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第三章 函数
第九节 一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的相关概念 ☆ 一次函数包含的知识内容较多。通常考查的方式有求函数解析式、求交点坐标、比较大小、函数图像与坐标轴围成的图形面积和基本函数与其它知识点的实际应用，题型较丰富，单一知识点的考察则多以选择题、填空题出现，综合性强的试题以解答题为主，且常与反比例或者二次函数结合考查，考查难度一般比较大，在广东的统考中较少独立考察，但也要以防万一。复习时注重运用数形结合的数学思想方法，强化数学的建模意识，培养数学的建模能力。
考点2 一次函数的图象和性质 ☆☆
考点3 一次函数与方程的关系 ☆☆
考点4 一次函数与不等式的关系 ☆☆
考点5 一次函数的应用 ☆☆
考点1 一次函数相关概念
1.一次函数的概念：
一般地，如果___________（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．
结构特征：①___________；②x的次数是1；③常数项b可以是任意实数．
2.正比例函数的概念：
特别地，当一次函数y=kx+b中的b为___________时，y=kx（k为常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．
结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项为___________．
3. 一次函数与正比例函数的联系：正比例函数是一次函数的特殊形式
考点2 一次函数的图象和性质
1.正比例函数的图象：
正比例函数y=kx（常数k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）与点___________的直线．
2.一次函数的图象：
所有一次函数的图象都是一条直线；一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条与y轴交于点（0，b），与x轴交于点（___________，0）的直线．
【注意】（1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取（0，b），（__，0）两点．
（2）当___________时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例．
3.一次函数图象的平移：
直线y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直线y=kx（k≠0）向上或向下平移得到．
当b＞0时，将直线y=kx向___________平移___________个单位长度，得到直线y=kx+b；
当b＜0时，将直线y=kx向___________平移|b|个单位长度，得到直线y=kx+b．
4.正比例函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx（k≠0）有下列性质：
（1）当___________时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而___________．
（2）当k<0时，图象经过第___________象限，y随x的增大而___________．
5.一次函数的性质：
一般地，一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）有下列性质：
（1）___________时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大．
（2）___________时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大．
（3）___________时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小．
（4）___________时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
6.一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积：
直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，b）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
考点3 一次函数与方程的关系
1．确定一次函数解析式的方法：
（1）依据题意中等量关系直接列出解析式；（2）待定系数法．
2．用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx（k≠0）中的___________．
确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中的___________和___________．
解这类问题的一般方法是待定系数法．
（1）设出函数的一般形式．
（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组．
（3）解方程或方程组求出待定系数的值．
（4）将所求得的系数的值代入到一般形式中．
3．确定正比例函数表达式
只需一对x与y的对应值（即已知正比例函数图象上的一个点即可）；确定一次函数的表达式，只需要两对x与y的对应值（即已知一次函数图象上的两个点即可）．
4．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
考点4 一次函数与不等式的关系
1.由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：
①根据图象找出交点横坐标，
②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的___________，则x取其中一边的范围。
考点5 一次函数的应用
1．一次函数应用问题的求解思路：
建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答．
利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用．
2．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
（5）写出答案．
3．利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题．
【提示】时刻注意根据实际情况确定___________的取值范围．
考点1：一次函数的相关概念
◇例题
1．（2023 天心区校级一模）下列函数中，一定是一次函数的是（　　）
A．y＝﹣8x B．y＝+3 C．y＝5x2+6 D．y＝﹣kx+1
2．（2023 盐池县一模）若函数y＝（m+1）x+1﹣m2是正比例函数，则m的值是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＞1
◆变式训练
3．（2023 霞山区一模）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y＝﹣x D．y＝
4．（2022 金乡县二模）若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
考点2：一次函数的图象和性质
◇例题
1．（2020 顺德区校级模拟）函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
3．（2021 饶平县校级模拟）已知一次函数y＝kx+k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第　 象限．
