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微考点1-1 新高考新试卷结构高三不等式二轮压轴考点总结
考点一：利用不等式的性质求最值
解题思路：常见不等式①②③
【精选例题】
【例1】
（2024新高考九省联考试题）
1．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
【例2】
（2022江苏校考阶段练习）
2．定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ．
【例3】
（2023浙江统考一模）
3．设为互不相等的三个实数，且，则有
A． B．
C． D．
【例4】
（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）
4．已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5】
5．已知x，y为实数，满足，，则的最大值是 ，此时 .
【例6】
（2023江苏高三阶段练习）
6．设a＞0，b＞0，a≤2b≤2a＋b，则的取值范围为 ．
【例7】
（2023河北保定统考一模）
7．若是定义在上的函数，且对任意都有，，且，则
【跟踪训练】
（2015上海浦东新高一上海市建平中学校考期中）
8．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为 .
（2018上海高一上海中学校考期中）
9．定义表示，，，中的最小值，表示，，，中的最大值则对任意的，，的值为 ．
（2024全国高三专题练习）
10．当时，不等式恒成立，则的最大值是 ．
（2023浙江绍兴统考二模）
11．定义,若实数满足,则的最小值为 ．
（2024湖北武汉高三阶段练习）
12．记为中的最小值，若为任意正实数，则的最大值是
A． B．2 C． D．
（2023浙江宁波高三）
13．记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
（2023江苏南京校考阶段练习）
14．已知正数满足，则的最小值为 .
（2023全国高三课时练习）
15．已知实数、满足，，则的最大值为 .
考点二：基本不等式的应用
解题思路：①常见不等式：，，
②三角换元：遇到，配凑成，可设
③遇到结构，可同除
【精选例题】
【例1】
（2024上·云南昆明·高二统考期末）
16．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2】
（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）
17．若，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】
（2024上·河南三门峡·高一统考期末）
18．已知，，且．则下列选项正确的是（ ）
A．且 B．
C． D．
【例4】
（2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末）
19．设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【例5】
（2024上·甘肃兰州·高一西北师大附中校考期末）
20．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ）
A．2 B．4 C． D．
【跟踪训练】
（2024上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）
21．设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（2024全国高三阶段练习）
22．已知，则的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．24
（2022上·江苏徐州·高一校考阶段练习）
23．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A． B． C． D．
（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）
24．由知实数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为
B．的最大值为
C．
D．当时，的最大值为
考点三：指数对数与不等式相结合
解题思路：①指对数转换，②换底公式
③常见不等式放缩，，
【精选例题】
【例1】
（2024·全国·模拟预测）
25．若，x，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【例2】
（2024·全国·模拟预测）
26．若，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】
（2022上·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）
27．已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】
（2024上·福建泉州·高一统考期末）
28．已知，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【跟踪训练】
（2024·重庆·统考一模）
29．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024江苏苏州统考期末）
30．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·海南海口·校考模拟预测）
31．已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点四：与三角形三边相关的不等式问题
【例1】
（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）
32．已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 .
【例2】
（2019·全国·高三竞赛）
33．已知，，，，.若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值范围是 .
【跟踪训练】
（2018·全国·高三竞赛）
34．设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 ．
（2021下·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）
35．设，若三个数能组成一个三角形的三条边长，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）
36．的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．##0.2
【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【详解】令其中，
所以，
若，则，故，
令，
因此,故,则，
若，则，即，
，
则,故,则，
当且仅当且时等号成立，
如取时可满足等号成立，
综上可知的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.
2．
【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．
【详解】设，
则由题意可得，
因为，所以
①当时，，
只需考虑，
所以，，
所以，可得，当且仅当时取等号；
②当时，，只需考虑，
所以，
可得，当且仅当时取等号.
综上所述，的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件.
3．D
【分析】运用绝对值不等式的性质和三角函数的有界性（求解可得结论．
【详解】∵，
∴．
∵
，
又
，
∴，
即．
故选D．
【点睛】本题考查三角函数的值域及绝对值不等式，考查放缩法的应用，解题时要灵活运用正弦函数和余弦函数的有界性，同时要注意不等式中等号成立的条件，考查变化能力的运用．
4．ABD
【分析】利用不等式的性质可判定A项，结合基本不等式可判定B项，利用特殊值可判定C项，根据条件放缩得出，即可得出判定D项.
【详解】对于A，，
所以选项正确；
对于B，由题，
当且仅当等号成立，故B选项正确；
对于C，可取特殊值满足题意，则，故C选项错误；
对于D，，
即，则，故D正确.
故选：ABD
5． 32 3
【分析】由题干条件得到，又因为，故得到，化简可得到结果，通过可分别求出参数的值.
【详解】∵，∴.∵，
∴.由不等式的性质，得，
即，故的最大值为32，此时，即，∴.
故答案为：32；3.
6．；
【分析】首先根据不等式的性质，得到，之后将所求的式子化为关于的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围.
