资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平面向量及其应用末检测试题（解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设向量满足||=2,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为(　　)
A.(-4,-2)　　　 　 B.(3,4) C.(4,2) D.(-3,-4)
2.在△ABC中，D是 BC上一点，且,E在AD上 ，且,若,则=（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量满足||＝1，||＝4，且＝2，则与的夹角θ为(　 　)
A. B. C. D.
4.在△ABC中，内角的对边分别是，若，且，则B=（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量＝（1，2），＝（2，2），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
6.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在
的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为(　 　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为．已知，cosA＝，则＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8.在△ABC中，AC＝BC＝AB＝1，且，其中，且.若M，N分别为线段EF，AB中点，则线段MN的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为，外接圆半径为R，以下结论正确的有（　　）
A． B．若，则.
C．是的充要条件 D．
10.已知向量＝(1,2)，＝(－3,4)，＝＋λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.当λ＝－时，||最小 B.当||最小时，⊥
C.当λ＝1时，与的夹角最小 D.当与的夹角最小时，＝
11.在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为，已知b=2,S△ABC=,且,则有（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),
则直线AC与BD的交点P的坐标为________.
13.若向量,且,则= .
14.在△ABC中，AB＝，BC＝2AC＝2，满足的实数t的取值范围是 .
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
⑴若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件;
⑵若=2,求x,y的值.
16.（本题满分15分）
某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向
北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的
航向再行驶40分钟到达C点.
⑴求PC间的距离;
⑵在点C测得油井的方位角是多少
17.（本题满分15分）
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为，已知．
⑴求；
⑵若，求△ABC面积．
18.（本题满分17分）
已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.
⑴求++;
⑵若PQ过△ABO的重心G,且,求证:.
19.（本题满分17分）
已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
⑴若△CDE的面积为，求DE的长．
⑵若CF＝4DF，求sin∠DFC.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量满足||=2,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为(　　)
A.(-4,-2)　　　 　 B.(3,4) C.(4,2) D.(-3,-4)
【答案】A
【解析】∵=(2,1),且与的方向相反. ∴设=（2t,t）(t<0)
又∵||=2, ∴4t2+t2=20,t2=4,t=-2,
∴=(-4,-2).故选A.
2.在△ABC中，D是 BC上一点，且,E在AD上 ，且,若,则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵,∴,
∴,
又∵，∴
∴,即,故选C.
3.已知向量满足||＝1，||＝4，且＝2，则与的夹角θ为(　 　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，∴,,故选B.
4.在△ABC中，内角对边分别是，若，且，则B=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.故选C.
5.已知向量＝（1，2），＝（2，2），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【答案】D
【解析】∵＝（1，2），＝（2，2），
∴向量在向量上的投影向量为，
故选D．
6.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在
的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，
则A，B两点间的距离为(　 　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
【答案】A
【解析】由题意知，在△ABC中，AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以由正弦定理可得，AB＝＝＝50(m)．
故选A.
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为．已知，cosA＝，则＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵，cosA＝，
∴由正弦定理、余弦定理得
∴，．故选D.
8.在△ABC中，AC＝BC＝AB＝1，且，其中，且.若M，N分别为线段EF，AB中点，则线段MN的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接CM，CN，∵等腰三角形ABC中，AC＝BC＝1，AB＝，∴∠ACB＝120°.∴·＝||·||cos 120°＝－.又CM是△CEF的中线，∴＝(＋)＝(x＋y)．同理可得＝(＋)，∴＝－＝＋.∴2＝＋×＋.由x＋4y＝1，得1－x＝4y，代入上式得2＝y2－y＋.又x，y∈(0,1)，∴当y＝时，2取得最小值，此时||的最小值为，即线段MN的最小值为.故选A.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为，外接圆半径为R，以下结论正确的有（　　）
A． B．若，则.
C．是的充要条件 D．
【答案】ACD
【解析】由正弦定理得，，∴A选项正确；由得，A=B或2A=,∴B选项错误；在△ABC中,由正弦定理得，是的充要条件，∴选项C正确；由正弦定理得，,∴选项D正确.
故选ACD.