4．（2023 茂南区二模）若直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，则直线y2＝bx+a不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1．（2023 禅城区校级三模）下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（　　）
A．y＝2﹣x B．y＝﹣2x+1 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2
2．（2022 东莞市一模）若k＜0，b＜0，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
3．（2022 海珠区二模）已知一次函数y＝kx﹣3且y随x的增大而增大，那么它的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2021 广州模拟）已知：函数y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，若x＜，则y1　 y2（填“＞”或＝或“＜”）
考点3：一次函数与方程的关系
◇例题
1．（2023 海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a
2．（2021 蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
3．（2023 汕头二模）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 中山市三模）若正比例函数的图象经过点（3，6），则该函数的解析式为 　 　．
5．（2022 东莞市一模）如图，已知一次函数y＝kx+3和y＝﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3＝﹣x+b的解是　 　．
6．（2023 增城区一模）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　．
◆变式训练
1．（2022 茂南区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（　　）
A．k＞0，b＜0
B．直线上两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
C．直线经过第四象限
D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5
2．（2023 曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 番禺区校级一模）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+5的图象相交于点A，则方程组的解为 　 　．
4．（2020 封开县一模）一次函数的图象经过点A（1，3）和B（3，1），它的解析式是　 　．
5．（2023 潮南区模拟）如图，已知A（2，3），B（0，2），在x轴上找一点C，使得|AC﹣BC|的值最大，则此时点C的坐标为 　 　．
考点4：一次函数与不等式的关系
◇例题
1．（2023 英德市二模）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＜0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
2．（2023 海珠区一模）若直线y＝2x和y＝kx﹣2相交于点Q（﹣3，m），则关于x的不等式（2﹣k）x＜﹣2的解集是 　 　．
◆变式训练
1．（2023 丰顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
2．（2023 金平区二模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点，则关于x的不等式x+b≥kx+4的解集是 　 　．
考点5：一次函数的应用
◇例题
1．（2023 越秀区模拟）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇）．如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）关于生长时间x（单位：日）的函数图象，则由图可知两图象交点P的横坐标是（　　）
A．4 B．5 C．5 D．30
2．（2023 郁南县校级模拟）近年来，预制菜消费持续升温，它既满足了消费者的需要，也不断拓展着饮食行业的发展．某餐饮平台计划推出A和B两种预制菜品，已知售出1份菜品A和2份菜品B可获利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可获利60元．
（1）求每份菜品A、B的利润；
（2）根据销售情况，该餐饮平台每日都能售完A、B两种菜品共1000份，且菜品A的数量不高于菜品B数量的，应该如何进货才能使总利润最高？最高利润是多少？
◆变式训练
1．（2023 金平区一模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中L甲，L乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是 　．（填序号）
2．（2021 盐田区二模）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
1．（2022 广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
2．（2020 广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
3．（2022 深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
4．（2023 广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
5．（2023 广东）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
1．（2023 东莞市校级二模）已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
2．（2023 东莞市一模）点P在一次函数y＝3x+4的图象上，则点P不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023 茂南区校级模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023 越秀区校级三模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝（a2+1）x+1的图象经过P1（﹣1，y1），P2（2，y2）两点，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
5．（2023 曲江区校级三模）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣2x+4交于点C（m，2），则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 福田区校级三模）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于 k1与k2的关系，正确的是（　　）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＜0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|
7．（2023 荔湾区一模）已知直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，﹣3），则m的值为 　 　．