【详解】根据a＞0，b＞0，由求得，
，
令，则，
所以，故答案是.
【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化.
7．102.
【解析】根据已知不等式可得，而，根据“两边夹”原理，可得，利用此递推关系可得，再令得，只需再求出即可，对分别赋值和并结合“两边夹”原理，即可求出，进而求出．
【详解】因为，
所以，
即，又，
所以，
所以，
因为对任意都有，且，
所以，即，
，即
由知，所以，
所以，所以，
所以．
故答案为：
【点睛】本题主要考查求抽象函数的函数值，“两边夹”原理及递推关系的应用，本题的关键是得到和．
8．
【分析】设，通过的分类讨论，结合不等式的缩放和基本不等式可求解.
【详解】方法一：设， 当时，
不妨设，
①当时，
②当时，，
若，则；
若，则；
③当时，，，
；
④当时，，，
同理，当时，可以证明
综上所述：S的最大值为.
方法二：由题意知，，则，
所以，解得，故S的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的性质，分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9．
【分析】首先，设，从而得到关于m的限制条件，然后，得到m的最小值．
【详解】设，
、，
，，，
即，，可得，
，
，
即有m的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，注意不等式的性质的应用，属于难题．
10．6
【分析】依题意可得恒成立，设，，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到，再根据不等式的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：∵时，不等式恒成立，∴，即．
设，，
因为在上单调递减，在上单调递增，，，，所以，
即，
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴的最大值为；
故答案为：．
11．
【分析】利用平方作差法，结合已知条件利用不等式的基本性质得到，进而，结合已知条件利用不等式的基本性质得到，进而得到的最小值.
【详解】，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴
∵∴，结合，得
∴（当时取得等号），
∴的最小值为2.
故答案为：2
12．D
【分析】要弄清的定义,本题要求的最大值,必然涉及到不等式的求解,先求出,再求其最大值.用将关于的式子等量代换,设 ,，再用作差法比较大小.
【详解】解：设 ,
则,
令,
得 ,
(1)当 或 ,
则 ,
所以或,
其最大值为.
(2)当 或 时, ,
所以,其最大值为.
综上所述,的最大值为.
故选D
【点睛】本题主要考查转换、分类讨论的数学思想,解题关键首先是注意题目要求是任意正实数;其次,比较大小常用作差法,将三项代换后,分类讨论,逐类作差比较即可.
13．B
【分析】不妨设，根据条件及不等式的性质利用作差法即得.
【详解】可以不妨设，因为，所以，故，
所以，，
所以（当且仅当时取等号)
故选：B．
14．##
【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.
【详解】因为，故.
又，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的最大值.
【详解】设，所以，，解得，
所以，，
因为，，则，，
因此，.
所以，的最大值为.
故答案为：.
16．ABD
【分析】先由基本不等式，将等式转化为关于的不等式，求解即可.
【详解】因为，
对于选项A，，
当且仅当 时等号成立；
得，解得或（舍去）
故，选项A正确；
对于选项B，，当且仅当时等号成立；
得，且，解得，
故，选项B正确；
对于选项C，，且，
得，
结合选项A中正确结果，
得，当且仅当时等号成立；
选项C不正确；
对于选项D，，且，
所以，结合选项B中正确结果，则，
所以，当且仅当时等号成立，选项D正确；
故选：ABD.
17．AD
【分析】利用判别式法结合基本不等式证明即可.
【详解】令，代入中化简得，
令，解得，显然A正确，B错误，
由得，
结合可得，解得，
显然C错误，D正确.
故选：AD
18．ABC
【分析】根据不等式的性质、基本不等式、对数运算等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，，且，
则，
由，得，所以；
由，得，所以，所以A选项正确.
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
由得，则，
所以，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
当时，，所以D选项错误.
故选：ABC
19．B
【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.
【详解】，，变形为，
令，
则转化为
，即，
其中

当且仅当，即时取等号，可知.
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20．D
【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.
【详解】不等式恒成立，可转化为
恒成立，其中，
令，
，
，
第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且，
得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得，
所以的最小值为，
即，则，
所以实数的最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值.
21．BCD
【分析】利用基本不等式判断各选项．
【详解】对于A选项，，
当且仅当时取得等号，故A错误；
对于B选项，，故，
当且仅当时取得等号，故B正确；
对于C选项，，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D选项，
，
当且仅当时取得等号成立，故D正确．
故选：BCD.
22．C
【分析】先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案.
【详解】利用公式
及可得：
，
，
所以代入已知式化简可得，
由观察可得：当，时，即成立，
此时，
所以①，
又②，
③，
则①②③可得：
，
所以
，
故原不等式可化为：，
即，故，
此时当时等号成立，即的最大值是.
故选：C.
【点睛】关键点晴：本题的关键点在于寻求当分别为何值时，可能取得最大值，根据原式不易观察，所以先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案.
23．B
【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值.
【详解】，
，又均为正实数，
（当且仅当时取"=")，
，此时.
