资源简介

专题4 数列及其应用
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（五大命题方向+五道高考预测试题，高考必考10-15分）
命题点1 等差数列及性质
命题点2 等比数列及性质
命题点3 等差等比数列综合
命题点4 数列情景题
命题点5 数列求和
高考猜题
04创新好题·分层训练（精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）
一、一般数列性质：
单调性：递增数列： ；递减数列： ；常数列：；最大项.
二、等差数列及性质
1．定义式： （递推公式）
2．等差中项：若成等差数列，则
相邻三项，
3．通项公式： （累加法）
从函数角度理解：，其中，
推广：
4．为等差数列，为其前项和
性质1：若，则
特殊的，若，则
性质2：，，，，仍成等差数列.
性质3：，，，仍成等差数列.
5．前项和： （倒序相加法）
从函数角度理解：，其中，
6．单调性：，单调递增；，单调递减；，常函数
7．最值问题：
法一： 最值问题可由二次函数求最值的角度考虑.
法二： 若，的最小值为，无最大值；
若，的最大值为项的正负分界处（成立的最大的），无最小值；
若，的最大值为，无最小值；
若，的最小值为项的正负分界处（成立的最大的），无最大值.
法三：解不等式组，（，），即可求得最大值；
解不等式组，（，），即可求得最小值.
8．判断等差数列的方法：
﹡定义法 ﹡等差中项法 ﹡通项公式法 ﹡前项和公式法
三、等比数列及性质：
1．定义式： （递推公式）
2．等比中项：若成等比数列，则
相邻三项，
3．通项公式： （累乘法） 推广：
4．为等比数列，为其前项和
性质1：若，则
特殊的，若，则
性质2：，，，，仍成等比数列.
性质3：，，，仍成等比数列.
5．前项和： （）（错位相减法）
（）
6．单调性：
若，单调递增；
若，单调递减；
若，单调递减；
若，单调递增；
若，常数列；
若，摆动数列.
四、数列综合问题：
1．求通项公式：
（1）猜想-----证明法
根据条件猜想通项公式，再验证或证明其符合题意.
（2）与关系法：
由，可根据求通项公式.
（3）累加法：
（4）累乘法：
（5）构造法：
1※构造等比数列※ 形如：
待定系数法 得 即
2※构造等比数列※ 形如：
待定系数法
3※构造等差数列※ 形如：
等式两边同时除以，即得
4※构造等比数列※ 形如：
等式两边同时除以，得到 ， 即转化为1※
5※构造等差数列※ 形如：
等式两边同时除以，得到
6※构造等比数列※ 形如：
等式两边同时取对数，得，即转化为1※
2．数列求和方法：
（1）公式求和法
﹡等差、等比数列直接用公式求和
（2）倒序相加法
距首位两端等距的两项和相等
（3）错位相减法
差比数列：形如，其中为等差数列，为等比数列.
（4）裂项相消法
形如，其中为等差数列，设公差为
形如，可用分母有理化进行裂项
（5）分组求和法
通项公式有若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，可分别求和后再相加.如：
（6）并项求和法
形如，可两两结合求和的数列.
数列是高考中必考点，一般以1+1或者是2+1形式出现，主要考查等差等比数列及其性质应用
真题多维细目表
考点 考向 考题
等差等比数列应用 ①等差数列性质②等比数列及性质 ③等差等比数列综合 ④数列情景题 ⑤数列求和 2023新全国Ⅰ卷T7 全国乙T10 全国甲T5 2022 全国乙卷T13 2021 全国甲卷T18 全国ⅡT17 2023 新高考Ⅱ卷85 全国乙卷T15 全国甲卷T13 T5 2022全国乙卷T10 T8 2021Q全国甲卷T7 2023 全国乙卷T10 2022 全国甲卷T18 新高考Ⅱ T17 2021 全国乙卷T19 2022 新高考Ⅱ卷T3 全国乙卷T4 2020 新高考Ⅱ卷T4 2023新高考ⅠT20 新高考ⅡT18 乙卷T18 甲卷T17 2022新高考ⅠT17 2021全国乙卷T19 甲卷T9 T18 新高考ⅠT17 新高考ⅡT17
命题点1 等差数列及其性质
典例01（2023·全国乙卷）
1．已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
典例02（2023·全国·统考甲卷）
2．记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
命题点2 等比数列及性质
典例01（2023·全国·统考高考Ⅱ卷）
3．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
典例02（2023·全国·统考高考乙卷）
4．已知为等比数列，，，则 .
命题点3 等差等比数列综合
典例01（2022·全国·统考高考甲卷）
5．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
典例02（2022·全国新高考Ⅱ卷）
6．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
命题点4 数列情景题
典例01（2022·全国·统考Ⅱ）
7．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
典例02（2022·全国·统考乙卷题）
8．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
命题点5 数列求和
典例01（2023·全国·统考Ⅱ卷）
9．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
典例02（2023·全国·统考乙卷）
10．记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
典例03（2023·全国·统考甲卷）
11．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
典例04（2022·全国·统考Ⅰ卷）
12．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
预计2024年高考中数列也会是以等差等比求和的形式出现解答题与小题，小题将是以等差与等比结合的性质，解答题将是数列求和的形式出现
13．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．3 B．9 C．12 D．15
14．若成等差数列；成等比数列，则等于
A． B． C． D．
15．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16．已知正项数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求的前n项和．
17．已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和.
（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）
A·新题速递
一、单选题
（2023上·广东·高三执信中学校联考期中）
18．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考开学考试）
19．已知公比为2的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．64 B．63 C．126 D．128
（2023·山东济南·高三山东师范大学附中校考阶段练习）
20．已知数列满足且，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
（2023·江西·校联考模拟预测）
21．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）
22．记正项数列的前项和为，已知.