8．（2023 天河区二模）已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为　 　．
9．（2023 潮阳区二模）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 　 　．
10．（2023 佛山二模）如图，已知y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组的解是　 　．
11．（2023 惠东县校级三模）如图，已知直线y＝kx+b经过点A（4，0），B（1，3），交y轴于点D．
（1）直线AB的解析式为 　 　，AD＝　 　；
（2）若直线y＝2x﹣5与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣5＞kx+b的解集．
12．（2021 阳西县模拟）某校积极响应国家号召，为落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买100L和240L两种型号的垃圾箱若干套．若购买8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元；若购买4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元．
（1）每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多少元？
（2）学校决定购买100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的数量不少于100L垃圾箱数量的，求购买这20套垃圾箱的最少费用．
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第三章 函数
第九节 一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的相关概念 ☆ 一次函数包含的知识内容较多。通常考查的方式有求函数解析式、求交点坐标、比较大小、函数图像与坐标轴围成的图形面积和基本函数与其它知识点的实际应用，题型较丰富，单一知识点的考察则多以选择题、填空题出现，综合性强的试题以解答题为主，且常与反比例或者二次函数结合考查，考查难度一般比较大，在广东的统考中较少独立考察，但也要以防万一。复习时注重运用数形结合的数学思想方法，强化数学的建模意识，培养数学的建模能力。
考点2 一次函数的图象和性质 ☆☆
考点3 一次函数与方程的关系 ☆☆
考点4 一次函数与不等式的关系 ☆☆
考点5 一次函数的应用 ☆☆
考点1 一次函数相关概念
1.一次函数的概念：
一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．
结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可以是任意实数．
2.正比例函数的概念：
特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．
结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项为0．
3. 一次函数与正比例函数的联系：正比例函数是一次函数的特殊形式
考点2 一次函数的图象和性质
1.正比例函数的图象：
正比例函数y=kx（常数k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）与点（1，k）的直线．
2.一次函数的图象：
所有一次函数的图象都是一条直线；一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条与y轴交于点（0，b），与x轴交于点（，0）的直线．
【注意】（1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取（0，b），（，0）两点．（2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例．
3.一次函数图象的平移：
直线y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直线y=kx（k≠0）向上或向下平移得到．
当b＞0时，将直线y=kx向上平移b个单位长度，得到直线y=kx+b；
当b＜0时，将直线y=kx向下平移|b|个单位长度，得到直线y=kx+b．
4.正比例函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx（k≠0）有下列性质：
（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大．
（2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
5.一次函数的性质：
一般地，一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）有下列性质：
（1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大．
（2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大．
（3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小．
（4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
6.一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积：
直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，b）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
考点3 一次函数与方程的关系
1．确定一次函数解析式的方法：
（1）依据题意中等量关系直接列出解析式；（2）待定系数法．
2．用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx（k≠0）中的常数k．
确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中的常数k和b．
解这类问题的一般方法是待定系数法．
（1）设出函数的一般形式．
（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组．
（3）解方程或方程组求出待定系数的值．
（4）将所求得的系数的值代入到一般形式中．
3．确定正比例函数表达式
只需一对x与y的对应值（即已知正比例函数图象上的一个点即可）；确定一次函数的表达式，只需要两对x与y的对应值（即已知一次函数图象上的两个点即可）．
4．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
考点4 一次函数与不等式的关系
1.由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：
①根据图象找出交点横坐标，
②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。
考点5 一次函数的应用
1．一次函数应用问题的求解思路：
建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答．
利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用．
2．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
（5）写出答案．
3．利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题．
