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3　带电粒子在匀强磁场中的运动
[学习目标]　
1.理解带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式(重点)。
3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(难点)。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
如果沿着与磁场垂直的方向发射一束带电粒子(不计重力及粒子间的相互作用力)，这束粒子在匀强磁场中的运动轨迹会是什么样的呢？
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1．若v∥B，带电粒子所受洛伦兹力F＝____，所以粒子在磁场中做______________。
2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向______，粒子在垂直于______方向的平面内运动。
(1)洛伦兹力与粒子的运动方向________，只改变粒子速度的________，不改变粒子速度的________。
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做________________运动，________________提供向心力。
3．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
(1)由qvB＝m，可得r＝____________。
(2)由r＝和T＝，可得T＝________。
(1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。(　　)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。(　　)
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。(　　)
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。(　　)
例1　两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是(　　)
A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB
B．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的周期TA＝TB
C．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB
D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径RA＝RB
例2　(2023·北京海淀区人大附中高二校考期末)图甲是洛伦兹力演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图乙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生的磁场近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是(　　)
A．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变小
B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径不变
C．只增大电子枪的加速电压，轨道半径不变
D．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小
二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路
1．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2．半径的确定
(1)r＝；(2)几何关系。
3．粒子速度偏向角
速度的偏向角φ＝圆弧所对的圆心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如图)
4．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
方法一：周期一定时，由圆心角求：t＝T；
方法二：v一定时，由弧长求：t＝＝。
例3　(2023·盐城市阜宁中学高二期中)如图所示，一个质量为m、电荷量为－q、不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)在第一象限内的运动时间；
(3)粒子射出磁场位置距O点的距离。
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例4　如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：
(1)粒子做圆周运动的周期；
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(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小。
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带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法
3　带电粒子在匀强磁场中的运动
[学习目标]　1.理解带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式(重点)。3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(难点)。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
如果沿着与磁场垂直的方向发射一束带电粒子(不计重力及粒子间的相互作用力)，这束粒子在匀强磁场中的运动轨迹会是什么样的呢？
答案　洛伦兹力提供向心力，故只在洛伦兹力的作用下，粒子将做匀速圆周运动。
1．若v∥B，带电粒子所受洛伦兹力F＝0，所以粒子在磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。
(1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
3．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
(1)由qvB＝m，可得r＝。
(2)由r＝和T＝，可得T＝。
(1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。(　×　)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。(　√　)
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。(　×　)
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。(　×　)
例1　两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是(　　)
A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB
B．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的周期TA＝TB
C．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB
D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径RA＝RB
答案　D
解析　因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，周期T＝，又两粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B、C错误，D正确。
例2　(2023·北京海淀区人大附中高二校考期末)图甲是洛伦兹力演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图乙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生的磁场近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是(　　)
A．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变小
B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径不变
C．只增大电子枪的加速电压，轨道半径不变
D．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小
答案　A
解析　电子在电子枪中被加速电场加速，由动能定理得：eU＝mv2，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：eBv＝m，解得：r＝。只增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B增大，可知轨道半径r变小，故B错误，A正确；
只增大电子枪的加速电压U，可知轨道半径变大，故C、D错误。
二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路
1．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2．半径的确定
(1)r＝；(2)几何关系。
3．粒子速度偏向角
速度的偏向角φ＝圆弧所对的圆心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如图)
4．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
方法一：周期一定时，由圆心角求：t＝T；
方法二：v一定时，由弧长求：t＝＝。
例3　(2023·盐城市阜宁中学高二期中)如图所示，一个质量为m、电荷量为－q、不计重力的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)在第一象限内的运动时间；
(3)粒子射出磁场位置距O点的距离。
答案　(1)　(2)　(3)a
解析　(1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹如图，由图中几何关系知
Rcos 30°＝a
据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
解得B＝＝
(2)带电粒子在第一象限内运动时间
t＝＝
(3)由几何关系可得y＝R＋Rsin 30°
解得y＝a
粒子射出磁场位置距O点的距离为a。
例4　如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小。
答案　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T　(3)3.49×105 m/s
解析　(1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，
则＝＝，
周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s
(2)由qvB＝，T＝，知
B＝＝ T＝0.314 T
(3)由几何知识可知，半径r＝＝0.1 m
由qvB＝得，粒子的运动速度大小为
v＝＝ m/s≈3.49×105 m/s。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法

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