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求的值.
（2023·河南·统考三模）
23．已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
（2023上·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）
24．已知数列满足，，记．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前n项和为，求数列的前n项的和．
（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）
25．已知数列满足（，且，．求：
(1)数列的通项公式
(2)数列的前项和．
B·易错提升
一、单选题
（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）
26．记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）
27．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）
28．在递增的等差数列中，首项为，若，，依次成等比数列，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）
29．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
二、解答题
（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）
30．已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
（2023上·上海松江·高三统考期末）
31．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若集合，求集合中的元素个数．
（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）
32．，是正项等比数列．且，且，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）
33．已知等差数列的前项和为，且满足，数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
2．C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
3．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
4．
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
5．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
6．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
7．D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
8．D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
9．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
12．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
13．B
【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比，然后根据等比数列前n项和公式计算即可求解.
【详解】由，得，解得，，
所以.
故选：B.
14．A
【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．
【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，
∴a1﹣a2＝﹣1．
又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．
∴
故答案为A．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
15．(1)
(2)．
【分析】（1）利用（）化简题中条件，可得列是以1为首项，1为公差的等差数列，求得，再根据（），即可求解；（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
即，解得．
因为（），
所以（），
又（，），，
所以（），
又，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以．
当时，，
当时，，满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分析可得数列为常数列，则，结合与之间的关系分析求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为，且，则，
可知数列为常数列，且，
则，即，
当时，，
且也符合上式，所以.
（2）由（1）可得，则，
设的前n项和为，
则，
所以的前n项和为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据和的关系，分和两种情况讨论求解即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意，当时，，且，
若，则，即，
当时，，
两式相减得，，
整理得，即，
所以.
综上所述，.
（2）因为，
设数列的前项和为，
当时，，
当时，
，
此时时适合上式，
所以.
18．C
【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案.
【详解】由等差数列的性质可得：
，，
则，即，
，
故选：C.
19．B
【分析】根据三项成等差数列，利用等比中项列出等量关系，再结合等比数列定义，即可求得首项和公比，代入求和公式即可.
【详解】由于，，成等差数列，所以，即，
所以，解得，所以.
故选：B.
20．B
【分析】由已知可得数列是以2为公差的等差数列，再，代入可得选项.
【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，
，
，，，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.
21．A
【详解】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5.
第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺，因此第三天相遇．
设第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5 y尺，
则,解得.
相见时大鼠打了尺长的洞,用了天，
小鼠打了尺长的洞，用了天，
即天后两鼠相遇.
本题选择A选项.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用以及等差数列的相关知识可解；
（2）分奇偶进行求和，奇数项可以利用等差数列的前n项和公式求解，偶数项利用裂项相消法求解，再相加即可.
【详解】（1）因为，所以，
将上述两式相减得：，由于是正项数列，
当时，，因为，所以或(舍去)，
所以，
所以可得：，故数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以；
（2）因为，结合（1）的结论可得，
.
23．(1)
(2)
【分析】（1）先将题目中的表达式边同时除以可证得是以为首项，为公差的等差数列，由此求出，再结合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，两边同时除以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时，也满足上式，
所以.
（2）由（1）可得，，
则
.
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，结合，得出，即可求解；
（2）由（1），求得，得到，分为偶数和为奇数，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为数列满足，，可得，
又因为，即，且，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由（1），可得数列的通项公式为，可得，
所以
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
所以数列的前项和为：.
25．(1)
(2)．
【分析】（1）利用等比数列定义即可得为等比数列，再由已知条件可解得公比，即可求出的通项公式为；
（2）利用等比数列前项和公式以及分组求和方法可得.
【详解】（1）数列满足，
根据等比数列定义可知为等比数列，
又，
设公比为，则，所以
所以，
故．
所以数列的通项公式为
（2）由（1）可得
．
；
所以.
26．C
【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比即可求解.
【详解】由，得，解得，，
.
故选：C.
27．D
【分析】借助等比数列的片段和性质得出与的关系，再借助基本不等式即可得到.
【详解】根据等比数列的片段和性质有，
由，，成等差数列，有，
即，故有，又因为数列为正项等比数列，则，
即，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
28．C
【分析】运用等比中项性质及等差数列通项公式计算即可.
【详解】设等差数列的公差为d（），
由题意知，，，
所以，即，
解得或，
因为，
所以.
故选：C.
29．A
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选：A
30．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）利用等比数列的定义，结合的条件即可证明；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以.
又，所以，
所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）解：由（1）知，
即，则.
，
，
则
，
所以.
31．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）借助数列的基本量运算即可得到；
（2）将条件转换后计算出与的关系，再根据的范围要求代入计算即可得.
【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，
即，
解得，所以原命题得证.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，解得,
由，，故，即，
所以满足等式的解．
故集合中的元素个数为6.
32．(1)；
(2).
【分析】（1）利用，和建立方程组，求出，写出通项公式即可；
（2）表示出数列，在求数列的前n项和时，进行分类讨论即可.
【详解】（1）因为，是正项等比数列．且，
所以，即，所以，
又因为，所以，解得，
所以的通项公式为：.
（2）结合题意: ,得到，
所以 ，
当时，，
;
当时，，
，
综上所述：.
33．(1)证明见解析；，
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意求得和，得到，得到，再由，得到为等比数列，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合分组求和，即可求解.
【详解】（1）解：依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，所以，即．
所以，所以，
又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以．
（2）解：由（1）知，，可得，
所以
．
答案第1页，共2页
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