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围．
考点1：一次函数的相关概念
◇例题
1．（2023 天心区校级一模）下列函数中，一定是一次函数的是（　　）
A．y＝﹣8x B．y＝+3 C．y＝5x2+6 D．y＝﹣kx+1
【解答】解：A、∵﹣8≠0，
∴y＝﹣8x是一次函数，A符合题意；
B、∵自变量x的次数为﹣1，
∴y＝+3不是一次函数，B不符合题意；
C、∵自变量x的次数为2，
∴y＝5x2+6不是一次函数，C不符合题意；
D、当k＝0时，函数y＝1为常数函数，不是一次函数，D不符合题意．
故选：A．
2．（2023 盐池县一模）若函数y＝（m+1）x+1﹣m2是正比例函数，则m的值是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＞1
【解答】解：根据题意知，
解得m＝1，
故选：B．
◆变式训练
3．（2023 霞山区一模）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y＝﹣x D．y＝
【解答】解：A、y＝4x+1，不符合正比例函数的定义，故本选项错误；
B、y＝2x2，自变量次数不为1，故本选项错误；
C、y＝﹣x，符合正比例函数的定义，故本选项正确；
D、y＝，自变量次数不为1，故本选项错误；
故选：C．
4．（2022 金乡县二模）若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故选：B．
考点2：一次函数的图象和性质
◇例题
1．（2020 顺德区校级模拟）函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据正比例函数和一次函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：A、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
C、由y＝kx的图象知k＜0，则﹣k＞0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意．
D、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2023 东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【分析】k＝2＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣1＜3，可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，且﹣1＜3，
∴y1＜y2．
故选：A．
3．（2021 饶平县校级模拟）已知一次函数y＝kx+k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第　 象限．
【分析】根据一次函数y＝kx+k，y随x的增大而增大，可以得到k＞0，然后即可得到一次函数y＝kx+k的图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+k，y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：一、二、三．
4．（2023 茂南区二模）若直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，则直线y2＝bx+a不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到直线y2＝bx+a经过哪个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴直线y2＝bx+a经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
◆变式训练
1．（2023 禅城区校级三模）下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（　　）
A．y＝2﹣x B．y＝﹣2x+1 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2
【分析】四个选项给的都是一次函数，要y随x的增大而增大，则k＞0，即可找到正确选项．
【解答】解：∵对于一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），
当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；
∴A，B，D选项错，C选项对．
故选：C．
2．（2022 东莞市一模）若k＜0，b＜0，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定．
【解答】解：∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
3．（2022 海珠区二模）已知一次函数y＝kx﹣3且y随x的增大而增大，那么它的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3且y随x的增大而增大，
∴它的图象经过一、三、四象限，
∴不经过第二象限，
故选：B．
4．（2021 广州模拟）已知：函数y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，若x＜，则y1　 y2（填“＞”或＝或“＜”）
【分析】首先求得两个函数的交点坐标，根据交点坐标确定答案即可．
【解答】解：联立y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，
解得，
所以当x＜时，y1＜y2
故答案为：＜．
考点3：一次函数与方程的关系
◇例题
1．（2023 海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a
【分析】根据图象经过点（3，0），即把（3，0）代入函数解析式成立，即方程成立，据此即可判断．
【解答】解：根据题意当x＝3时，y＝0，即方程ax+2＝0成立，则方程的解是x＝3．
故选：A．
2．（2021 蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】由图象可以知道，当x＝3时，两个函数的函数值是相等的．
【解答】解：∵两条直线的交点坐标为（3，﹣1），
∴关于x的方程mx＝nx﹣b的解为x＝3，
故选：A．
3．（2023 汕头二模）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【解答】解：根据函数图可知，
函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P的坐标是（﹣3，1），
故的解是，
故选：C．
4．（2023 中山市三模）若正比例函数的图象经过点（3，6），则该函数的解析式为 　 　．
【分析】设该正比例函数的解析式为y＝kx，然后将点（3，6）代入到该解析式并列出关于系数k的方程，通过解方程即可求出k值，从而求出这个函数解析式．
【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx，
∵这个正比例函数的图象经过点（3，6），
∴6＝3k，
∴k＝2．
故答案为：y＝2x．
5．（2022 东莞市一模）如图，已知一次函数y＝kx+3和y＝﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3＝﹣x+b的解是　 　．
【分析】函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解．
【解答】解：∵已知一次函数y＝kx+3和y＝﹣x+b的图象交于点P（2，4），
∴关于x的方程kx+3＝﹣x+b的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
