详解】如图，
由于在菱形中，，
所以，,，，且；
所以；；；.
所以.
故选：B.
20．C
【分析】根据给定条件，分情况结合数量积定义求解即得.
【详解】平面向量两两夹角相等，则或，
当时，即向量同向共线，则，
当时，
.
故选：C
21．A
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，利用平面向量的坐标运算得，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系

则，设，则，
所以，
因为，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立
则的最大值为，所以的最大值为，即的最小值为.
故选：A.
22．BC
【分析】利用平面向量的运算性质即可求得结果.
【详解】对于A，向量的模不符合，故A不正确.
对于B，向量的相反向量为，与相反向量同向的单位向量是，故B正确.
对于C，向量在向量上的投影为，
与向量同向的单位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正确.
对于D，时，向量与同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确.
故选：BC.
23．C
【分析】根据共线向量、向量的模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，是单位向量，方向可能相同或相反，所以可能共线，A选项错误；
B选项，，
而，或，且，
或， B选项错误；
C选项，，
，且，，
的最小值为，C选项正确；
D选项，在上的投影向量为，D选项错误.
故选：C
24．ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，故A正确；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，故D错误.
故选：ABC．
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