，
，当且仅当时取得"="，满足题意.
的最大值为1.
故选：B.
【点睛】对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元.
24．AC
【分析】由不等式，可判定A正确；设，联立方程组，结合，可判定B不正确；设，联立方程组，可判定C正确；，转化为，结合三角函数的性质，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由不等式，可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B中，设，联立方程组，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值为，所以B不正确；
对于C中，设，联立方程组，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，由，即，
设，则，
设，可得，可得，
因为，可得，即，
不妨设，可得
则，
所以
又因为为单调递增函数，所以无最大值，所以D不正确.
故选：AC.
25．C
【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以．
所以，即．
当且仅当，，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
26．C
【分析】将条件变形为，通过的大小来判断选项AB；构造函数，令，代入可得，进而可判断CD.
【详解】因为，
所以，
所以当时，，当时，
所以AB错误；
因为，
所以．
因为，
不妨设，则，
即，
即，
即，
所以，
所以，
所以C正确．
证明：，
设，
则，
所以在上单调递减，
所以，即，
设，
则，
所以在上单调递减，
所以，即.
所以当时，.
故选：C.
【点睛】方法点睛：有很多不等式，如，，等，使用得当，会给解题带来便利.
27．B
【分析】令，，得到，A选项，，由于，所以只需比较的大小，构造函数，，求导得到函数单调性，进而比较出；
B选项，化简得到，作差比较出，结合得到，B正确；
利用换底公式及对数运算法则得到，，利用作差法比较，，CD错误.
【详解】因为为正数，令，则，
则，
则，
因为，所以只需比较的大小，
构造，，
，
当时，，故在上单调递增，
所以，即，
所以，A错误；
，
，
结合刚才求出的，故，B正确；
由换底公式可得：，
因为，所以，
即，
因为，
所以，
故，C错误；
因为，所以，
所以，D错误.
故选：B
【点睛】构造函数比较大小是高考热点，需要观察式子特点，构造出合适的函数，利用导函数研究其单调性，从而根据单调性比较出大小关系，经常用到的函数有等.
28．ABD
【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D..
【详解】对于A，由于，故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
即的最小值为 ，A正确；
对于B，由于，，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为，B正确；
对于C，又，得，
故
由于，而对称轴为，
则在上单调递减，在上无最值，C错误；
对于D，令，则，
故，
由于，故，
，
则，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
所以，
即的最小值为，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解.
29．ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.
【详解】由题意得，，
，，则，则，
对A，根据对数函数在上单调递增，则，故A正确；
对B，因为，即，则，故B正确；
对C，因为，根据指数函数在上单调递减，则，故C错误；
对D，因为，，
，
当且仅当时等号成立，而显然，则，故D正确；
故选：ABD.
30．ACD
【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数的性质可判断A；取可判断B；利用1的妙用和基本不等式可判断C；结合可得，从而，即可判断D．
【详解】对于A，因为当且仅当时取等号，
所以，A正确；
对于B，取 则，B错误；
对于C，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，因为
所以，D正确．
故选：ACD.
31．ACD
【分析】令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断A、C，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断D.
【详解】令，则，，，
所以，B错误；
（注意等号不成立），故，A正确；
（注意等号不成立），则，C正确，
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意构造且，利用导数研究其函数符号即可.
32．
【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可.
【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需，
设，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
因为，
所以，
当时，即时，
，此时，
因此由，而，
所以；
当时，即当时，
此时，此时，
因此由，而，
所以，
若时，即时，
若，即当时，
显然此时，
由，显然，
若，即当时，
显然此时，
因此由，而，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论.
33．
【分析】由a，b，c为三边可构成三角形，得到，且成立，即，且成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性求解.
【详解】若a，b，c为三边可构成三角形，则，且成立，
即，且成立，
即成立，而，
令，则，令，
则，易知在上递减，
所以，所以，
又成立，而，
当且仅当时，等号成立，所以；
所以.
故答案为：
34．
【分析】易知，则、、能构成三角形等价于，不等式两边同除以，得，求此不等式两边的最值即得所求
【详解】显然，于是，、、能构成三角形
对任意正整数、，恒有 ①
由，知式①右边.
易知时，式①右边取最小值.
又式①左边的表达式恰为右边表达式的倒数，从而，其最大值为.
故.
故答案为:
35．C
【分析】先作差法确定，再根据三角形三边关系列不等式，对于所列条件，一个利用基本不等式求最小值，一个利用函数的单调性求最大值，最后得的取值范围.
【详解】因为，令，
则，所以，
因为能组成一个三角形的三条边长，所以，
即，
因为，所以令，
则，
即，
因为，
当且仅当时取等号，但是取不到，所以，
所以，所以；
令，则，
令，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，，
综上，.
故选：C.
36．
【分析】结合得，令，则，由三角形三边关系两边平方整理得，
即有，解出的范围即可求出的值域
【详解】，令，则，又，
∴，可解得，
即，故，∴.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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