6．（2023 增城区一模）如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　．
【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x+1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝3x+1经过点P（1，b），
∴b＝3+1，
解得b＝4，
∴P（1，4），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
◆变式训练
1．（2022 茂南区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（　　）
A．k＞0，b＜0
B．直线上两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
C．直线经过第四象限
D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与方程的关系即可判断．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，故A错误；
∵直线y＝kx+b（k≠0）经过一、二、三象限，
∴y随x的增大而增大，
（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2，故B错误；
∴直线y＝kx+b经过一、二、三象限，故C错误；
∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），
∴当x＝﹣5时，函数y＝kx+b＝0，
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5，故D正确；
故选：D．
2．（2023 曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
【解答】解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
3．（2023 番禺区校级一模）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+5的图象相交于点A，则方程组的解为 　 　．
【分析】先利用y＝x+5确定A点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可求解．
【解答】解：∵y＝x+5经过A（﹣4，a），
∴a＝﹣4+5，
∴a＝1，
∴一次函数y＝kx+b与y＝x+5的图象相交于点A（﹣4，1），
∴方程组的解为，
故答案为：．
4．（2020 封开县一模）一次函数的图象经过点A（1，3）和B（3，1），它的解析式是　 　．
【分析】根据一次函数图象过A（1，3），B（3，1）． 然后将其代入一次函数的解析式，利用待定系数法求该函数的解析式．
【解答】解：设直线AB的函数 解析式为y＝kx+b（k、b为常数且k≠0）
∵一次函数的图象经过点A（1，3），B（3，1）．
∴，
解得．
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4，
故答案为y＝﹣x+4．
5．（2023 潮南区模拟）如图，已知A（2，3），B（0，2），在x轴上找一点C，使得|AC﹣BC|的值最大，则此时点C的坐标为 　 　．
【分析】连接AB交x轴于点C，此时＝AB值最大，求出直线AB的解析式，令y＝0，即可找到点C坐标．
【解答】解：如图所示，连接AB交x轴于点C，此时＝AB值最大，即点C为所求的点．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入点A（2，3），B（0，2），
得，解得：．
故直线AB解析式为y＝x+2．
令y＝x+2中y＝0，则得x＝﹣4，故点C坐标为（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
考点4：一次函数与不等式的关系
◇例题
1．（2023 英德市二模）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＜0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根据函数图象即可直接得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，当x＞2时，y＜0，
所以关于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．
故选：A．
2．（2023 海珠区一模）若直线y＝2x和y＝kx﹣2相交于点Q（﹣3，m），则关于x的不等式（2﹣k）x＜﹣2的解集是 　 　．
【分析】首先求得Q的坐标，不等式（2﹣k）x＜﹣2，即2x＜kx﹣2，根据图象即可直接求得解集．
【解答】解：把Q（﹣3，m）代入y＝2x得：m＝﹣6，则Q的坐标是（﹣3，﹣6）．
所以2x＝kx﹣2的解是x＝﹣3，
不等式（2﹣k）x＜﹣2即2x＜kx﹣2，
根据图象，得：不等式的解集是：x＜﹣3．
故答案为：x＜﹣3．
◆变式训练
1．（2023 丰顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【分析】根据直线y＝ax+b与y轴交于点A（2，0），以及函数的增减性，即可求出不等式ax+b＞0的解集．
【解答】解：∵直线y＝ax+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），且y随x的增大而减小，
∴不等式ax+b＞0的解集是x＜2．
故选：B．
2．（2023 金平区二模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点，则关于x的不等式x+b≥kx+4的解集是 　 　．
【分析】写出直线y＝x+b在直线y＝kx+4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：关于x的不等式x+b≥kx+4的解集是x≥．
故答案为：x≥．
考点5：一次函数的应用
◇例题
1．（2023 越秀区模拟）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇）．如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）关于生长时间x（单位：日）的函数图象，则由图可知两图象交点P的横坐标是（　　）
A．4 B．5 C．5 D．30
【分析】根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为9，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：设两图象交点P的横坐标是x，则：
0.7x+x＝9，
解得x＝5，
两图象交点P的横坐标是5，
故选：C．
2．（2023 郁南县校级模拟）近年来，预制菜消费持续升温，它既满足了消费者的需要，也不断拓展着饮食行业的发展．某餐饮平台计划推出A和B两种预制菜品，已知售出1份菜品A和2份菜品B可获利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可获利60元．
（1）求每份菜品A、B的利润；
（2）根据销售情况，该餐饮平台每日都能售完A、B两种菜品共1000份，且菜品A的数量不高于菜品B数量的，应该如何进货才能使总利润最高？最高利润是多少？
【分析】（1）设每份菜品A的利润为x元，每份菜品B的利润为y元，根据售出1份菜品A和2份菜品B可获利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可获利60元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进A菜品m份，总利润为w元，根据菜品A的数量不高于菜品B数量的，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设每份菜品A的利润为x元，每份菜品B的利润为y元，