10.已知向量＝(1,2)，＝(－3,4)，＝＋λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.当λ＝－时，||最小 B.当||最小时，⊥
C.当λ＝1时，与的夹角最小 D.当与的夹角最小时，＝
【答案】ABD
【解析】由＝(1,2)，＝(－3,4)，得＝＋λ＝(1－3λ，2＋4λ)，||2＝2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25)2＋4，当λ＝－时，||最小，故A正确；当||最小时，，，所以⊥，故B正确；设向量与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，要使向量与的夹角最小，则cosθ最大，由于θ∈[0，π]，所以cosθ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，＝(1,2)．所以当λ＝0时，与的夹角最小，此时＝，故C错误，D正确．故选ABD.
11.在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为，已知b=2,S△ABC=,且,则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】∵,∴,即,,选项A 正确；又∵b=2,S△ABC=，∴,即选项C 正确，选项B和D错误.故选AC.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),
则直线AC与BD的交点P的坐标为________.
【答案】
【解析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).
由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ).
又∵=-=(5λ-4,4λ),由与共线得,(5λ-4)×6+12λ=0,解得λ=,
∴==,∴P的坐标为.
13.若向量,且,则= .
【答案】
【解析】∵,∴,即,,,
方法1：而,
∴=4.
,
∴.
方法2：如图，设,由题知OA=OB=1,OC=，△AOB
为等腰直角三角形，AB上的高OD=,而AD=,CD=CO+OD=,
∴,,
∴.
14.在△ABC中，AB＝，BC＝2AC＝2，满足的实数t的取值范围是 .
【答案】[0，].
【解析】设与的夹角为θ，则θ＝30°，
在△ABC中，AB＝，BC＝2AC＝2，即AC＝1.
因为AB2＋AC2＝BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∠B＝30°.
所以由|－t|≤||，
得2－2t||·||cosθ＋t22≤32，
所以3－2t×2×＋4t2≤3，
整理，得2t2－3t≤0，解得0≤t≤.
所以实数t的取值范围是[0，]．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
⑴若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件;
⑵若=2,求x,y的值.
【答案】⑴x-3y+1=0; ⑵.
【解析】⑴ ∵点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.
由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)
得=(3,1),=(2-x,1-y),
∴3(1-y)=2-x.
∴x,y满足的条件为x-3y+1=0.
⑵=(-x-1,-y),
由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),
∴，解得
16.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向
北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的
航向再行驶40分钟到达C点.
⑴求PC间的距离;
⑵在点C测得油井的方位角是多少
【答案】⑴40海里; ⑵在点C测得油井P在C的正南40海里处．
【解析】⑴在△ABP中,AB=30×=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,
根据正弦定理得 = BP=20,
在△PBC中,BC=30×=20,
由已知∠PBC=90° PC=40.
⑵在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40,
所以sin∠BPC=,
所以∠BPC=30°.
因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB.
所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.
17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为，已知．
⑴求；
⑵若，求△ABC面积．
【答案】⑴1；⑵.
【解析】⑴∵, ∴,即
⑵由正弦定理可得,
∴,即,
∵, ∴,,
则△ABC的面积S△ABC=.
18.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.
⑴求++;
⑵若PQ过△ABO的重心G,且,求证:.
【答案】⑴; ⑵最大值是2，最小值是-1.
【解析】⑴∵+=2,又2=-,
∴++=-+=0
⑵∵=(),且G是△ABO的重心,
∴==(),
由P,G,Q三点共线,得∥,
∴有且只有一个实数λ,使=λ,
又,
,
∴
又不共线，∴
消去λ,整理得,故.
19.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
⑴若△CDE的面积为，求DE的长．
⑵若CF＝4DF，求sin∠DFC.
【答案】⑴ ；⑵.
【解析】⑴依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°，
∵△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，
∴×2CE×＝，解得CE＝1.
在△CDE中，由余弦定理得
DE＝＝＝.
⑵方法1：连接BD，依题意，
得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°.
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.
在△CDF中，由正弦定理得＝，
∵CF＝4DF，
∴sinθ＝＝，所以cosθ＝，
∴sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝×＋×＝.
方法2：连接BD，依题意，得∠ACD＝30°，∠BCD＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，
设CF＝4x，因为CF＝4DF，则DF＝x，
在△CDF中，由余弦定理，得
DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠ACD，
即7x2＝4＋16x2－8x，
解得x＝，或x＝.
又∵CF≤AC＝，
∴x≤，所以x＝，所以DF＝，
在△CDF中，
由正弦定理得
＝，
∴sin∠DFC＝＝.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