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§4.4*　数学归纳法
[学习目标]　
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
一、数学归纳法的理解
问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
问题2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？
知识梳理　
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当__________时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当______(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当____________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从______开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
例1　(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于________．
(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明，错误是__________________．
跟踪训练1　对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝
＜
＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
二、增加的项的个数问题
例2　用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了(　　)
A.
B.＋－
C.
D.＋＋
跟踪训练2　利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
三、用数学归纳法证明等式
例3　用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
跟踪训练3　设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，….
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
1．知识清单：
(1)数学归纳法的概念．
(2)增加或减少项的个数问题．
(3)用数学归纳法证明等式．
2．方法归纳：数学归纳法．
3．常见误区：
(1)对n0取值的问题易出错．
(2)增加或减少的项数易出错．
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证当n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
2．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为_________________________________.
§4.4*　数学归纳法
问题1　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了．
问题2　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的．
知识梳理　
(1)n＝n0(n0∈N*)
(2)n＝k　n＝k＋1　n0
例1　(1)6
解析　由题意，得当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于6.
(2)未用归纳假设
解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．
跟踪训练1　D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．]
例2　B　[用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中，
假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，
左边＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＋＋＋，
∴从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，
不等式的左边增加了
＋＋－
＝＋－.]
跟踪训练2　D　[增加项为＋＋＋…＋，
共2k项．]
例3　证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，
等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
上式表明当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对一切n∈N*均成立．
跟踪训练3　解　(1)由a1＝2得a2＝a－a1＋1＝3，
a3＝a－2a2＋1＝4，
a4＝a－3a3＋1＝5.
(2)由此猜想{an}的一个通项公式，
an＝n＋1(n≥1，n∈N*)，
下面用数学归纳法证明如下，
①当n＝1时，a1＝2＝1＋1，
等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即ak＝k＋1，
那么ak＋1＝a－kak＋1
＝(k＋1)2－k(k＋1)＋1
＝k＋2＝(k＋1)＋1，
也就是说，当n＝k＋1时，
ak＋1＝(k＋1)＋1也成立，
根据①②对于所有n∈N*都有an＝n＋1.
随堂演练
1．D　2.B　3.A
4．1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2

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