根据题意得，
解得，
答：每份菜品A的利润为15元，每份菜品B的利润为10元；
（2）设购进A菜品m份，总利润为w元，
根据题意得m≤（1000﹣m），
解得m≤600，
w＝15m+10（1000﹣m）＝5m+10000，
∵5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝600时，w取得最大值，最大值为13000元，
1000﹣600＝400（份），
答：购进A菜品600份，B菜品400份，所获利润最大，最大利润为13000元．
◆变式训练
1．（2023 金平区一模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中L甲，L乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是 　．（填序号）
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以乙比甲提前了12分钟到达，
故①正确；
③设乙出发x分钟后追上甲，则有：，
解得x＝6，
故③正确；
②由③知：乙遇到甲时，所走的距离为：6×（km），
故②正确．
所以正确的结论有三个：①②③，
故答案为：①②③．
2．（2021 盐田区二模）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
【分析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
（2）根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：
2000（1+x）2＝12500，
解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合题意舍去），
答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
（2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机（100﹣a）架，需要成本为w元，依据题意可得：
a≤3（100﹣a），
解得：a≤75，
w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，
∵﹣100＜0，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当a＝75时，w取最小值，此时100﹣75＝25，
w＝﹣100×75+30000＝22500，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
1．（2022 广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
【分析】直接把已知点代入，进而求出k的值．
【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k＝﹣，
故选：D．
2．（2020 广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x1+1＜x1+2即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），且x1＜x1+1＜x1+2，
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
3．（2022 深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得，，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
4．（2023 广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【分析】（1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可；
（2）把y＝600分别代入y1，y2解析式，解方程即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），
把（5，75）代入解析式得：5k＝75，
解得k＝15，
∴y1＝15x；
当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0），
把（5，75）和（10，120）代入解析式得，
解得，
∴y1＝9x+30，
综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1＝；
（2）在甲商店购买：9x+30＝600，
解得x＝63，
∴在甲商店600元可以购买63千克水果；
在乙商店购买：10x＝600，
解得x＝60，
∴在乙商店600元可以购买60千克，
∵63＞60，
∴在甲商店购买更多一些．
5．（2023 广东）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
【分析】（1）如图2中，当OE＝OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；
（2）在图2中，过点A作AG⊥x轴于点G，利用三角形相似，可得结论；
（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题．
【解答】解：（1）当OE＝OF时，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF；
（2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4，
∴，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COF＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽Rt△FOC，
∴，
∴，
∴FC的长为；
（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，
又∠FON＝45°，
∴∠FCN＝∠FON＝45°，
∴F、C、O、N四点共圆，
∴∠OFN＝∠OCA＝45°，
∴∠OFN＝∠FON＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形，
∴FN＝NO，∠FNO＝90°，
∴∠FNP+∠ONQ＝90°，
又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，
∴∠NOQ＝∠FNP，
∴△NOQ≌△FNP（AAS），
∴NP＝OQ，FP＝NQ，
∵四边形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴，
＝，
，
＝，
＝，
＝，
∴，
又∵△ANQ为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴S关于n的函数表达式为．
1．（2023 东莞市校级二模）已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
【解答】解：∵点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，
∴2＝﹣3k﹣4，
解得：k＝﹣2．
故选：C．
2．（2023 东莞市一模）点P在一次函数y＝3x+4的图象上，则点P不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝3x+4的图象经过第一、二、三象限，结合点P在一次函数y＝3x+4的图象上可得出点P不可能在第四象限．
【解答】解：∵k＝3＞0，b＝4＞0，
∴一次函数y＝3x+4的图象经过第一、二、三象限，
又∵点P在一次函数y＝3x+4的图象上，
