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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
分层练习
题型一 平面向量数量积的坐标计算
1．已知向量，的坐标，求．
(1)，；
(2)，．
2．若向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，，若∥，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在平行四边形中，，，点为线段 的中点，则 .
题型二 利用坐标研究向量垂直问题
6．已知平面向量，，若是直角三角形，则的取值是（ ）
A．2 B． C．2或7 D．2或5
7．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是非零向量，且，不共线，，，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知向量，若，则（ ）
A． B．0 C． D．3
10．已知向量与向量共线，且，，
(1)求向量的坐标；
(2)求实数的值.
题型三 利用坐标研究向量的模长
11．已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则（ ）
A． B．2 C． D．4
12．设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．10 D．
13．已知向量，，.若，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量与的夹角为60°，＝1，．
(1)求及；
(2)求.
15．平面直角坐标系中，，为坐标原点.
(1)令，若向量，求实数的值；
(2)若点，求的最小值．
题型四 利用坐标研究向量的夹角
16．已知平面向量，，若实数m，n满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
17．设，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
18．已知向量，则（是的夹角）= .
19．在平行四边形ABCD中，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 .
20．已知向量，向量．
(1)若，求与的夹角；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
题型五 利用坐标求向量投影
21．已知向量，则向量在上的投影向量的模等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
22．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知向量，，则在上的投影的数量 ．
24．已知向量，，则在方向上的投影数量为 ．
25．已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型六 利用坐标求数量积的最值范围
26．在平面直角坐标系中，点，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
27．已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（ ）
A．27 B．0 C． D．
28．在△ABC中，．P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A． B．3 C． D．48
31．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．在上的投影为
32．已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
33．已知向量.
(1)设，求的最小值；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)．
【分析】（1）由数量积的坐标表示计算；
（2）由数量积的坐标表示计算．
【详解】（1）由已知；
（2）由已知．
2．A
【分析】根据题意，利用向量的共线的坐标表示，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】先求出的坐标，再由∥，列方程可求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出
【详解】因为，，所以，
因为∥，，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：C
4．A
【分析】根据向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：A.
5．
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求向量数量积.
【详解】，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，则，
有，，，，，
.
故答案为：
6．C
【分析】先求出，再分别以三个点为直角顶点分类讨论，结合向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】，，则，
当是直角顶点时：，；
当是直角顶点时：，无解；
当是直角顶点时：，；
综上所述：或.
故选：C.
7．B
【分析】由与的夹角的余弦值，利用向量数量积求出的值，由，，求出的坐标特征即可.
【详解】向量，，若与的夹角的余弦值为，
则有，解得，则有，
设，由，则有，解得，B选项符合.
故选：B
8．C
【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】由向量与互相垂直，且，，
则，解得．
故选：C．
9．C
【分析】根据平面向量线性运算和数量积运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故选：C
10．(1)
(2)
【分析】（1）设，由数量积的坐标表示求得后得结论；
（2）由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】（1）共线， 可设，
，解得：， ，
（2）∵，∴，
即，解得：
11．B
【分析】根据向量加法的运算法则和向量模的计算求解.
【详解】由图知，，所以，
所以.
故选：B.
12．D
【分析】根据题意，列出方程求得，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，，
因为，可得，解得，
所以，所以.
故选：D.
13．C
【分析】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为，然后利用向量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得的值，进而计算向量的模.
【详解】因为，，
由可得，，
即，整理得.
又因为，所以，
联立，解得或，
故，
故选C.
14．(1)2，1；
(2).
【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求；
（2）应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】（1）由题设，则
（2）由 ，
所以.
15．(1)或
(2)5
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标运算，求实数的值；
（2）利用向量模的坐标运算和函数的单调性，求的最小值．
【详解】（1），
所以，
由得，
解得：或.
（2）因为，
所以，
因为，均为单调递增函数，
所以当时，，
即的最小值为5．
16．B
【分析】先求出两向量的坐标，利用平面向量的坐标运算计算两向量的数量积，由两向量的数量积为0得结果.
【详解】因为，，所以，，
又，所以，
即，所以与的夹角为,
故选：B.
17．B
【分析】根据题意可得，又与的夹角不等于180°，进而即可求出m的取值范围．
【详解】由与的夹角是钝角，
则，解得，
又与的夹角不等于，
则与不平行，即，解得，
所以实数m的取值范围是且，
故选：B．
18．
【分析】利用公式，即可得到本题答案.
【详解】因为，
所以，，，
所以.
故答案为：
19．
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积计算即可.
【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，
过作轴于M点，由题意可得，，
则，，，，，
得，，
所以.
故答案为：.

20．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到与的夹角；
（2）根据与的夹角为钝角得到且不反向共线，然后求即可.
【详解】（1）当时，，，与的夹角为.
（2）因为与的夹角为钝角，所以，解得，
当与反向共线，即时，，解得，
综上，实数的取值范围为.
21．A
【分析】先求出，，再根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以向量在上的投影向量的模为.
故选：A.
22．C
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算，结合投影向量公式可求得结果.
【详解】因为，，则，
所以，在方向上的投影向量为
.
故选：C.
23．2
【分析】根据投影数量公式计算可得.
【详解】因为向量，，
所以，
则在上的投影的数量是．
故答案为：2
24．##
【分析】根据向量投影的计算公式即可求解.
【详解】在方向上的投影为，
故答案为：
25．D
【分析】首先求出、的坐标，再求出、，最后根据向量在方向上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，，，，
所以，，
所以， ，
又是与方向相同的单位向量，所以向量在方向上的投影向量为.
故选：D
26．B
【分析】根据向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换，即可由三角函数的有界性求解最值.
【详解】由，可得，
所以
，
故当时，取最大值，
故选：B
27．D
【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A，B，C的坐标，再设出点M的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.
【详解】解：以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ，

由题意可知， ， ， ，
设 ，其中 ，则 ， ，
故 ，
所以当 时， 有最小值 .
故选：D.
28．B
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解.
【详解】在△ABC中，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，设，
因为，所以，又由，
所以，
设，，则，
其中，当时，取得最小值；
当时，取得最大值，所以的取值范围为.
故选：B.
29．B
【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积．
【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负，
分别过作，，为垂足，
则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值，
是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，是中点，则，
，，，
，，
所以的范围是，
故选：B．
30．A
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
31．BCD
【分析】求得的值判断选项A；求得的化简结果判断选项B；求得的值判断选项C；求得在上的投影判断选项D.
【详解】由题意知，为的中点，，
以为原点，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
所以，解得，即为的中点，
所以，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于A：因为，所以，故A错误；
对于D：因为，
在方向上的投影为，故D正确．
故选：BCD．
32．B
【分析】依题意建立平面直角坐标系， 设点，，设向量与的夹角为，利用坐标法，由取得最小值时得到，从而得解.
【详解】解：以所在的直线为轴，以为原点，建立平面直角坐标系，

则，，，设点，，
设向量与的夹角为，，
可得
，
故当时，的最小值为，
此时，，，
则，
，
故选：B．
33．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量坐标表示的线性运算及向量的模的坐标公式结合二次函数即可得解；
（2）由向量与向量的夹角为钝角，得，且向量与向量不能反向，再结合数量积的坐标表示及向量共线的坐标公式即可得解.
【详解】（1）由题意得，
所以，
所以当时，取得最小值为；
（2）由于，
向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量与向量不能反向，
所以且，
解得且，
故实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
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