∴点P不可能在第四象限．
故选：D．
3．（2023 茂南区校级模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选：B．
4．（2023 越秀区校级三模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝（a2+1）x+1的图象经过P1（﹣1，y1），P2（2，y2）两点，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
【分析】利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合2＞﹣1，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵一次函数y＝（a2+1）x+1中，a2+1＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵一次函数y＝（a2+1）x+1的图象经过P1（﹣1，y1），P2（2，y2）两点，且﹣1＜2，
∴y1＜y2．
故选：B．
5．（2023 曲江区校级三模）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣2x+4交于点C（m，2），则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把C（m，2）代入y＝﹣2x+4求出m得到C点坐标，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：∵点C（m，2）在直线l2：y＝﹣2x+4上，
∴2＝﹣2m+4，解得m＝1，
∴点C的坐标为（1，2），
∴方程组的解为．
故选：A．
6．（2023 福田区校级三模）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于 k1与k2的关系，正确的是（　　）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＜0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为mm＜0，的两个点A和B，
则A（m，k1m），B（m，k2m），
∵k1m＜k2m，
∴k1＞k2，
当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2，
∵k1＜0，k2＜0，
∴|k1|＜|k2|，
故选：C．
7．（2023 荔湾区一模）已知直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，﹣3），则m的值为 　 　．
【分析】根据“上加下减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点（1，﹣3）代入求得m的值即可．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣2x+1﹣m．
将点（1，﹣3）代入，得﹣2+1﹣m＝﹣3．
解得m＝2．
故答案为：2．
8．（2023 天河区二模）已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为　 　．
【分析】弹簧总长＝挂上xkg的重物时弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm，
∴挂上x kg的物体后，弹簧伸长0.3x cm，
∴弹簧总长y＝0.3x+6．
故答案为：y＝0.3x+6．
9．（2023 潮阳区二模）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 　 　．
【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b＞3的解集．
【解答】解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
10．（2023 佛山二模）如图，已知y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组的解是　 　．
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答．
【解答】解：∵y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），
∴方程组的解是．
故答案为．
11．（2023 惠东县校级三模）如图，已知直线y＝kx+b经过点A（4，0），B（1，3），交y轴于点D．
（1）直线AB的解析式为 　 　，AD＝　 　；
（2）若直线y＝2x﹣5与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣5＞kx+b的解集．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据解析式求出D点坐标，然后利用勾股定理求出AD；
（2）将两条直线的解析式联立组成方程组，解方程组求出点C的坐标；
（3）利用数形结合思想解答．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（4，0），B（1，3），
∴，
解得，
则直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴当x＝0时，y＝4，
∴D点坐标为（0，4），
∴AD＝＝＝4．
故答案为：y＝﹣x+4，4；
（2）解方程组，
解得，
则点C的坐标为（3，1）；
（3）由图象可知，关于x的不等式2x﹣5＞kx+b的解集为x＞3．
12．（2021 阳西县模拟）某校积极响应国家号召，为落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买100L和240L两种型号的垃圾箱若干套．若购买8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元；若购买4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元．
（1）每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多少元？
（2）学校决定购买100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的数量不少于100L垃圾箱数量的，求购买这20套垃圾箱的最少费用．
【分析】（1）设每套100L垃圾箱x元，每套240L垃圾箱y元，根据“若购买8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元”和“若购买4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元”列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买a套240L垃圾箱，则购买（20﹣a）套100L垃圾箱，求出费用为w元与a套240L垃圾箱之间的函数关系式，再根据”240L垃圾箱的数量不少于100L垃圾箱数量的“，列一元一次不等式，求出a的取值范围，再根据函数关系式求出购买这20套垃圾箱的最少费用．
【解答】解：（1）设每套100L垃圾箱x元，每套240L垃圾箱y元．
依题意，
得，
解得，
∴每套100L垃圾箱400元，每套240L垃圾箱800元；
（2）设购买a套240L垃圾箱，则购买（20﹣a）套100L垃圾箱，
购买这20套垃圾箱的费用为w元．
依题意，
得w＝400（20﹣a）+800a＝400a+8000，
∵400＞0，
∴w随a的增大而增大，
∵，
∴a≥4，
∴当a＝4时，w有最小值，此时w＝400×4+8000＝9600，
∴购买这20套垃圾箱的最少费用为9600元．
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